приводить в общем случае к начальным деформациям, характеризуемым вектором
Хотя величина этой начальной деформации, вообще говоря, может зависеть от координат точки внутри элемента, обычно
Фиг. 4.2. Элемент для расчета слоистого (трансверсально-изотропного) материала.
она считается постоянной и равной некоторому среднему по элементу значению. Это согласуется с условием постоянства деформаций, которому отвечает принятая функция перемещений.
Таким образом, в случае плоского напряженного состояния изотропного материала для нагретого до температуры 9* элемента при коэффициенте линейного расщирения а будем иметь
{ео} = ае=. (4.12)
поскольку при тепловом расширении деформации сдвига отсутствуют.
Сложнее случай плоской деформации. Предположение о плоской деформации означает, что при тепловом расширении возникают напряжения в плоскости, перпендикулярной к плоскости X, у, даже если отсутствуют остальные компоненты напряжения.
Следовательно, величина начальной деформации будет зависеть от упругих постоянных.
Можно показать, что в этом случае
{eo} = (l + v)ae. (4.13)
где v - коэффициент Пуассона.
Особого рассмотрения требуют анизотропные материалы, для которых коэффициенты линейного расширения могут быть различными в разных направлениях. Пусть х и у на фиг. 4.2 соответствуют главным направлениям материала. Начальная температурная деформация для случая плоского напряженного состояния в этих координатах будет
{8о} = ео = а2е. (4.14)
где «1 и «2 - коэффициенты линейного расширения в направлениях х и у соответственно.
Чтобы получить компоненты деформаций в координатах х и у, необходимо использовать соответствующую матрицу [Г] преобразования деформаций:
{8о} = тЧео}. (4.15)
Легко проверить, что
cosp sinp ~2sinpcosf
sinp cosp 2 sin p cos p
l sinPcost
~ sin в cost
cos"
где p -угол, определенный на фиг. 4.2. Таким образом, {во} легко вычисляется. Следует заметить, что в координатах х, у компоненты деформаций сдвига отличны от нуля.
4.2.4. Матрица упругости
Матрица [D\ входящая в соотношение (2.3), которое в рассматриваемом случае имеет вид
может быть записана в явном виде для любого материала (в это соотношение не включен аддитивный член {оо}).
(4.16)
3 Зак. 013
Плоское напряженное состояние в изотропном материале.
Для плоского напряженного состояния изотропного материала имеем по определению
2(l+v)T„
(4.17)
Разрешая эти соотношения относительно напряжений, получаем матрицу [D] в виде
1 V О
[0] = Т
V 1 О О
1 -у 2 J
(4.18)
где -модуль упругости, а v - коэффициент Пуассона.
Плоское деформированное состояние в изотропном материале. В этом случае, кроме трех компонент напряжения, существует нормальное напряжение Ог. Для частного случая изотропного теплового расширения имеем
EE ~ + >
+ oe
(4.19)
и, кроме того,
Исключая а„ определим три остальные компоненты напряжения. Полагая начальную деформацию в (4.13) равной нулю и сравнивая с соотношением (4.16), получаем матрицу [D] в виде
(l-fv)(l-2v)
1 - v
1-2у 2(l-v)
(4.20)
Анизотропные материалы. Для описания зависимости между напряжениями и деформациями в случае общей анизотропии в трехмерном состоянии необходима 21 независимая упругая постоянная [4, 5].
Для двумерного состояния число независимых постоянных в матрице [D] не превышает шести. Поэтому в самом общем двумерном случае можно написать
ID] =
d-a d23 ЬСимметрично djj
(4.21)
(Необходимость симметрии матрицы [D] следует из теоремы взаимности Максвелла - Бетти и является следствием инва-
риантности энергии относительно пути достижения заданного деформированного состояния.)
Особый практический интерес представляет «слоистый» или трансверсально-изотропный материал, в слоях которого существует круговая симметрия свойств. Свойства такого материала характеризуются пятью независимыми упругими постоянными.
Общие соотношения между напряжениями и деформациями в этом случае в обозначениях, введенных Лехницким [4], при направлении оси у (фиг. 4.3), перпендикулярном плоскости слоев, и отсутствии начальных деформаций имеют вид
vjoj,
El •
2(1 +vi)
(4.22)
Уху Xy,
У иг (jj уг •
Здесь постоянные Е\, vj (Gi - зависимая величина) характеризуют поведение материала в плоскости слоев, а £2. G2, V2 - в перпендикулярном к ним направлении.
В двумерном случае матрица [D] после введения обозначений
п и
- = т
принимает для плоского напряженного состояния вид
(l-"v=)
а для плоской деформации \т - Ё2
(l + v,)(l-v,-2«v)
ft(l- «v) /tV2(l+Vi) nV2(l+V,) (l-vl)
n nV2
0
0 m(l-«v2)J
j(l+v,)(l -v,-2«vg
(4.23)
(4.24)
Если же слои расположены под некоторым углом к оси х, как показано на фиг. 4.2, то для получения матрицы [D] в произвольной системе координат необходимо выполнить преобразование. Обозначая через \D] матрицу, связывающую напряжения и деформации в системе координат х, у, легко показать, что
[D\ = \T][D]\TY, (4.25)
где [Г] - матрица, введенная в (4.15).
Если напряжения {а) и {а} соответствуют деформациям {е} и {е}, то из условия равенства работ
{eYlD] {e} = {e}4D]{e}
после подстановки (4.15) следует равенство (4.25) (см. гл. 1).
4.2.5. Матрица жесткости
Матрица жесткости элемента ijm определяется с помощью общего соотношения (2.10), в соответствии с которым
lk]=\[BV[D]lB]tdxdy, (4.26)
где t - толщина элемента, а интегрирование производится по площади треугольника. Если предположить, что толщина элемента постоянна, что тем ближе к истине, чем меньше размеры элемента, то, поскольку ни одна из матриц не содержит х или у, имеем простое выражение
[k] = lBV[D][B]t (4.27)
где Л -площадь треугольника [введенная соотношением (3.5)]. Такая форма записи позволяет вычислить матрицу с помощьк) ЭВМ. Матрицу [В], определенную соотношением (4.10), можно записать в виде
lB] = \B,,Bi,BJ, где [В,] = 0 c,2 и т. д. (4.28) Матрица жесткости может быть записана в виде
(4.29)
где подматрицы размерности 2X2 строятся следующим образом:
lkrs] = [в,r[D][в,]t. (4.30)
Такая форма часто бывает удобной для вычислений,
4.2.6. Узловые силы, обусловленные начальной деформацией
Эти силы определиются в явном виде выражением (2.12), которое после интегрирования принимает вид
