получения правильных результатов необходимо решать нелинейные задачи. Существенное размягчение оболочки под нагрузкой видно иа примере, взятом из работы [9] и иллюстрированном на фиг. 19.4. На фиг. 19.5 показано, что перемещения нагруженной
IE?. 77»»
217,5
87,0
43,5
0,25 0.51 0.76 т Прогиб в иентре, см
1.27
Фиг. 19.5. Расчет больших деформаций арки методом начальной устойчивости н приращений.
I -решение методом начальной устойчивости; -решение методом конечных элементов [7. Л>»1,21 см. /=0,00229 см<, £=6,74 • 10" Щм".
арки неограниченно возрастают при величине нагрузки, гораздо меньшей определенной по линейной теории устойчивости [6].
Определение истинной критической нагрузки оболочки или другой тонкой конструкции связано с определенными трудностями (уже рассмотренного в гл. 18 вида), поскольку не может быть сходимости перемещений при увеличении нагрузки вблизи предела несущей способности.
Если рассматривается только сосредоточенная нагрузка, то удобно задавать приращения перемещений и вычислять соответствующие реакции. Аргирис [4] с помощью этого метода изучил поведение арки при нрощелкивании.
Пиан и Тонг [28] показали, каким образом этот прием можно просто обобщить на случай системы пропорционально изменяющихся нагрузок.
В работах [29-33] описаны другие методы исследования потери устойчивости.
19.5. Общий случай больших деформаций и перемещений
Использованные в разд. 19.3 нелинейные соотношения (19.5) между деформациями и перемещениями были выведены спецы ально для этого случая. Аналогично можно вывести соотношения и для оболочек, кроме того, всегда существует возможность получения и других приближенных выражений. Однако можно использовать общее определение деформаций, справедливое как для больших, так и для малых перемешений и деформаций. Такое определение введено Грином и Сеи-Венаном. Оно известно как тензор деформации Грина. В фиксированной декартовой системе координат х, у, z деформации определяются через перемещения м, о, w выражениями [34]
ди ди ,до д ,дт дтЛ (9.33)
"Гл.- л„ "Г л,. "
---- WW I
„а ~д7
дх \.дх ду дх ду дх ду У
Остальные компоненты получаются в результате соответствующих перестановок.
Если градиенты перемещения малы, то после пренебрежения квадратичными членами получаем обычные линейные выражения для деформации.
Геометрическая интерпретация вышеприведенных определений деформаций в общем случае не очевидна, но следует отметить, что они являются мерами удлинения и искажения углов первоначально ортогонального элемента.
Если деформации по величине малы, то нетрудно показать, что определяет изменение длины единичного отрезка, первоначально параллельного оси х, а уу характеризует изменение угла между двумя линейными элементами, первоначально параллельными осям X \1 у. Это справедливо даже при движениях, связанных с большими переносом и поворотом первоначальных осей координат.
Далее выводятся нелинейные выражения для матриц [В] и [Кт] в общем случае трехмерного напряженного состояния. Из
этих выражений просто получить одномерные и двумерные формы. Это предоставляется проделать читателю в качестве упражнения. Общие соотношения удобно использовать для задач расчета пластин и оболочек. При этом можно учесть некоторые члены, которыми мы пренебрегали в записанных в предыдущем разделе выражениях для пластин.
19.5.1. Построение матрицы [SJ
Вектор полной трехмерной деформации можно представить через компоненты бесконечно малой и большой деформаций
{6"} =
{е} =
{в"} -f {в}.
дп •ду
dz 1
Угх Уху
dw , дх +
(19.34)
dw ду ди
dz dv
(19.35)
столбец, рассмотренный в Гл. 6. Нелинейные члены в соотношении (Ш.ЗЗ) удобно переписать в внде
о о о
-{уУ
о о о
О О
{xY о
ад [ = 4-И] {9}, (19.36)
ЛОЛ J
dv dw
и т; д.,
а [Л] - матрица размерности 6x9.
Читатель легко может убедиться в справедливости записанного выше соотношения и проверить выполнение свойств матриц
[А] и {0}, описанных в подразд. 19.3.2 (примечание иа стр. 447). В этом случае
rf-{et} = {d[A] {9} +jlA]d{0} = [А]d {9}, (19.37)
и так как (9} можно выразить через функцию формы [Щ и узловые параметры (6}, то
{9} = [G]{6} (19.38)
d{8}=H][G]d{6}
" Ш = [АШ. (19.39)
19.5.2. Построение матрицы [Кт]
Замечая, что
[S]=[Bo] + [5j,
легко построить матрицу, определенную соотношением (19.7):
[K]-=[Ko] + lKi]=\lB]4D][B]dV. (19.40)
Для получения полной матрицы тангенциальных жесткостей необходимо построить матрицу начальных напряжений [КА- В соответствии с (19.8) имеем
[Ka]d{a) = \ d [Bif {а} dV = \ [GV d[Ar {<т} dV. (19.41)
Можно записать
. Симметрично
Oyh -yzh
где /з - единичная матрица размерности 3X3. Подставляя (19.42) в (19.41), получаем
d{9} = [Af] [G]d{6}, (19.42)
[K,] = \[GY[M][G]dV,
(19.43)
где [М] - матрица размерности 9 X 9 из шести компонент напряжения, расставленных, как показано в (19.42). Очевидно, что матрица [Ко] симметрична.
В предыдущих выражениях индекс элемента опущен, хотя все матрицы должны строиться для каждого элемента, а затем суммироваться обычным образом..
В случае необходимости введения непротиворечивых упрощений при исследовании пластин и оболочек полезно начинать с общих выражений. Эти выражения необходимо использовать и при исследовании рассмотренных в гл. 14 толстых оболочек.
Если известна связь между напряжениями и деформациями, то ее можно использовать для исследования больших деформаций. Однако чаще определяют непосредственно энергию деформаций через компоненты деформации и, минимизируя ее, находят обобщенные силы. Некоторые примеры такого подхода к исследованию больших деформаций даны Оденом [35-38], который рассмотрел большие деформации резиновых мембран и сплошных сред.
19.6. Заключительные замечания
В этой главе сделана попытка подойти ко всем задачам о больших деформациях с одних и тех же позиций. Указаны различные методы решения основной системы нелинейных уравнений, и вполне естественно, что перед читателем может встать вопрос, какой из этих методов предпочтительнее. Если требуется найти лишь одно решение нелинейной задачи о больших деформациях, то в большинстве случаев оказывается, что метод Ньютона сходится довольно быстро. Однако в некоторых случаях экономически выгоднее применять методы, использующие постоянную матрицу.
Если требуется исследовать весь процесс деформирования при нагружении, то, как правило, рассматриваются малые приращения нагрузки и для каждого такого приращения решается задача линейной теории упругости, причем матрица тангенциальных жесткостей вычисляется для начала приращения нагрузки [2, 3]. При использовании этих методов может накапливаться ошибка, и поэтому Бреббиа и Коннор [9] рекомендуют после нескольких приращений уточнять решение методом Ньютона.
Рассмотренные методы можно использовать для решения геометрически нелинейных задач динамики, особенно когда существуют матрицы жесткости, соответствующие начальным напряжениям, и рассматриваемая задача квазилинейна. Андерсеном и др. [19], например, решено много задач о колебаниях предварительно сжатых пластин).
Если можно построить матрицу упругих постоянных для приращений, то совместное рассмотрение физической и геометрической нелинейностей становится особенно простым. Марсал [2]
) В работе [39] исследовались переходные процессы в таких задачах.
решил ряд таких задач о больших пластических деформациях. Интересно отметить, что приемы решения нелинейных задач при физической и геометрической нелинейностях сходны. Это позволяет разработать вычислительные программы решения задач с учетом обоих типов нелинейности.
В заключение следует отметить два обстоятельства. Во-первых, это сравнительно громоздкое построение матрицы начальных напряжений для пластин, хотя в ряде ранее опубликованных работ изложен более простой способ построения. Однако при этом, как нам кажется, удалось достичь общности изложения. Во-вторых, применение используемых в книге матричных обозначений в разделе о больших деформациях потребовало осуществления достаточно сложных преобразований. Некоторых упрощений можно было бы достичь при использовании тензорных обозначений. Кстати, их можно было бы применить по всей книге. Однако избранный нами путь более доступен и понятен.
ЛИТЕРАТУРА
1. Truesdell С. (ed.), Continuum Mectianics IV, Problems of Non-Linear Elasticity, Vol 8, p. 4, Gordon and Beach, 1965.
2. Mar?al P. V., Finite Element Analysis of Combined Problems of Material and Geometric Behaviour, Techn. Rept. 1, ONR, Brown Univ., 1969; Proc. Am. Soc. Mech. Eng. Conf. on Computational Approaches in Applied Mechanics, 133, June 1969.
3. Argyris J. H., Kelsey S., Kamel H., Matrix Methods of Structural Analysis, AGARD-ograph 72, Pergamon Press, 1963.
4. Argyris J. H., Continua and Discontinua, Proc. Conf. Matrix Methods in Structural Mechanics, Air Force Inst, of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, OcL 1965.
5. Nayak G. C, Plasticity and Large Deformation Problems by Finite Element Method, Ph. D. Thesis, Univ. of Wales, Swansea, 1971.
6. Mar?al P. v.. Effect of Initial Displacement on Problem of Large Deflection and Stability, Techn. Rept, ARPA E54, Brown Univ., 1967.
7. Marguerre K., Ober die Anwendung der Energetischen JWethode auf Stabi-litatsprobleme, Hohrb., D. V. L., 252-262, 1938.
8. de Veubeke B. F., The Second Variation test with Algebraic and Differen-tiaLContrasts, Advanced Problems and Methods for Space Flight Optimisation, Pergamon Press, 1969.
9. BrelJbia C, Connor J., Geometrically Non-Linear Finite Element Analysis, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 95, EM2, 463-483 (1969).
10. Timoshenko S. P., Gere J. M., Theory of Elastic Stability, McGraw-НШ, 2nd ed., 1961.
11. Schmit L. A., Bogner F. K., Fox R. L., Finite Deflection Structural Analysis Using Plate and Cylindrical Shell Discrete Elements, Proc. AlAA/ASME 8th Struct, and Stress Dynamic Conference, Palm Springs, California, 197- 211, March 1967; JAIAA, 5, 1525-1527 (1968); есть русский перевод: Шмит, Богнер, Фокс, Расчет конструкций прн конечных прогибах с использованием дискретных элементов пластин н оболочек. Ракетная техника и космонавтика, № 5, стр. 17 (1968).
