ТО уравнение неразрывности (3.36) тождественно удовлетворяется и остаются два уравнения
(3.47)
Дифференцируя первое уравнение по у, а второе по д; и вычитая одно из другого, исключаем р, в результате чего остается только одно уравнение
Это уравнение можно решить описанным выше приближенным методом. Читатель может проделать это в качестве упражнения. При решении матрица жесткости получится симметричной и основные соотношения, по существу, будут идентичны соотношениям, рассматриваемым в главе, посвященной изгибу пластин. Однако в этом случае функция формы должна удовлетворять условию неразрывности первых производных между элементами, так как в интегралы будут входить производные второго порядка. Осесимметричные задачи такого рода рассматривались в работе [14].
Примеры были приведены для того, чтобы проиллюстриро--вать общность метода. Однако рассмотренная здесь задача представляет значительный практический интерес, так как в настоящее время большое внимание уделяется разработке методов решения уравнений Навье -Стокса. С целью линеаризации уравнений (3.35) были опущены динамические члены
ди дх
ду дх
ду дх" ду-
Их можно было и оставить, но тогда уравнение (3.43) получилось бы нелинейным, причем матрица {к\ зависела бы от скоростей. Решение таких уравнений слишком сложно, чтобы его подробно рассматривать здесь, однако можно использовать обобщения рассмотренных в гл. 18 методов решения нелинейных задач.
3.7. Заключительные замечания
В этой главе понятие конечных элементов используется для приближенного решения вариационных задач и рассматривается возможность непосредственного приближенного решения дифференциальных уравнений. Области применения обоих подходов еще недостаточно изучены. Некоторые общие идеи, изложенные в этой главе, рассматривались Оденом [15].
ЛИТЕРАТУРА
1. Crandall S. Н., Engineering Analysis, McGraw-Hill, 1956.
2. Washizu К., Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Press, 1968.
3. Weinstock R., Calculus of Variations, McGraw-Hill, 1952.
4 Berg P. N, Calculus of Variations, Ch. 16 in; Handbook of Engineering Mechanics, Flugge W., ed., McGraw-Hill, 1962.
5 Southwell R. V., Relaxation Methods in Theoretics Physics, Oxford Univ. Press, 1946.
6. Forsythe G. E., Wasow W. R., Finite Difference Methods for Partial Differential Equations, Wiley, I960; есть русский перевод: Базов В., Форсайт Дж., Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, ИЛ, 1963,
7 Pian Т. Н. Н. and Tong P., Basis of Finite Element Methods for Solid Con-tinua. Int. J. Num. Meth. in Eng., 1, 3-28 (1969).
8 Melosh R J. Basis for Derivation of Matrices for the Direct Stiffness Method, JAIAA, 1, 1631-1637 (1963)-, русский перевод: Мелош, Основы получения матриц для прямого метода жесткостей, Ракетная техника и космонавтика, 1, № 7, стр. 169-176 (1963). ...
9, Plan Т Н. Н., Derivation of Element Stiffness Matrices, JAIAA, 2, 576- 577 (1964); есть русский перевод: Пиан, Получение матриц жесткости элементов. Ракетная техника и космонавтика, 2, № 9, стр. 20 (1964).
10. Stakgold I., Boundary Value Problems in Mathematics and Physics, Mac-millan, N. Y., 1966.
11 Szabo В A., Lee G, C,"Derivation of Stiffness Matrices for Problems in Plane Elasticity by Galerkin Method, Int. J. Num. Meth. Eng., 1, 301-310
12 La№rltrom P. A., Chang I, D., Flow at Low Reynolds Numbers, .Ch. 81 in- Handbook of Eng. Mech,, Flugge W., ed., McGraw-Hill, 1962.
13 Doctors L. J., An Application of the Finite Element Technique for Boundary Value Problems of Potential Flow, Int. I. Num. Meth. Eng., 2, 243- 252 (1970).
14 Atkinson В., Brocklebank M, P., Card C. C, M., Smith J. M„ Low Reynolds Number Developing Flows, A. I. Ch Eng. J., 15, 548-553 (1969),
15 Oden J T A General Theory of Finite Elements: I, Topological Considera- tions pp. 205-221; II, Applications, pp. 247-260; Int. I. Num. Meth. Eng.,
1 (1969).
4.1. Введение
Решения двумерных задач теории упругости были первыми удачными примерами применения метода конечных элементов [1, 2]. В гл. 2, где были получены основные соотношения метода, такие задачи уже рассматривались для иллюстрации его основ. Эти основные соотношения [(2.1) - (2.3), (2.9), (2.10) и (2.16)] для удобства собраны в приложении II.
В настоящей главе будут более подробно рассмотрены и проиллюстрированы на примерах, имеющих практическое значение, основные зависимости для указанных задач. В дальнейшем мы будем придерживаться именно такого подхода к изложению материала.
Подробно рассмотрен только простейший треугольный элемент, хотя аналогичным образом можно получить основные соотношения и для более сложных элементов, которые описываются в последующих главах.
Читатель, мало знакомый с основными понятиями теории упругости, может найти их в элементарных курсах по этому предмету, в частности в книге Тимошенко и Гудьера [3], обозначения которой будут здесь широко использоваться.
В обеих задачах - о плоском напряженном и плоском деформированном состояниях -поле перемещений однозначно определяется перемещениями и и о в направлениях осей хну прямоугольной системы координат. В обоих случаях рассматриваются только по три компоненты напряжения и деформации в плоскости X, у. В случае плоского напряженного состояния все остальные компоненты напряжения равны нулю по определению и, следовательно, не совершают внутренней работы. В случае плоской деформации напряжение в направлении, перпендикулярном плоскости X, у, не равно нулю. Но поскольку в этом направлении деформация равна нулю по определению, это напряжение также не дает вклада во внутреннюю работу. При желании его можно определить через значения главных компонент напряжения.
4.2. Характеристики элементов
4.2.1. Функции перемещений
На фиг 4 1 показан типичный треугольный элемент с узлами t, i, т, пронумерованными против часовой стрелки. Пере-мещениякаждого узла имеют две компоненты
Ivi)
(4.1)
а шесть компонент перемещений элемента образуют вектор
(4.2)
Перемещения внутри элемента должны однозначно опреде-лятьсятими шестью величинами. Ясно, что простейшим пред-
Фиг 4 I Элемент сплошной среды для расчета плоского напряженного или * плоского деформированного состояния.
ставлением являются линейные полиномы u - Oi + aiX + ay, v = ai + aiX-\-a.
(4.3)
Зняцения шести постоянных «г легко найти из двух систем, состоящих Г трех уравнений, которые получаются в результате подстаиовки в(4.3) узловых координат и приравнивания
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ
И ПЛОСКОЕ ДЕФОРМИРОВАННОЕ
СОСТОЯНИЯ
перемещений соответствующим перемещениям узловых точек. Записав, например,
= + ал + азУ1, u, = ai + a2Xi + a3yf, (4.4)
выразим а,, аг, Оз через величины узловых перемещений щ, щ. Urn и окончательно получим
+ (а„ + Ь„х + с„у)и„}, (4.5а) (4.56)
Ь1 = У!-Ут = У1т, <!i-Xm - Xj = Xmj;
остальные коэффициенты получаются циклической перестановкой индексов (, /, т, а величина 2Д определяется соотнощением
1 Xi yi
2A = det 1 Xj у,
1 x г/„
= 2 • (площадь треугольника Цт). (4.бв)
Аналогично можно представить перемещение о в вертикальном направлении;
о = {(а, + btx + ay) vi + (а, -f bjX.+ С/у) v, +
+ (a + b,nx + cy)v}. (4.6)
Хотя на данном этапе в этом нет особой необходимости,
можно записать соотнощеиия (4.5а) и (4.6) в стандартной форме (2.1):
" "" = [N] {бУ = [Ши /Г/, {б} (4.7)
где 7 -единичная матрица размерности 2X2, а Ni = ---- и Т. д.
(4.8)
Примечание: если за начало координат принять центр тяжести элемента, то
Xi + x + x, = yi-\-y„-\-y, = Q и а, = -з- = ау = а„.
Выбранная функция перемещений автоматически гарантирует непрерывность перемещений между смежными элементами, так как вдоль любой стороны треугольника они изменяются линейно, и, следовательно, из равенства перемещений в узлах следует их равенство по всей границе.
4.2.2. Деформация (полная)
Полную деформацию в любой точке внутри элемента можно охарактеризовать тремя составляющими, которые дают вклад во внутреннюю работу:
{е} =
ди дх до Зу ди j до
(4.9)
ду дх
Используя равенства (4.7) или (4.5а) и (4.6), имеем
{е} =
дМ] дх
dtf, ~дГ
О дЫ,
ду " ду dNi dNi dNi dNj ду дх ду дх
ь, о
дх О
от ьп О
О С/ О с, Cl b,
ду дх
bi о
т (4.10)
что явным образом определяет матрицу [В] из равенства (2.2), Следует заметить, что в этом случае матрица [В] не зависит от координа- точки внутри элемента, и, следовательно, деформации в нем постоянны. Очевидно, что эти функции формы удовлетворяют критерию постоянства деформаций, приведенному в гл. 2.
Начальные деформации, т. е. деформации, не зависящие от напряжений, могут возникать по разным причинам. Усадка, рост кристаллов или чаще всего колебания температуры будут
