Эту трудность иногда можно обойти, преобразовывая интегралы в выражении (3.22) с помощью интегрирования по частям (или преобразования Грина - Стокса). Если это преобразование удается выполнить в общем виде и если в результате порядок производных, входящих в полученные интегралы, понижается, то условиям непрерывности должны удовлетворять только эти производные.
Ранее полагалось, что выбранная аппроксимация неизвестной функции [соотношение (3.19)] автоматически удовлетворяет краевым условиям. Однако удобнее записывать уравнения в общей форме, требуя выполнения краевых условий на заключительной стадии, подобно тому, как, например, в строительной механике заданные перемещения и граничные нагрузки учитываются после составления матрицы жесткости ансамбля.
3.5. Пример. Уравнение Пуассона
Для пояснения основных идей, изложенных в предыдущих разделах, рассмотрим чисто математическую задачу решения уравнения в частных производных
(3.23)
в некоторой области V при заданных значениях функции ф = фь на границе (фиг. 3.2, а).
Фиг. 3,2. Метод взвешенных невязок.
Можно показать, что решение этой задачи эквивалентно нахождению функции ф, удовлетворяющей краевым условиям и минимизирующей функционал
Для приближенного решения этого уравнения разобьем область на элементы (фиг. 3.2,6), для каждого из которых
h l = [ivl{r-
(3.25)
где f}" -набор параметров, представляющих собой в данном случае значения функции ф в узловых точках элемента.
3.5.1. Минимизация функционала
Равенство (3.4) выполняется, если матрицу [N\ определить так, что функция ф непрерывна между элементами, и, таким образом, мы можем ограничиться рассмотрением типичного элемента.
Подставляя (3.25) в (3.24) и интегрируя по площади элемента, получаем
-))\.дх дф,\дх) ду дф1 \ду) дФГУ
=SU(
ДЛГ, дМ
дЩ дх
.( дМ,
дМ, dNi dNi dNj
дх дх
- +
ду ду
)dxdy.
F,=:-\\CNidxdy.
(3.26) (3.27) (3.28)
При заданных форме элемента и функциях формы все эти величины могут быть вычислены и система уравнении для ансамбля будет определяться соотношениями (3.7) -(3.9).
Задача будет полностью сформулирована после учета граничных условий, а ее решение находится из решения системы линейных уравнений,
Глаеа 3
3.5.2. Метод взвешенных невязок
С помощью уравнений (3.22) и (3.23) можно получить типичное уравнение:
И[1 + 13-+Ф* = 0 (3.29)
в котором функция ф определяется соотношением (3.25). От подынтегральной функции требуется непрерывный переход по границам между элементами с тем, чтобы второй дифференциал был ограниченным. Если мы хотим избежать этого ограничения, можно использовать интегрирование по частям. Так, например.
(3.30)
дх дх
(3.31)
Первый интеграл не содержит вкладов от границ между элементами, если функция ф непрерывна. Теперь необходимо наложить ограничение на весовую функцию W,-. Она должна быть непрерывной, поэтому метод коллокаций в точке или подобласти неприменим. Однако можно использовать метод Га-• леркина или любой другой метод, в котором функция Wj непрерывна.
Для Примера используем метод Галеркина, в котором функция веса
Wi = iV,. (3.32)
Используя соотношение (3.25), вклад каждого элемента в интеграл (3.31) можно записать в виде
t кЬФ, + (Fi) -\Ni{-l+ ly)dS=0. (3.33)
В соотношении (3.33) выражения для kb и Ft, по-видимому, не случайно идентичны соответствующим выражениям (3.27) и (3.28), полученным вариационным методом. После суммирования вкладов всех элементов полу1им систему уравнений, аналогичную прежней, за исключением того, что добавляется поверхностный интеграл. Ясно, что этот интеграл не дает вклада в уравнения для внутренних точек (т. е. когда точка i не лежит на границе). Если же точка i лежит на границе, где заданы значения фь, то становится не ясно, как вычислять эгог интеграл; учет же краевых условий делает задачу разрешимой-
Для рассмотренного примера при использовании метода взвешенных иевязок и вариационного метода [11] получаются Одинаковые результаты. Однако если бы использовались другие весовые функции, то совпадения можно было бы и не получить. Тот факт, что прямой метод решения, не требующий знания вариационного исчисления, приводит к тем же самым окончательным результатам, может быть сам по себе интересен читателям и указывает на возможность выбора различных методов решения.
Кроме того, интересно отметить, что поверхностный интеграл в (3.31) имеет определенный физический смысл. Фактически он представляет собой взвешенный интеграл от потока дф1дп через границу, так как
,)dS==\WidS. (3.34)
Иногда На границе бывают известны не значения функции фь, а значения дф!дп. ,В таких случаях правильное решение мог бы дать прямой метод Галеркина, но при этом функционал должен быть модифицирован введением некоторых граничных величин (как это будет сделано в гл. 15).
3.6. Следующий пример. Уравнения вязкого течения
Оператор основного дифференциального уравнения (3.17) может зависеть не только от одной переменной. Можно также рассмотреть систему дифференциальных уравнений. Рассмотрим, например, уравнения, описывающие плоское установившееся течение вязкой несжимаемой жидкости без учета инерционных членов. Неизвестные - давление р и компоненты скорости к и у в направлениях х и у - связаны между собой двумя уравнениями равновесия (уравнения Стокса, полученные
из более общего уравнения Навье - Стокса) [12]: г "Р J. „ Г-и -М п
Y-P j- „ Г J- о
(3.35)
где X и У -объемные силы на единицу объема жидкости. Уравнение неразрывности дает третье соотношение между этими тремя величинами
л./ я„
(3.36)
дх ду
Запишем выражения для р, и, v через узловые значения:
p = [N]{p). u==[N][u}, v = [N]{v), (3.37)
где [N] - функции , формы, обеспечивающие только непрерывность переменных. Используя метод Галеркина, можно записать для точки i систему трех уравнений. Первое нз них и.меет вид
Интегрируя по частям два последних члена в соответствии с соотношением (3.30) и выполняя некоторые преобразования, получаем
dS = 0. (3.39)
После подстановки выражений (3.37) в первое слагаемое имеем
(3.40)
Второе уравнение имеет аналогичный вид н получается из предыдущего путем замены х п и па у к v соответственно. Последнее уравнение, получающееся нз уравнения неразрывности
(3.36), имеет вид
Группируя все переменные, относящиеся к рассматриваемой точке, в виде
получаем уравнение ансамбля в стандартной форме: [К]{Ф} + {Р}==0,
где, опять выделяя вклады каждого элемента, имеем дN дМ,
(3.42)
(3.43)
dN, dNf
aiVj aiv, aJV( алг,
дх дх If ду i dfi
a.v,
(3.44)
Поверхностный интеграл в (3.39) исчезает на той части границы, где задано и, ибо в этом случае Ni = 0. Там, где задано ди/дп, он дает дополнительный член в вектор {F} в уравнении (3.43). Таким образом,
/ ди
I Y\dV+[N,u-
о)
дп ду дп
(3.45)
В приведенных уравнениях поверхностный интеграл берется только по внешним границам, на которых заданы duldn или dv/dn. Если же на границе заданы величины и и у, то в граничных точках уравнения не составляются.
Задача о течении жидкости в более простой постановке рассматривалась Докторсом [13].
При другом подходе к решению задачи вводится понятие функции тока. Если положить, что
