менн, число итерации увеличивается и метод сходится во многих случаях медленно.
Все решения можно находить за один шаг для полной действующей нагрузки. Однако, как и во всех нелинейных задачах, возникает возможность неединственности решения и при этом может быть найдено решение, не имеющее физического смысла. В таких случаях целесообразно задавать нагрузку отдельными приращениями и получать нелинейное решение для каждого приращения. С вычислительной точки зрения это часто экономичнее, поскольку эффекты нелинейности на каждом шаге становятся меньше. Если приращения нагрузки достаточно малы по величине, то каждое решение в приращениях с достаточной степенью точности может быть найдено за один шаг [3, 4, 6]). Однако необходимо периодически проверять выполнение условия равновесия с помощью нелинейного соотношения (19.1).
19.2.8. Задача начальной устойчивости
Интересно отметить, что матрица [Ка] не содержит перемещений в явном виде и пропорциональна величине напряжения {а}. Если на первом шаге вычислений {о} определяется из линейного решения, то в соответствии с (19.6)
с1Ш = ([Ка]-\-Ш)(1{6}, (19.10)
поскольку при этом [/Ci.l==0.
Если нагрузки увеличить в Я раз, то можно найти, что существует нейтральное состояние равновесия, т. е. такое, при котором
dH}{[Ko] + mc]}d{6}0. (19.11)
Решая описанную выше (см. гл. 17) типичную задачу о собственных значениях, можно найти К.
Это не что иное, как классическая задача начальной устойчивости (выпучивание стоек, пластин, оболочек и т. д.).
В литературе довольно часто этот метод используется там, где он неприменим. Описанная задача начальной устойчивости может дать физически правильное решение только в том случае, если деформации, определенные из упругого {[Ко]) решения, таковы, что матрица больших деформаций [Кь] тождественно равна нулю. Это может быть только в очень ограниченном числе представляющих практический интерес случаев (например, идеально прямая стойка под действием осевой силы; замкнутая
) Это обстоятельство фактически указывает на то, что описанный метод эквивалентен методу Эйлера. Ясно, что его можно уточнить, применяя методы Рунге - Кутта или методы проб и ошибок [28].
сфера, нагруженная равномерно распределенным давлением, и т. д.). Полученные с помощью этого метода выводы о начальных «несовершенствах» применимы только в тех случаях, когда возможна бифуркация равновесия. Для технических приложений такие задачи необходимо исследовать, используя полную матрицу тангенциальных жесткостей [6]. Состояние нейтрального равновесия достигается тогда, когда величина [KT]d{6] тождественно равна нулю. Ясно, что в этом случае следует использовать метод приращений.
Как было показано в гл. 2, виртуальная работа прн изменении перемещения на величину d(6} фактически равна вариации полной потенциальной энергии х- Таким образом, в состоянии равновесия
dx = d{6Y{}=0, (19.12)
т. е. полная потенциальная энергия стационарна [что эквивалентно уравнению (19.1)].
Вторая вариация х в соответствии с (19.9) имеет вид
dh = d (dt) = d {bfd {} = d {ЬУ [К A d{b). (19.13)
Критерием устойчивости является положительность величины этой второй вариации, и, наоборот, ее отрицательность является критерием неустойчивости (поскольку в первом случае конструкции должна бы:ь сообщена энергия, а во втором - у конструкции избыток энергии). Другими словами, если матрица [Кт] положительно определенная, то состояние равновесия устойчиво. Этот- критерий хорошо известен и широко используется при исследовании устойчивости в случае больших деформаций ) [7-9].
19.2.5. Силы, зависяш,ие от деформации
• При выводе формулы (19.5) предполагалось, что силы [R] не зависят от деформации. В некоторых случаях это не так. Например, к категории зависящих от деформаций нагрузок относятся давление, действующее на сильно деформируемую конструкцию, и некоторые аэродинамическиесилы (при флаттере).
) Другой, хотя и реже используемой проверкой является исследование знака определителя матрицы 1Кт\-
Если СИЛЫ зависят ОТ перемещения, то в (19.5) необходимо добавить вариацию d{R} по d{6}. Учет этого члена позволит исследовать задачи об устойчивости и о больших деформациях под действием таких (неконсервативных) нагрузок.
19.3. Большие прогибы и начальная устойчивость пластин
19.3.1. Определения
В качестве первого примера рассмотрим задачи, связанные с деформацией пластин, нагруженных поперечными силами и
--dx--
Фиг. 19.1.
а-результирующие мембранных и изгибных напряжений плоской пластины; б-удлинение срединной поверхности прн поперечном перемещении.
силами В плоскости пластины, когда перемещения конечны, но не велики. Известно, что в таких случаях перемещения в поперечном направлении вызывают деформации мембранного типа, и задачи о деформации в плоскости и в поперечном направлении уже нельзя рассматривать отдельно, поскольку оии являются связанны.чи.
Как и ранее, деформаций пластины будем характеризовать перемещениями срединной поверхности; если, как показано на
фиг. 19.1, а, плоскость х, у совпадает со срединной поверхностью, то (см. гл. 10 и 11))
{8} =
dw дх" d"w ду
дх ду
Ту Тху
(19.14)
В частности, = Cxt, где - среднее мембранное напряжение. Если рассмотреть деформированную пластину (фиг. 19.1,6), то можно увидеть, что перемещение w приводит к дополнительному растяжению срединной поверхности в направлениях X и у и элемент длины dx растягивается до величины •
т. е. удлинение в направлении х можно записать (с точностью до членов второго порядка) в виде
ди , ] f dw \2
Рассматривая таким же образом и другие компоненты [10], деформацию можно представить в виде
{е} =
ди дх ду ду
ди , до ду дх dw
дх- дЫ ду"
дх ду
1 (2е
Ч\дх)
дт Y
iiay )
( dw \/dw \дх Жду
19.15)
) Мембранные и изгибающие компоненты помечены индексами р1 а Ь.
Здесь первый член представляет собой уже неоднократно рассмотренное линейное выражение, а второй содержит нелинейные члены. В этом выражении и, V, w - перемещения срединной поверхности.
Если рассматривается линейно-упругое поведение, то матрица [D] состоит из мембранных и изгибающих компонент (см, гл. 4 и 10):
rrnpi о "
[£)"
(19.16)
Перемещения с помощью соответствующих функций формы выражаются через узловые параметры. Например,
(19,17)
Множество узловых параметров удобно разделить на части, определяющие мембранные и изгибные деформации:
{бП = {" (как в гл. 4),
(19.18)
• dw
(как в гл. 10).
\ ду li
функцию формы также удобно представить в виде
L о [Ntfi
(19.19)
мы будем считать, что и вектор перемещений тоже имеет вид, соответствующий (19.18).
Такие представления удобны, поскольку все характеристики, за исключением нелинейной деформации (ерг}, совпадают с обычными линейными.
19.3.2. Вычисление матрицы-Щ
Для дальнейшего необходимо получить выражения для матриц [В\ и [Кт]- Сначала отметим, что
Й = [Во] + [Вл1, "[BS] О
(19.20)
[Во]-
L О ыи
, [BJ =
О [Bi] Lo О J
причем [Во], [Во] -обычные известные матрицы, соответствующие линейным элементам при плоском напряженном состоянии и изгибе, а [В*] находится варьированием {ej по па-рамет[уам {б*}.
Эту нелинейную компоненту деформации из выражения (19.15) удобно записать в виде
dw дх -
( дт
1 дх
1 dw
- ду
дх
•=тИ]{9}. (19.21)
Производные (углы наклона) w можно связать с узловыми пара-меграми {б*}:
{9} =
[С] =
= [0]{б
(19.22)
(19.23)
Матрица [G] зависит только от координат. Варьируя (19.21), получаем)
{р/} = У «И! {6} + Y[A]d {6} = [А] d {0} =
= mG]d{b},
(19.24)
) При получении (19.24) использовано интересное свойство матриц М] и {9}. Легко проверить, что если
