Эти выражения поясняют понятия матрицы и матричного умножения. Матрицы определяются как массивы чисел указанного в (А 1.2) типа. Массив в виде одного столбца чисел часто называется вектором или матрицей-столбцом. Умножение матрицы на матрицу-столбец записывается в виде (А1.1) или (Al.la).
Если для тех же самых постоянных, но других векторов х
Отсюда видно, что матрицы равны только тогда, когда равны между собой все их элементы.
Записанные соотношения справедливы и для умножения полных матриц. Очевидно, это умножение имеет смысл, если число столбцов матрицы [А] равно числу строк матрицы [x]. Одним из характерных свойств матричного умножения является его некоммутативность:
Каждый элемент матрицы [С] равен сумме соответствующих элементов [Л] и \В].
Вычитание производится по таким же правилам.
Транспонирование матрицы
Эта операция представляет собой переупорядочение чисел массивав соответствии с соотношением
«21 «31
«22
«зг
«13 «23
«33
-iT г
«п
«12 -«13
«21 «22 «23
«31 «32
«31
(А 1.8)
и обозначается символом Т.
Примеры использования этой операции будут указаны позднее. Пока же можно ограничиться только определением.
Обращение матрицы
Если матрица [А] в соотношении (А 1.1 а) квадратная, т. е. состоит из коэффициентов системы уравнений типа (А1.1), в которой число уравнений равно числу неизвестных, то неизвестные {х} можно выразить через известные коэффициенты {&}). Решение можно записать в виде
(А 1.9)
где матрица [Л]- называется обращением квадратной матрицы [А]. Ясно, что матрица [Л]~ тоже квадратная и ее порядок равен порядку матрицы [А].
Соотнощение (А 1.9) можно было бы получить, умножая обе стороны (Al.la) на [Л]-. Следовательно,
[АГ[А] = 11]=[А]1А]-
(А1.10)
) Это можно сделать только в том случае если определитель матрицы [Л] отличен от нуля. - Прим. ред.
где [/] - единичная матрица, все элементы которой, не стоящие на диагонали, равны нулю, а диагональные элементы равны единице.
Ясно, что если уравнения не имеют решения, то обратной матрицы не существует.
Сумма произведений
В задачах механики часто приходится иметь дело с такими величинами, как, например, силы, которые можно представить в виде матрицы-вектора
(А1.11)
Силы в свою очередь связаны с перемещениями, определенными другим вектором, скажем
(А1.12)
Известно, что работа равна сумме произведений сил на перемещения:
Очевидно, что здесь целесообразно использовать операцию транспонирования и в соответствии с первым правилом умножения матриц записать
W = [F„ f2,.... F,]
= {Fy{b}{6Y{F}. (A1.13)
Такая запись часто используется в книге.
Транспонирование произведения
Иногда приходится транспонировать произведение матриц. Читателю предоставляется возможность, основываясь на приведенных определениях, доказать, что
{[A]m=lBY[AV. (А1.14)
Симметричные матрицы
В задачах расчета конструкций часто встречаются симметричные матрицы. Если элементы матрицы [А] обозначить через а,-,, то для симметричной матрицы
ац = а11.
Можно показать, что матрица, обратная симметричной, всегда симметрична.
Разбиение матриц на клетки
Легко убедиться, что матричное произведение [Л][й],
в котором матрицы имеют, например, вид
-а,,
«12
«13
«14
«15
«24
«25
fl32
«33
«34
•«35
[В] =
&3,
&41
6,2 622 632 642 652
МОЖНО получить, разбивая матрицы, как указано пунктиром, на подматрицы, применяя сначала правила умножения матриц так, как будто каждая подматрица является скаляром, и производя дальнейшее умножение обычным образом. Если записать
Ai . Л21
12 А22-
LB2J
[Л] [В] =
то можно показать, что
" . Л21В, -Ь Л22В2-
При разбиении матриц на клетки существенно, чтобы строение подматриц обеспечивало существование произведений вида Лпбь т.е. число столбцов матрицы Лц должно быть равно числу строк матрицы Bi и т. д. В этом случае любые действия над матрицами можно производить так, как будто каждая клетка является скаляром. Отметим, что любую матрицу можно умножить на скаляр (число).
