Продемонстрируем здесь относительно простой переход от вариационного соотношения к эквивалентному дифференциальному уравнению. Однако обратный процесс гораздо сложнее и его не всегда удается осуществить, поскольку зачастую не удается установить вариационный принцип.
Здесь / произвольная функция, фх = дф/дх и т. д., С - часть границы, на которой не заданы значения функции ф. На остальной части границы ф = ф£.
Рассматривая произвольную вариацию неизвестной функции и ее производных, получаем
+ \{д6> + аф6ф)й8. (А6.2) с
Поскольку
соотношение (А6.2) можно переписать в виде
= S й + 1 ()+• • •)+S +=О-
(А6.3)
Величина 6% приравнена нулю, так как в точке минимума (стационарной точке) вариация обращается в нуль.
Подставляя dV = dxdydz и интегрируя второе слагаемое в первом интеграле по частям [см. формулу (3.25)], получаем
где /х-косинус угла между внешней нормалью к поверхности и осью X. Интегрируя таким же образом остальные слагаемые в (А6.3), окончательно получаем
Второй интеграл берется только по части границы С, поскольку на остальной части поверхности S значения ф заданы и поэтому = 0.
Поскольку равенство (А6.4) должно выполняться при произвольной вариации б, повсюду в области V должно выполняться условие
а на части границы
(А6.56)
Если функция ф удовлетворяет этим двум уравнениям, то она минимизирует функционал %). В случае единственности решения постановки задач с использованием соотношений (А6.1) и (А6.5) эквивалентны. Приведенные дифференциальные уравнения известны как уравнения Эйлера.
Если функционал зависит и от производных функции ф более высокого порядка, то соответствующие этому случаю уравнения Эйлера получаются аналогично. Точно так же можно найти систему дифференциальных уравнений Эйлера для функционала от нескольких независимых функций 0, г) и т. д. и их производных.
1) При указанных условиях функпионал имеет экстремальное значение. Для того чтобы это экстремальное значение соответствовало минимуму, требуется дополнительное условие. Подробнее см.: Г. Е. Шилор, Математический анализ. - Прим. рд.
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к русскому изданию................5
Предисловие автора ..................... 7
Глава 1. Предварительные сведения: метод жесткостей расчета конструкций и исследование сетей..............11
Глава 2. Конечные элементы упругой среды. Метод перемещений ... 26
Глава 3. Обобщение понятия конечных элементов......... 44
Глава 4. Плоское напряженное и плоское деформированное состояния . 60
Глава 5. Осесимметричное напряженное состояние......... 87
Глава 6. Исследование трехмерного напряженного состояния..... 104
Глава 7. Функции формы элемента. Некоторые семейства этих функций 117
Глава 8. Криволинейные изопараметрические элементы н численное интегрирование ....................143
Глава 9. Некоторые примеры применения изопараметрических элементов при исследовании двумерного и трехмерного напряженных состояний.....................169
Глава 10. Изгиб пластин...................186
Глава II. Оболочки как совокупность плоских элементов ....... 230
Глава 12. Осесимметричные оболочки..............259
Глава 13. Полуаналитнческий метод конечных элементов. Применение
ортогональных функций...............274
Глава 14. Расчет толстостенных оболочек как частный случай исследования трехмерного тела................. 294
Главз 15. Задачи о стационарных полях (теплопроводность, электрический потенциал, течение жидкости и др.).........316
Глава 16. Постановка нестационарных и динамических задач.....344
Глава 17. Динамические задачи. Полуаналитическое исследование. Колебания и собственные значения.............371
Главз 18. Физически нелинейные задачи. Пластичность, ползучесть, задачи
нелинейной теории поля и т. д..............393
Глава 19. Геометрически нелинейные задачи; большие перемещения и неустойчивость конструкций...............438
Глава 20. Вычислительные методы н программы (Ченг и Кинг) , , . . 462
Приложение 1. Матричная алгебра...............526
Приложение 2. Основные соотношения главы 2...........53)
Приложение 3. Некоторые формулы интегрирования для треугольника
(Фи!-- *•!).............. .... 532
Приложение 4. Некоторые формулы интегрирования для тетраэдра
(Фис. 6.1)...................
Приложение 5. Некоторые сведения из векторной алгебры......534
Ваши замечания о содержании кинги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу;
129820, Москва. И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2. Издательство «Мир».
О. ЗЕНКЕВИЧ
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ТЕХНИКЕ
Редактор Л. Якименко Художник А. Смелякоа Художественный редактор В. БНсенгалнев Технический редактор 3. Резннк
Сдано в набор 6ЛП 1975 г. Подписано к печати 8/ГХ 1975 г. Бумага № 2 60X90/,8=17 бум. л. 34 печ. л. Уч.-изд. л. 31.76. Изд. № 20/7928. Цена 2 р. 70 к. Зав. 613
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР" Москва, 1-й Рижский пер-., 2
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография- № 2 имени Евгении Соколовой Союзполнграфпрома DpK Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии н книжной торговли. 198052, Ленинград, Л-62, Измайловский просоект, 29
