Матрицы, связанные с линейной (малой) деформацией, записываются в виде
№1 =
" KS О . О Ко.
(19.26)
в соответствии с определениями, приведенными в гл. 4 и 10. Матрицы связанные с большими перемещениями, можно получить, подставляя (19.20) в (19.76). После некоторых преобразований имеем
О Ш ID} iBlV
Симметрично [bIJ [D] [fit].
dV. (19.27)
Матрица [/CJ находится в соответствии с определением (19.8). Варьируя (19.20), получаем
О О"
IdlBiY о.
(19.28)
есть произвольный вектор, то
d [А] {х] =
Таким образом. Аналогично если
At) ii)-
dlA]ifi] = [A]d
0 -1
X2 Xl
d [Af [y] -
yi Уг lyi Ы
die);
STO второе свойство будет использовано позднее.
а после подстановки в (19.8) и (19.25) находим
lK„]d{6}=\
О О l[GYd[AY Oj
(19.29)
В соответствии со свойством, изложенным в примечании иа стр. 447, можно записать
d[AY< Ту
i- ху
Ту J
rf{9} =
lG]d{6}.
Таким образом, окончательно получаем
"О О
Lo ШГ
Тх т
(19.30)
(19,31)
известная симметричная матрица для начальных напряжений пластин.
19.3.4. Задача о больших прогибах
Все необходимые соотношения для решения задачи о больших прогибах пластины уже получены.
На первом этапе находятся перемещения (6} из решения несвязанной задачи о малых перемещениях. С их помощью определяются линейная и нелинейная [по соотношению (19.21)] части действительных деформаций. Соответствующие этим деформациям напряжения находятся из обычных соотношений теории упругости, а затем из уравнения (19.21) определяется {i)o}. Для последующих приближений [Кт] строится по формулам (19.26), (19.27) и (19.30).
Полученное таким образом решение типичной задачи [9] (фиг. 19.2) показывает, что с увеличением деформации благодаря появлению мембранных напряжений пластина становится жестче. Перемещения краев пластины как в ее плоскости, так и в поперечном направлении отсутствуют. Результаты расчета хорошо согласуются с аналитическим решением,
Для описания мембранной деформации элемента использовалась приведенная в гл. 7 простейшая функция для прямоугольника, а для описания нагибной деформации -несогласованная функция формы для прямоугольника (разд. 10.4 гл. 10).
В работах [11-15] приведены другие примеры использования метода конечных элементов для расчета больших деформаций пластин.
Фиг. 19.2. Прогиб Шс в центре защемленной квадратной пластины при равномерно распределенной нагрузке р [9]. Л -расчет больших прогибов; В-теория малых прогибов.
19.3.5. Бифуркация
В ряде случаев, таких, например, как классическая задача Эйлера, возможна бифуркация равновесия. Рассмотрим пластину, нагруженную лишь в своей плоскости. Поскольку поперечных перемещений w не возникает, теория малых прогибов дает точное решение. Однако даже при нулевых поперечных перемещениях можно определить матрицу начальных напряжений [/Со], хотя [Kl] = 0. Если мембранные напряжения сжимающие, то эта матрица, как правило, будет такой, что из уравнения иэгибной деформации
([кЯ + я[кЯ){б}=о
(19.32)
можно найти действительные собственные значения. Здесь А,- множитель при мембранных напряжениял, указывающий, при
каком их значении достигается состояние нейтрального равновесия (неустойчивость). При соответствующей этим мембранным напряжениям нагрузке начинается выпучивание и могут появляться поперечные перемещения в отсутствие поперечной нагрузки.
Для постановки этой задачи достаточно записать уравнение изгиба, в которое входят введенная в гл. 10 матрица [ Ко\ и определенная соотношением (19.31) матрица [/Со].
С помощью различных конечных элементов определены точки начала выпучивания для различных задач расчета пластин [16-21]. Некоторые сравнительные результаты для простой задачи расчета квадратной свободно опертой пластины в условиях равномерного сжатия в одном направлении приведены в табл. 19.1. Параметром выпучивания в этом случае является величина
где а -сторона пластины и D - изгибная жесткость.
Таблица 19,1
Значения С для квадратной свободно опертой пластины прв одвоосиом сжатии (точное звачевне С = 4,00 [10])
Несогласованные элементы
Согласованные элементы
прямоугольник [17]. 12 степеней свободы
треугольник 119], 9 степеней свободы
прямоугольник [20J, 16 степеней свободы
четырехугольник [21], !6 степеней свободы
2X2 4X4 8X8
3,77 3,93
3,22 3,72 3,90
4,015 4,001
4,029 4,002
Все элементы относятся к описанному в гл. 10 типу. Интересно отметить, что при выполнении требования непрерывности углов наклона для параметра выпучивания всегда получаются оценки сверху. При использовании несогласованных элементов в этом случае получаются оценки снизу, хотя в общем случае справедливость этой оценки пока не установлена.
На фиг. 19.3 показана форма выпучивания для пластины более сложной формы [19]. При расчете использовались несогласованные треугольные элементы.
Практическое значение таких задач об устойчивости пластин невелико. Поскольку при наличии поперечных перемещений пластина становится жестче, она может выдерживать дополнительные нагрузки. Такое увеличение жесткости отмечалось в при-
Фиг. 19.3. Форма выпучивания квадратной пластины с защемленными краями и-подкрепленным фланцем центральным отверстием при сдвиге.
Размеры фланца:
мере, иллюстрированном на фиг. 19.2. Таким образом, поведение пластины после выпучивания необходимо исследовать, применяя описанный в предыдущих разделах общий метод изучения больших деформаций [22-24]. Для того чтобы избежать связанных с бифуркацией трудностей, следует задать небольшое возмущение (или поперечную нагрузку).
19.4. Оболочки
Задачи устойчивости для оболочек имеют большее значение, чем для пластин. При исследовании оболочек матрицу тангенциальной жесткости [Кт], как правило, всегда следует определять с учетом действительных перемещений, поскольку, за исключением самых тривиальных случаев, при заданной нагрузке мембранные и изгибные эффекты всегда взаимосвязаны. Одна-
ко, вычисляя матрицу начальной устойчивости [Ко] для упругих напряжений, иногда можно получить полезные результаты относительно коэффициента устойчивости Я. В классических работах по выпучиванию оболочек почти исключительно рассматривается именно такая начальная устойчивость. Однако истинная критическая нагрузка может быть значительно ниже нагрузки, соответствующей начальной устойчивости. Поэтому важно выявить, хотя бы приближенно, влияние деформаций.
Если предполагается, что оболочки состоят из плоских элементов пластин, то к матрице тангенциальной жесткости пластины можно применить описанные в гл. И преобразования [25, 26]. При использовании криволинейных элементов оболочек следует вернуться к уравнениям теории оболочек и включить в них нелинейные члены [9, 27]. Необходимые подробности читатель может найти в упомянутых работах.
Важно опять подчеркнуть, что расчеты начальной неустойчивости имеют смысл только в частных случаях и что они часто дают сильно завышенные значения критических нагрузок. Для
I0SO 540
Лин реш
9йное / вние /
✓
\50,Всм
0.51
1,ог 1,5г
10 Wc, см
2.03
Фиг. 19.4. Прогибы в центре цилиндрической оболочки. Все края защемлены.
