Фиг. 18.20. Характеристика различны.х элементов при упругопластическом расчете плоского напряженного состояния образца с выточками. Пластическая зона: а -треугольный элемент, <т/а=:1Л86 н 1.226; б-линейный четырехугольник, а/о==1,18б и 1,226; в-квадратичный четырехугольник, afd=l,I86; е-кубичный четырехугольник. 0/0=1,186 (а -среднее напряжение в выточке, одноосное
напряжение текучести, идеальная пластнчаость). Распредемние напряжений в ослабленном сечении: 5 -упругое решение; в-упругопла-стическое решение, a/dliise. Число степеней свободы во всех четырех случаях Примерно одинаково (172-178).
вопрос настолько обширен и практическое значение его так велико, что осветить его в одной главе невозможно. Для различных материалов можно предложить и экспериментально подтвердить различные формы определяющих уравнений. К,ак только установлены определяющие уравнения, к ним можно приспособить описанные в этой главе стандартные методы. Действительно, можно создать стандартные программы решения задач для материалов с различными свойствами, в которые характеристики, определяющие особенности поведения материала, В!(одят в виде «черного ящика».
Таким образом можно рассматривать такие явления, как вязкопластичность (пластические деформации зависят от времени) или различные задачи механики грунтов и горных пород [44].
Необходимо еще раз напомнить, что при решении нелинейных задач а) возможна неединственность решения; б) априори никогда нельзя гарантировать сходимость; в) стоимость решения значительно выше стоимости решения линейных задач.
Для преодоления первых двух трудностей необходимо понимание физической сущности задачи, а стоимость может быть снижена в результате дальнейших усовершенствований методов. В приведенных примерах применялись лишь простейшие конечные элементы. Очевидно, что при использовании этих методов можно применять любые функции формы элементов. Последние работы показывают, что использование рассмотренных в гл. 7 и 8 сложных элементов даже в двумерных задачах может дать значительную экономию [45].
На фиг. 18.20 сравниваются результаты расчета пластических зон при использовании элементов с постоянным распределением напряжений и изопараметрических элементов. Гладкость границ пластических зон (определенных по точкам Гаусса) в последнем случае приводит к значительному ускорению сходимости и повышению точности.
Наконец, следует отметить, что описанные методы удобно использовать и для решения линейных задач, сформулированных первоначально с использованием других значений постоянных. Привлекательность такого подхода не очевидна до тех пор, пока мы не рассмотрим, например, решение задачи теории упругости для материала с коэффициентом Пуассона, равным 0,5. Ранее отмечалось, что в этом случае матрица [D] становится неопределенной и необходимо использовать специальные приемы (см., например, гл. 4, разд. 4.5). Можно, однако, решать задачу теории упругости с допустимым значением коэффициента Пуассона методом начальных деформаций, изменяя в процессе решения деформации так, чтобы удовлетворить условию несжимаемости [34, 36].
ДРУГИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
18.10. Нелинейные квазигармоннческие задачи теории поля
Нелинейности возникают в различных задачах теории поля рассмотренного в гл. 15 типа. Например, в задачах, описываемых уравнением [см. (15.1)]
проводимость k может зависеть от функции ф или ее градиентов. В качестве иллюстрации можно привести два типичных примера. Во-первых, при фильтрации жидкости скорость может не удовлетворять условию ламинарности (Дарен), в соответствии с которым она определяется выражениями
(18.46)
, дф
Vx = k И т. д.
В случае турбулентности требуется учитывать зависимость потери напора (grad) от более высокой степени скоростей. Такие законы получены, например, в работах [47] и [48]. Их можно также записать в виде (18.46), полагая [49-51]
Аналогичная ситуация возникает в задачах магнитостатики, где - магнитный потенциал, а * -величина, обратная магнитной проницаемости, которая существенно зависит от градиентов магнитного поля [52].
Таким образом, в обеих задачах уравнения, по существу, одинаковы.
Хотя очевидно, что термины «переменные параметры упругости», «начальные напряжения н деформации» в этих случаях не подходят, для решения можно использовать аналогичные итерационные методы (см. разд. 18.3). В гл. 15 [уравнение (15.14)1 показано, что после дискретизации уравнения принимают такой же вид, как и в задачах теории упругости:
Ш = [Я]Ш + {/}=0. (18.47)
Поскольку k используется при вычислении матрицы [Я], получаем
[Я] = [Я({})]
и задача, таким образом, относится к рассмотренному в разд. 18.3 классу. »
Для решения можно использовать итерационный метод Ньютона, вычисляя на каждом шаге
ДШ.и = -[Я„]-{т(т.)}- (18.48)
В этом случае, как было показано ранее, при каждой итерации приходится обращать различные матрицы. Можно также применять модифицированный метод Ньютона - Канторовича, вычисляя
(18.49)
где [Яо] - матрица, полученная на первом шаге. Опять можно использовать различные способы ускорения сходимости [2]. кш-
логия с методами постоянной и переменной жесткости решения задач теории упругости очевидна.
До сих пор методы конечных элементов для подобных задач применялись сравнительно мало. Волкер [49] получил решение задачи, о неламинарном течении жидкости в пористой среде с помош,ью первого из описанных методов (с переменной матри-
фиг. 18,21. JVlarHHTHoe поле в шестиполюйном магните с нелинейностью, об-у(;ловл?нной насыщением [52],
ней [Н]). Удовлетворительные результаты получены после небольшого числа итераций. Винслоу [52] использовал аналогичный метод для решения различных задач магнитостатики. На фиг. 18.21 показаны некоторые полученные им довольно интересные поля в нелинейном материале ).
18.11. Некоторые другие возможные применения
Ясно, что описанные в предыдущем разделе методы решения нелинейных уравнений могут непосредственно применяться и для других задач, например для задач теплопроводности с ярко выраженной зависимостью коэффициентов теплопроводности от температуры при повышенных температурах.
Однако очевидно, что эти методы имеют более широкие возможности в других физических задачах. Примером такой задачи является задача о ламинарном течении неньютоновских жидкостей, уравнения которой, по существу, совпадают с уравнениями вязкого ламинарного течения, рассмотренными в разд. 15.6 гл. 15, но вязкость в этом случае зависит от градиентов скорости.
Читатель может проявить свою изобретательность, применяя изложенные методы к подобным и многим другим задачам.
ЛИТЕРАТУРА
1. Zienkiewicz О. С, Valliappan S,, King 1. P., Stress Analysis of Rock as
a No-Tension JVtaterial, Geotechnique, 18, 56-66 (1968). 2a, Irons B. M„ Tuck R. C, A Version of the Aitken Accelerator for Computer
Iteration, Int. J. Num. Meth. Eng., 1, 275-278 (1969). 2b, Zienkiewicz O. C, Irons B. JVl., JVlatrix Iteration and Acceleration Processes
in Finite Element Problems of Structural Mechanics, Ch. 9 in: Numerical
Methods for Non-Linear .Algebraic Equations, Rabinowitz P,, ed,, Gordon and
Breach, 1970.
3, Oden J. T,, Numerical Formulation of Non Linear Elasticity Problems, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 93, ST3, 235-255 (1967).
4, Von Miaes R., Mechanik der Plaatischen Formanderung der Kristallen, Z. angew. Math. Mech., 8, 161-185 (1928),
5, Drucker D. C, A More Fundamental Approach to Plastic Stress-Strain Solutions, Proc. 1st. U. S. Nain. Cong. Appl. Mech., 487-491 (1951).
6, Koiter W. Т., Stress-Strain Relations, Uniqueness and Variational Theorems for Elastic Plastic .Materials with a Singular Yield Surface. Q. Appl. Math., 11, 350-354 (1953); есть русский перевод: Койтер, Соотношения между напряжениями и деформациями, вариационные теоремы и теорема едии-ствеиностн для упруго-пластических материалов с сингулярной поверхностью текучести. Механика, 2, № 60, стр, 117-121 (1960).
7, Johnson W„ Mellor P. W,, Plasticity for Mechanical Engineers, Van Nost-rand, Princeton, 1962.
8, Yamada Y„ Yoshimura N., Sakurai T,, Plastic Stress-Strain Matrix and Its Application for the Solution of Elastic-Plastic Problems by the Finite Element Method, Int. 1. Mech. Sci., 10, 343-354 (1968).
) В обеих работах уравнения решались итерационным методом, что предопределило выбор метода, в котором используется переменная матрица [ ],
