12. Turner М. J., Dill E. H., Martin H. C, Melosh R. J., Large Deflection of Structures Subjected ot Heating and External Loads, J. о/ Aero. Sciences, 27, 97-106 (1960).
13. Kawai Т., Yoshimura N., Analysis of Large Deflection of Plates by Finite Element Method, Ini J. Num. Meth. Eng., 1, 123-133 (1969).
14. Mallett R. H., Marcal P. V., Finite Element Analysis of Non-Linear Structures, Proc. Am. Soc. Civ. Eng.. 94, S. T. 9, 2081-2105 (1968).
15. Murray D. W-, Wil.son E. L., Finite Element Large Deflection Analysis of Plates, Proc. Am. Soc. Civ.. Eng., 94, EM I, 143-165 (1968).
16. Martin H. C, On the Derivation of Stiffness Matrices for the Analysis of Large Deflection and Stability Problems, Proc. Conf. Matrix Methods in Struct. Mech., Air Force Inst, of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, Oct. 1965
17. Kapur K. K., Hartz B. J., Stability oi Thin Plates Using the Finite Element Method, Proc. Am. .Soc. Civ. Eng., EM2, 177-195 (1966).
18. Gallagher R. H., Padlog J., Discrete Element Approach to Structural Instability Analysis. JAIAA, 1, 1537-1539 (1963); есть русский перевод: Гал.пагер, Падлог, Исс.педование устойчивости конструкций на основе анализа дискретных элементов. Ракетная техника и космонавтика, № 6, стр. 194 (1963).
19. Anderson R. О., Irons В. М., Zienkiewicz О. С, Vibration and Stability of Plates Using Finite Elements, Int. J. Solids Struct., 4, 1031-1055 (1968).
20. Carson W. G., Newton R. E., Plate Buckling Analysis Using a Fully Compatible Finite Element, JAIAA, 8, 527-529 (1969); есть русский перевод: Карсон, Ньютон, Анализ выпучивания пластинки с использованием полиостью совместного конечного элемента. Ракетная техника и космонавтика, № 3, стр. 174 (1969).
21. Kabaila А. Р., de Veubeke В, F., А Quadrilateral Element for Plate Buckling Analysis, Int. J. Num. Meth. in Eng. (в печати).
22. Murray D. W., Wilson E. L., Finite Element Post Buckling Analysis of Thin Elastic Plates, Proc. 2nd Conf. Matrix Meth, in Struct, Mech,, Wright Patterson Air Force Base, Ohio, 1968.
23. Rockey K. C, Bagchi D. K., Buckling of Plate Girder Webs Under Partial Edge Loadings, Int. J. Mech. Sci., 12, 61-76, (1970).
24. Roberts T. M., Ashwell D. G., Rost-buckling Analysis of Slightly Curved Plates by the Finite Flement Method, RepL 2, Dept. ol Civil and Struct. En-
fineering, Univ. of Wales, Cardiff, 1969. nderson R. G., A Finite Element Eigenvalue Solution System, Ph. D. Thesis, Univ. of Wales, Swansea, 1968.
26. Gallagher R., Gellatly R., Mallett R„ Padlog J., A Discrete Element Procedure tor Thin Shell Instability Analysis, jAlAA, 5, 138-145 (1967); есть русский перевод: Галлагер, Джеллатли, Падлог, Моллети, Расчет неустой-чиностн тонких оболочек методом дискретных элементов, Ракетная техника и.космонавтика, № 1, стр. 161 (1967).
27. Gallagher R. Н., Yang Н. Т. У., Elastic Instability Predictions for Doubly Curved Shells, Proc. 2nd Conf. Matrix Methods, Air Force Inst, of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1968.
.28. Plan T. H. H., Tong P., Variational Formulation of Finite Displacement Analysis, Symp. Int. Un. Th. Appl. Mech. on High Speed Computing of Elastic Structures, Liege, 1970.
29. Martin H. C, Finite Elements and the Analysis of Geometrically Non-Linear Problems, U. S. -Japan Seminar on Matrix Methods in Structural Analysis and Design, Tokyo, 1970.
30. Walker A. C, A Non-Linear Finite Element Analysis of Shallow Circular Arches, Int. J. Solids Struct., 5, 97-107 (1969).
31. Thompson J. M. Т., Walker A. C, A Non-Linear Perturbation Analysis of Discrete Structural Systems, Int. J. Solids Struct., 4, 757-767 (1968).
32. Przemieniecki J. S., Stability Analysis of Complex Structures Using Discrete Element Techniques, Symp. on Struct. Stability and Optimisation, Loughborough Univ., March 1967.
33. Connor J., Morin N., Perturbation Techniques in the Analysis of Geometrically Non-Linear Shells, Symp. Int. Un. Th. Appl. Mech. on High Speed Computing of Elastic Structures, Liege 1970.
34. Fung Y. C, Foundation oi Solid Mechanics, Prentice Hall Int., 1965.
35. Oden J. Т., Finite Plane Strain of Incompressible Elastic Solids by the Finite Element Method, The Aeronautical Quarterly, 19, 254-264 (1967).
36. Oden J. Т., Sato Т., Finite Deformation of Elastic Membranes by the Finite Element Method, Int. J. Solids and Struct. 3, 471-488 (1967),
37. Oden J. Т., Numerical Formulation of Non-Linear Elasticity Problems, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 93, ST3, 235-255 (1967).
38. Oden J. Т., Finite Element Applications in Non-Linear Structural Analysis, Proc, Symp. on Application of Finite Element Methods in Civil Engineering, Am. Soc. Civ. Eng., Vanderbilf Univ., 1969.
39. Stricklin J. A, Non-Linear Dynamic Analysis of Shells of Revolution, Symp. Int. Un. Th. Appl. Mech. on High Speed Computing of Elastic Structures, Liege, 1970.
20.1. Введение
Метод конечных элементов легко программируется для быстродействующих вычислительных машин и достаточно эффективен, поскольку с помощью ЭВМ можно решать большие системы линейных алгебраических уравнений, которые получаются после дискретизации задачи [1].
Для расчета методом конечных элементов разработано большое количество программ. Первоначально они имели узко специальное назначение и часто составлялись на машинном языке. Подмеченное в процессе различных приложений сходство в структуре программ привело к созданию более совершенных и универсальных программ. Одним из первых примеров является программа ASKA), ориентированная на определенный тип машины. Например, в области исследования аэрокосмических проблем особое значение имеет возможность решения множества различных задач; составление универсальной программы для расчета небольшого числа задач малоэффективно.
, Быстрые темпы развития вычислительной техники привели к необходимости создания программы на языке, понятном любой машине. Возможности алгоритмического языка ФОРТРАН обусловили его широкое использование для программирования при решении задач методом конечных элементов.
Программа NASA) представляет собой попытку создания гибкой программы для широких исследований и решения задач Американской аэрокосмической промышленности.
Созданные в Суонси программы FESS (Finite Element Solution Swansea) и FINESSE были больше ориентированы на эффективное решение инженерных задач строительной механики малых и средних размеров, таких, например, как расчет мо,-стов, плотин, ядерных реакторов. При их разработке основное внимание уделено созданию простой системы, которую легко приспособить к любым конкретным задачам.
Важно иметь в виду, что затраченные усилия при программировании должны окупаться эффективностью программы. Чем
>) Составлена под руководством проф. Аргириса (Штутгарт).
Нациоиалыюе управление по аэронавтике и исследованию космического пространства,
меньшую по размеру предстоит создать программу, тем больше внимания следует уделить ее эффективности. При составлении программы решения задач методом конечных элементов важно знать пределы возможностей машины и при необходимости использования специальных приемов переходить к ЭВМ с большим объемом памяти и большим быстродействием. Программирование в машинных кодах, как правило, происходит более медленно, и разработка такой программы обходится дороже.
Программа и приемы программирования, описанные в этой главе, имеют ряд особенностей, присущих программе FESS. Однако многие приемы и тонкости рационального использования памяти, характерные для программы FESS, здесь опущены ради простоты. Тем не менее приведенная программа без каких-либо существенных изменений использовалась для расчета сложных упругопластических задач. И хотя здесь приведен всего лишь простейший вариант программы, с ее помощью успешно исследовались методом собственных функций также задачи устойчивости и теории колебаний.
20.2. Программы, реализирующие метод конечных элементов
Программы, реализующие метод конечных элементов, могут иметь различное назначение. Чаще всего требуется только решение линейных задач в.упругой постановке, однако число степеней свободы может быть различным, от нескольких десятков до нескольких- тысяч. В задачах динамики и устойчивости может потребоваться отыскание собственных значений, а для решения нелинейных задач может оказаться необходимым применение различных итерационных методов.
При решении конкретных задач методом конечных элементов встретятся непреодолимые трудности, если составлять программу для каждого нового класса задач. Поэтому очень важно использовать созданные ранее программы.
Типичная программа, реализующая метод конечных элементов, состоит из ряда общих блоков, которые в различных контекстах могут использоваться по-разному. Такими блоками являются ввод исходных данных, вычисление жесткости элементов, решение уравнений, построение матрицы масс, нахождение собственных значений, вычисление напряжений и вывод на дисплей.
При программировании такие блоки используются как подпрограммы. Для обеспечения взаимозаменяемости входные параметры этих подпрограмм должны быть стандартизированы. Тогда при составлении новой программы в каждом конкретном случае можно просто комбинировать соответствующие подпрограммы, и вся дополнительная работа программиста сведется
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ И ПРОГРАММЫ (ЧЕНГ И КИНГ)
лишь к введению каких-либо новшеств или дополнений, связанных со спецификой задачи.
В таких системах управляющая программа обычио.представ-ляет собой очень простую программу, которая обращается в соответствующем порядке к различным подпрограммам. Для некоторых классов задач можно создать стандартные управляющие программы и автоматизировать выбор нужных подпрограмм. В больших организациях, имеющих дело с некоторыми определенными типами задач, создание таких стандартных программ может оказаться чрезвычайно полезным. Однако в исследовательских целях, видимо, предпочтительнее более гибкое ручное программирование.
Важно, чтобы сформированные блоки имели достаточное количество документации, позволяющей легко использовать их не только непосредственному составителю, но и другим лицам. Крайне полезным может оказаться включение в соответствующие места комментариев.
Пример управляющей программы. В этой главе приведен пример программы расчета линейной задачи о плоской деформации, не требующей большого объема памяти машины, что позволяет применять ее в малых ЭВМ. Программа написана на языке ФОРТРАН IV н представляет собой очень простой прн-, мер использования отдельных подпрограмм. Однако она вполне пригодна для решения практических задач и легко, может быть использована читателями, знакомыми с ФОРТРАНОМ. В разд. 20.7 описан пример решения с помощ,ью этой программы задачи о плоском напряженном состоянии (с измененными материальными константами). Прн нспользованни подпрограмм в других целях или при применении элементов других типов i!e-обходимо составить соответствующие управляющие программы. Типичная блок-схема управляющей программы приведена на стр. 467.
Заметим, что в этой программе цикл по нагрузкам вводится в целях экономии памяти вычислительной машины, что, однако, приводит к увеличению затрат машинного времени. Тем не менее, когда есть необходимость отдельно исследовать влияние большого числа различных видов нагрузок, как, например, прн расчете мостов, его введение обязательно. Для задач с небольшим разнообразием нагрузок часто бывает предпочтительнее рассматривать их одновременно.
Обозначения переменных общего блока (CONTR) TITLE (12) Массив для заголовка нз 12 символов
П...„„ ...к-----.. -------
NP N6
Число узловых точек Число элементов
NB Число узлов, в которых заданы граничные
условия
NDF Число степенен свободы узла
NCN Максимальное число узлов в элементе
NLD Количество случаев нагружения
NMAT Количество типов материала
NSZF Число уравнеинй в системе
LI Счетчик цнкла по нагрузкам
NT4 Порядковый номер запоминающего устрой-
ства
Основные переменные, помещаемые в область COMMON
CORD (100,2) Массив координат узловых точек NOP (200,4) Массив, содержащий информацию о связи
элементов
IMAT (200) Массив, содержащий информацию О типе
материала элемента ОРТ (25,2) Массив, содержащий характеристики ма-
териала элемента NBC (25) Номера узлов, в которых заданы гранич-
