9. Zienkiewicz О. С, Valliappan S., King I. P., Elasto-Plastic Solutions of Engineering Problems. Initial-Slress, Finite Element Approach, Int. J. Num. Meth. in Eng.. 1, 75-100 (1969).
10, Gallagher R, H., Padlog J.. Bijlaard P. P., Stress Analysis of Heated Complex Shapes, /. Am. Rocket Soc, 32 , 700-707 (1962); есть русский перевод: Галлагер, Падлог, Бейлард, Анализ напряжений в коистр)-кииях сложной формы, подверженных нагреву, Ракетная техника, 32, № 5, стр. 52-61 (1962).
12. Pope G G. A Discrete Element Method for Analysis of Plane Elasto-Plastic Strain Problems, R. A. E. Farnborough, T. R. 65028, 1965.
13a Swedlow J. L. Williams M. L., Yang W. M., Elasto-Plastic Stresses in Cracked Plates, Calcit, Rept. SM. 65-19. California Inst, of Technology, 1965.
136. Swedlow J. L., Elastic Plastic Cracked Plates in Plane Strain, Int. J. fracture Mech., 5, 33-44 (1969).
14. Marcal P. V., King I. P., Elastic-Plastic Analysis of Two Dimensional Stress Systems by the Finite Element Method, Inf. J. Mech. Sci., 9, 143-155 (1967).
15. Reyes S. F., Deere D. U., Elasto-Plastic Analysis of Underground Openings by the Finite Element Method, Proc. 1st Inf. Congr. Rock Mechanics, II, 477-486, Lisbon (1966).
16. Popov E. P., Khojasteh-Bakht M., Yaghmai S., Bending of Circular Plates of Hardening Material, Intern. J. Sot. Struct., 3, 975-988 (1967).
17. Argyris J. H., Scharpf D. W., Methods of Elasto-Plastic Analysis, Symp. on Finite Element Techniques, Stuttgart, June 1969.
18 Theokaris P. S. Marketos E., Elastic-Plastic Analysis of Perforated Thin Strips of Strain-Hardening Material, J. Mech. Phys. Sol., I2, 377-390 (1964),
19 Drucker D C, Prager W., Soil Mechanics and Plastic Analysis or Limit Design, Q. Appl Math., 10, 157-165 (1952).
20 Bishop A, W., The Strength of Soils as Engineering Materials, Geotechni-que, 16, 91-128 (1966),
21. Zienkiewicz O. C, Continuum Mechanics as an Approach to Rock Mass Problems, Ch. 8 in: Rock Mechanics in Engineering Practice, Stagg K. G., Zienkiewicz O, С eds,, Wilev, 1969,
22. Valliappan S,, Non-Linear Stress Analysis of Two-Dimensional Problems with Special Reference to Rock and Soil Mechanics, Ph. D. Thesis, Univ. of Wales. 1968,
23 Mroz Z., Non Associated Laws in Plasticity, 1. Mec. and Phys. Appl., 2, 21-41 (1963).
24. Davis E. M., Theories of Plasticity and the Failure of Soil Masses, Ch. 6 in; Soil Mechanics. Lee I. K., ed., Butterworth, 1969.
25a. Zienkiewicz O. C, Best В., Some Non-Linear Problems in Soil and Rock Mechanics -Finite Element Solution, Conf. on Rock Mechanics, Univ. of Queensland, Townsville, June 1969.
25b. Zienkiewicz O. C, Best В., DuIIage C, Stagg K. G., Analysis of Non-Linear Problems in Rock Mechanics with Particular Reference to Jointed Rock Svstems, Proc. 2nd Int. Congress on Rock Mechanics, Belgrade, 1970.
26. Valliappan S., Nath P., Tensile Crack Piopagation in Reinforced Concrete Beams by Finite Element Techniques, Int. Conf. on Shear Torsion and Bond in Reinforced Concrete, Coimbatore, India, Jan. 1969.
27 Krahl N. W., Khachaturian W., Seiss C. P., Stability of Tensile Сгаскз in Concrete Beams. Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 93, STl, 235-254 (1967).
28. Goodman R. E., Taylor R. L.. Brekke T„ A Model for the Mechanics of Jointed Rock, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 94, SM3, 637-659 (1968).
29. Scholes A., Strover E. M., The Piecewise Linear Analysis of Two Connected Structures Including the Effect of Clearance at the Connections, Int. J Num. Meth. in Eng., 3, 45-52 (1971).
30. Mendelson A., Hischberg M. H., Manson S. S., A General Approach to the Practical Solution of Creep Problems, I. of Basic Engineering, Trans. ASME, Series D, 81, 585-598 (1959).
31. Zienkiewicz O. C, Watson M., King I. P., A Numerical Method of Visco-Elastic Stress Analysis, Inf. J. of Mech. Sci, lO, 807-827 (1968).
32. Zienkiewicz O. C, The Finite Element Method in Structural and Continuum Mechanics, Ist ed., McGraw-Hill, 1967.
33. Greenbaum G. A., Rubinstein M. F., Creep Analysis of Axi-Symmetric Bodies Using Finite Elements, Nucl. Eng. and Design, 7, 379-397 (1968).
34. Treharne G.„ Applications of the Finite Element Method to the Stress Analysis of Materials Subject t.o Creep, Ph. D. Thesis, Univ. of Wales, Swansea, 1971.
35. Lee E. H., Viaco-EIasticity in: Handbook of Engineering Mechanics Flue-ge W., ed., McGraw-Hill, 1962. в в , в
36. Lee E. H., Radok T. R. M., Woodward W, В., Stress Analysis for Linear Visco-Elastic Materials, Trans, of the Soc. of Rheology, 3, 41-59 (1959),
37. Leckie F. A., Martin J, В., Deformation Bounds for Bodies in a State of Creep, {.Appl Mech., ASME, 411-417 (June 1967); есть русский перевод; Леккн, Мартин, Оценки для поля деформаций прн noлзvчecтн. Труды Амерн-каискогообщества инженеров-механиков. Прикладная механика, Кя2 (1967)
38. Finnic I., Heller W. R., Creep of Engineering Materials. McGraw-Hill, 1959
39. Johnson A. E„ Complex Stress Creep, Met. Rev., 5, 447 (I960),
40. Frederick C. 0„ Chubb E. J„ Bromley W, P., Cyclic Loading of a Tube with Creep, Plasticity and Thermal Effects, Applied Mechanics Convention, Proc. Inst. Mech. Eng., I80, 31 (1965).
41. Zienkiewicz O. C, Analysis of Visco-Elastic Behaviour of Concrete Structures with Particular Reference to Thermal Stresses, Proc. Am. Concr. Inst. 58, 383-394 (1961).
42. Hilton H. H., Ru3sell H, G., An Extension of Alfreys Analogy to Thermal Stress Problems in Temperature Dependent Linear Viaco-elastic Media /. Mech. Phys. Solids, 9, 152-164 (1961).
43. Zienkiewicz O. C, Watson M., Cheung Y. K.. Stress Analysis by the Finite Element Method - Thermal Effects, Proc, Conf, on Prestressed Concrete Pressure Vessels, Inst, Civ. Eng., London, 1967.
44. Malina H.; Berechnung von Spannungsumlagerungen in Fels und Boden mil Hilfe der Elementenmethode, Veroffentlichungen Univ Karlsruhe 40 1-90 (1969).
45. Nayak 0. C., Plasticity and Large Deformation Problems by Finite Element Method. Ph. D. Thesis, Univ. of Wales, Swansea, 1971.
46. Zienkiewicz O. C, Valliappan S., Analysis of Real Structures for Creep, Plasticity and Other Complex Constitutive Law3, Conf. on Materials in Civ. Eng., Univ. of Southampton. 1969.
47. Forchheimer P. H., Wasserbewegung durch Boden, Zelt Ver Dt Ing 1782 (1901).
48. Muskat M„ The Flow of Homogeneous Fluids Through Porous Media J. W. Edwards Inc., 1946.
49. Volker R. W., Numerical Solutions to Problems of Nonlinear Flow Through Porous Media, Ph. D, Thesis, Univ. of Queensland, Townsville, 1969.
50. Volker R. W., Non-Linear Flow in Porous Media by Finite Elements, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 95, HY, 2093-2114 (1969).
51. Ahmed N., Suneda D. K., Non-Linear Flow in Рогоиз Media, Proc. Am Soc Civ. Eng., 95, HY6, 1847-1859 (1969).
32. Winslow A. M., Numerical Solution of the Quasi-Linear Poissons Equation in a Non-Uniform Triangle Mesh, /. Сотр. Physics, I, 149-172 (1967).
19.1. Введение
В предыдущей главе рассматривались нелинейности, обусловленные свойствами материала, и были описаны итерационные методы решения нелинейных задач, в которых используются обычные линейные соотношения. В этой главе такой же подход будет применен к исследованию геометрической нелинейности.
Во всех рассмотренных ранее задачах предполагалось, что и перемещения и деформации конструкций малы. Практически это означает, что форма элементов в процессе нагружения не изменяется и что для деформаций можно использовать приближенные линейные соотношения.
На практике эти предположения часто приводят к неправильным результатам даже при малых деформациях, не превышающих предел упругости материала конструкции. При точном определении перемещений ряда конструкций может оказаться необходимым учет геометрической нелинейности. Например, мембранные напряжения, которыми обычно пренебрегают прн изгибе пластин, могут явиться причиной значительного уменьшения перемещений даже 1.ри малых деформациях. С другой стороны, может оказаться, что нагрузка, при которой прогиб увеличивается, достигается быстрее, чем это предсказывается линейной теорией, и может возтикнуть ситуация, в которой прн продолжающемся деформиров :ин несущая способность будет падать. Это не что иное, как к. ассическая задача устойчивости конструкций. Такие задачи встречаются довольно часто. Значение их особенно велико в авиационной н космической технике, при конструировании радиотелескопов, градирен н других тонкостенных конструкций.
Кроме того, во многих случаях могут иметь место большие перемещения при малых деформациях. Типичным примером такого типа является классическая задача о гибких телах, как, например, о часовой пружине.
В этой главе предпринята попытка подойти ко всем этим задачам с единых позиций и указать общие методы исследований.
Однако ни один из вопросов, связанных с геометрической нелинейностью, подробно в этой главе не рассматривается. Это вопрос о больших, хотя и упругих деформациях таких материа-
лов, как резина и т. п. В этом случае необходимо использовать специальные соотношения между напряжениями и деформациями. Ограниченный объем книги не позволяет, подробно остановиться на этом вопросе. Тем не менее общий подход, описанный в следующем разделе, можно применить и к таким задачам, если использовать соответствующие законы связи напряжений с деформациями.
Геометрическая нелинейность часто может сочетаться с нелинейностью физического типа, рассмотренной в предыдущей главе, такой, как пластичность при малых деформациях н др. В принципе это не приводит к дополнительным трудностям, и методы, изложенные в этой главе, легко могут быть применены и к таким задачам.
19.2. Общие положения
19.2. J. Основная задача
Независимо от того, велики или малы перемещения (нлн деформации), внутренние и внешние силы должны удовлетворять условиям равновесия. Если в соответствии с изложенным в гл. 2 перемещения определяются конечным числом (узловых) параметров {6}, то, как показано там и повторено в предыдущей главе [см. соотношение (18.13)], должно выполняться равенство
({б})} = J [ВГ {<У] dV - т = о, (19.1)
где {ф} -сумма внешних и внутренних обобщенных снл, а матрица [В] определяется из соотношения
d{B} = [B]d{6).
(19.2)
Черта означает, что прн больших перемещениях деформации нелинейно зависят от перемещений и матрица [В] зависит от {б}, В дальнейшем будет видно, что ее удобно представить в виде
[S] = [So] + [Bi({6})], (19.3)
где [Во] - матрица, определяющая бесконечно малые деформации, а матрица [Bl] зависит от перемещений. Будет показано, что в общем сучае [BJ является линейной функцией пере.че-щений, .
ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ; БОЛЬШИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ КОНСТРУКЦИЙ
Если деформации не очень велики, то можно использовать обычное соотношение теории упругости
{а} = 10] {{8} - {ез}) + {оо},
(19.4)
где [О] -обычная матрица упругих постоянных).
Однако в равной степени можно было бы использовать и любое нелинейное соотношение между напряжениями и деформациями, поскольку задача сводится к решению нелинейной системы уравнений (19.1).
Вероятно, нет необходимости повторять, что интегрирование в (19.1) фактически производится по отдельным элементам, а их вклады в уравнения равновесия в узлах суммируются обычным образом.
19.2.2. Итерационные методы
Ясно, что уравнение (19,1) следует решать методом итераций, и возможность применения описанных в предыдущей главе (разд. 18,3) общих методов очевидна.
При использовании метода Ньютона необходимо, как уже указывалось, найти зависимость между d[6} и d {ф}. Варьируя (19.1) по d{6}, получаем
{ф} = J [BY {а} dV + 5 [BY rf {a} dV. (19.5)
Используя формулы (19.4) и (19.2), находим ) rf{a} = [Z)]rf{8} = [Z)] [S]rf{6}, а на основании (19.3) имеем
Поэтому
rf[S]=rf[SJ.
d=\d[BLY{o)dV-{-[K]d[b), (19.6)
[K\=\[BY[D\[B\dV = [Ko\ + [KlI (19.7)
) Необходимо иметь в виду, что компоненты напряжения, определяемые соотношением (19.4), соответствуют используемым компонентам деформации. В некоторых задачах о больших перемещениях эти компоненты деформации отнесены к направлениям, значительно отличающимся от иаправлеиий первоначальных фиксированных координат.
) Если используется нелинейное соотношение между напряжениями и деформациями, то [О] = [0({а))] - матрица упругих постоянных для приращений, определяемая равенством (18.15).
а [Яо] является обычной матрицей жесткости при малых деформациях, т. е. [Ко] имеет вид
[K,]=\[BoY[D][B,]dV.
(19.7а)
Матрица [Кь] появляется благодаря тому, что перемещения велики. Она определяется выражением
[Kl\ = \ {[BoY [D] [ВЛ + [BlY[D][вj +
[BLY[D][B,])dV. (19.76)
Матрица [Я] известна как матрица начальных перемещений [2], матрица больших перемещений и т. п. Нетрудно показать, что эту матрицу можно построить, считая деформации малыми, но учитывая изменения координат элемента при вычислении жесткостей.
Первый член выражения (19.6) может быть записан в виде
(19.8)
\d[Bi.Y{a}dV[Ka]d{b},
где [Яо] - симметричная матрица, зависящая от величины напряжения (в справедливости этого утверждения, вероятно, лучше всего убедиться на конкретных примерах). Эта матрица известна как матрица начальных напряжений [2] или геометрическая матрица [3, 4]. Таким образом,
d {Щ = ([/Со] + [КЛ -f [Kl]) d {6} = [Кт\ d Щ, (19.9)
где [Ст-]-полная матрица тангенциальных жесткостей. Итерации метода Ньютона строятся, как описано в разд. 18.3:
а) в качестве первого приближения {6} строится решение по линейной теории упругости;
б) с помощью соотношения (19.1) определяется для заданной матрицы [В] и напряжений, определяемых равенством (19.4) (или любым другим линейным или нелинейным законом);
в) строится матрица [Кт];
г) определяется поправка
д{б}, = -[я,]-№..
Процесс повторяется до тех пор, пока величина не станет достаточно малой,
И здесь возможно использование постоянной матрицы, если на каждом шаге правильно вычислять {\;}г, [5]. Хотя применение этого метода решения сокращает затраты машинного вре-
