При использовании элементов, произвольно ориентированных в пространстве, например при расчете оболочек и т. п., требуется знание и понимание основ векторной алгебры. Кратко изложим некоторые основные понятия.
Векторы (с геометрической точки зрения) можно определить их компонентами по направлениям осей х, у, г).Таким образом, вектор .Vol, показанный на фиг. А5.1, можно представить в виде
Voi = i*i + j</i + kz„ {А5.1)
где i, j, к -единичные векторы в направлениях осей х, у, г. С другой стороны, этот же вектор можно записать как
{loi}=j/! (А5.2)
(как вектор-матрицу), располагая его компоненты в виде столбца.
Сложение и вычитание. При сложении и вычитании векторов производится сложение и вычитание их компонент:
Vo2 - Vo, = Va, = i (X2 - X,) + j («/2 - J/i) + к (Z2 - 2,). (A5.3)
Этот же результат можно получить, используя правила матричной алгебры, т. е.
У2-уЛ. (А5.4)
Z2 - 2, J
Длина вектора. Из геометрических соображений длина вектора V21 определяется выражением
/2, = V(*2 - хГ + ({/2 - У1? + (22 - (А5.5)
или в обозначениях матричной алгебры
/i2 = V{iFTiM. (А 5.6)
I) Здесь и дзлее предполагается прямоугольная декартова система координат. - Прим. ред.
Направляющие косинусы. Направляющие косинусц вектора определяются через длины его проекций:
cos о;
и т. д.,
(А5.7)
где 0; - угол между вектором и осью х.
Скалярные произведения. Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение длины одного из векторов на длину проекции на линию его действия другого вектора. Та-
Фиг. А5.!. Векторное сложение.
КИМ образом, если у -угол между двумя векторами Л и В, длина которых /д и k, то
Если
А.В = гЛсозу = В. А. B = i&. + j + k6„
(А5.8) (А5.9)
то, учитывая, что в соответствии с приведенным определением i.i = j.j=k.k=l.
ролучаем
i-j=j.k = k.i = 0 и т. д.,
(А5.10)
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
В матричных обозначениях
{4}=а,, {S} = u,. (А5.11)
X.B=={Ay{B} = {BY{A}. (А5.12)
Векторное произведение. Векторное произведение определяется как вектор, направленный по нормали к плоскости, задаваемой двумя векторами, и равный по величине произведению
В матричной алгебре нет простого аналога векторному произведению, однако можно использовать для вектора С следующее определение );
{С} = ЛХВ
rayb,-aj}y - J а,6 V - Яг
{А5.17)
афу - Uybj,.
Векторное произведение особенно полезно при построении нормали к поверхности (см. гл. 11).
Элементарные площадь и объем. Если 5 и г) -некоторые криволинейные координаты, то векторы
/ дх \ / дх \
•dr)
{А5.18)
определяемые соотнощениями между декартовыми и криволинейными координатами, направлены по касательным к линиям I = const и т) =. const. Поскольку длина векторного произведения d X равна площади элементарного параллелограмма, используя (А5.17), можно записать
дх дх
dl <Jti ду ду
S = det
di d.
(A5.19)
ai дц
Аналогично в криволинейных координатах , t], g трехмерного пространства элементарный объем определяется смещанным произведением
dV=dl-{dfiXdU) = dei
дх dl ду dl dz dl
дх дх
ду дц дг дц
dl dz dl
dld-dt,. (A5.20)
Это соотнощение следует из геометрических соображений. Произведение, стоящее в скобках, по определению представляет собой вектор, длина которого равна площади параллелограмма, построенного на векторах dr\ и d. Скалярное умножение этого вектора на вектор d дает элементарный объем.
) Подробнее см. в книге: Б. Е. Победря, Лекции по тензорному анализу, Изд-во МГУ, {т.-"Прим. ред.
