Фиг. 18.13. Слоистый материал (а) и узкое слоистое соединение {б):
записать и
I Txtf I < liOy
(18.35а) (18.356)
Здесь ц - коэффициент трения между слоями.
Если упругие напряжения превышают предельные значения, определяемые соотношениями (18.35), то они должны быть уменьшены до этих значений.
Применение метода начальных напряжений для таких материалов опять не представляет затруднений. Задача аналогична рассмотренной в предыдущем разделе задаче о расчете материала, работающего только на сжатие. На каждом этапе упругого расчета проверяется наличие растягивающих напряжений Оу. Если такие напряжения возникают, то вводится поправочное начальное напряжение, сводящее их и касательные напряжения к нулю. Если же Оу - сжимающее напряжение, то производится проверка абсолютной величины касательных напряжений Гху- В случае превышения значения, определяемого соотношением (18.35а), их уменьшают до предельно возможной величины.
Описанная математическая модель не всегда будет правильно отражать истинное поведение материала при разгрузке, поскольку сжимающие напряжения могут возникнуть лишь после исчезновения зазоров между слоями. Это затруднение (при нулевом коэффициенте Пуассона) можно устранить, контролируя появление растягивающих деформаций и используя вместо (18.356) соотношение
ау=0 при 8г,>0. (18.36)
В противном случае материал будет упругим. Это фактически один из вариантов деформационной теории пластичности.
Излишне говорить о том, что направления слоев могут меняться от элемента к элементу и таким методом можно исследовать сложное поведение горных пород со случайным расположением трещин,-
Введение прочности сцепления и коэффициента трения, зависящего от величины сдвиговой дефор.мации (обычно коэффициент трения уменьшается с увеличением сдвиговой деформации), требует незначительных изменений программы. Таким же образом можно исследовать размягчающиеся материалы [25].
В некоторых случаях описанный тип поведения наблюдается лишь в узкой области между однородными массивными упругими телами. Это, в частности, имеет место при геологических сдвигах или при наличии больших трещин в горной породе. В таких случаях удобно использовать узкие, как правило, пря-
6101
моугольные элементы, геометрическими характеристиками которых являются средние координаты концов А п В (фнг. 18.13,6) и толщина. Однако элемент соединяется с примыкающими те-- лами в четырех отдельных точках (1-4). Эти переходные элементы могут быть, как показано на фиг. 18.13, простыми прямоугольниками. Можно также использовать и изопараметрические элементы более сложной формы (см. гл. 8).
В работе [28] рассмотрены в некоторой степени похожие переходные элементы, использованные для исследования устойчивости насыпей из горных пород. Однако описанные здесь переходные элементы имеют более широкое применение. С помощью тонких переходных элементов можно, например, решать задачи о посадках деталей машин и зазорах между ними. При использовании очень узкого переходного элемента между двумя частями конструкции или деталями машины зазоры учитываются введением такой начальной деформации Ву-о, что величина teyo равняется величине зазора. Поскольку описанный переходный элемент не передает растяжения, быстро получаем ответ на вопрос, закрывается ли зазор. И наоборот, посадка эквивалентна отрицательной начальной деформации по нормали к переходному элементу.
Недостатком такой аппроксимации является необходимость использования переходных элементов конечной толщины, чтобы избежать появления очень больших коэффициентов жесткости в направлении нормали и, следовательно, плохо обусловленных уравнений. Для того чтобы обойти упомянутые затруднения, можно использовать другие методы, имеющие более специальное назначение [29].
18.7. Ползучесть: деформации, зависящие от времени 18.7.1. Общие положения
Явления ползучести характеризуются зависимостью деформации не только от напряжения, но и от времени. Деформации в данный момент времени определяются всей предысторией напряженного состояния. Таким образом, любой вычислительный процесс должен сводиться к расчету приращений для достаточно малых отрезков времени. Для каждого такого отрезка времени, используя заданный закон ползучести, средние для этого отрезка напряжения и при необходимости их предыдущие значения, можно определить приращения деформаций. Таким образом, в рассматриваемом случае естественно использовать описанный в подразд. 18.2.4 метод начальных деформаций.
Однако иногда можно обратить закон ползучести и получить закон, по которому напряжения в любой момент времени опре-
деляются предысторией деформирования. В тех случаях, когда удобно использовать функцию релаксации, можно применять описанный в подразд. 18.2.3 метод начальных напряжений.
Поскольку при ползучести удобнее измерять деформации, обычно рекомендуется применять метод начальных деформаций, который и будет использован в дальнейшем.
При применении метода начальных деформаций к задачам теории ползучести обычно [30-34]:
а) рассматриваются все изменения нагрузки (температуры и т. д.) в начальный момент t некоторого отрезка времени и определяется напряженно-деформированное состояние из решения задачи теории упругости;
б) определяется изменение деформации ползучести {Две}; за рассматриваемый отрезок времени в предположении, что при этом полученное -на этапе «а» напряженное состояние не меняется;
1з) величина {Aec}i используется как начальная деформация и в результате решения задачи теории упругости определяется новое напряженно-деформированное состояние в конце рассматриваемого отрезка времени.
Если отрезок времени At достаточно мал, то описанный процесс отражает истинное поведение материала и можно перейти к расчетам для следующего отрезка времени. .Если изменения деформаций относительно велики, то можно повторить этапы «б» и «в», используя для определения {Дес}( уточненные средние значения напряжений. Осуществление таких итераций иногда желательно, но редко требуется более двух циклов.
Ясно, что устойчивость описанного процесса зависит от выбранной величины отрезков времени и для каждой задачи необходимо ее проверять.
Здесь уместно сделать одно замечание относительно эффективности вычислений. Если упругие мгновенные свойства материала не изменяются во времени (и на них не влияет изменение во времени температуры), то очевидно, что многократно будет применяться один и тот же метод нахождения упругого решения. В таких случаях удобнее хотя бы частично обращать .матрицы, встречающиеся при решении, чем использовать итерационные методы решения, И наоборот, если упругие свойства меняются во времени и на каждом отрезке времени приходится решать существенно различные задачи теории упругости, то целесообразнее использовать итерационные методы решения, принимая за начальное приближение полученные ранее значения перемещений.
Основной проблемой, возникающей при использовании описанного метода, является построение алгоритма определения
приращения деформации {Две}. Она рассматривается в последующих разделах.
18.7.2. Ползучесть, зависящая от предыстории деформирования (вязкоупругость )
Явления вязкоупругости характеризуются тем, что скорость деформации ползучести зависит не только от мгновенного напряженно-деформированного состояния, но и от всей его предыстории. Таким образом, для определения приращения деформации {ДвсЬ на каком-либо отрезке времени надо знать напряжения н деформации во все предыдущие моменты времени. Поскольку в процессе рещения задачи они вычисляются, в принципе затруднений не возникает. Однако даже самые большие ЭВМ не в состоянии хранить всю историю в оперативной памяти, а многократное использование дополнительных запоминающих устройств требует много времени. Поэтому использование этого метода экономически невыгодно.
Метод, описанный Зенкевичем и др. [31] для задач линейной вязкоупругости, позволяет обойти эту трудность. Его можно обобщить и на случай решения задач нелинейной вязкоупругости.
В линейной теории вязкоупругости соотношение между напряжениями и деформациями всегда можно записать в форме, сходной с используемой в теории упругости, например в виде (18.2), заменяя упругие постоянные в матрице [D] соответствующими дифференцнальны.чн нлн интегральными операторами [35]. Для изотропного материала вместо двух упругих постоянных можно использовать два оператора, а для анизотропных-мате-. риалов может потребоваться 21 оператор.
Таким образом, деформация ползучести может быть описана соотношением вида
{8,} = [D]-W,
где каждый элемент матрицы вязкоупругости [Л]- прн исполь-зованнн дифференциальных операторов имеет внд
Й - ao + ax{dldt) + a,(dldP) + ... ns 47
bo + bj{dldt) + bAdydt) +... •
Если эти разложения конечны, то, выделяя мгновенные упругие эффекты, соотношение (18.37) можно представить в виде суммы элементарных дробей
+ ./Лр +••• (18.38)
d/dt + Bi
didt -Ь Bj
Как известно, эта сумма характеризует поведение показанного на фиг. 18.14 набора элементов Кельвина (хотя физически
использование таких моделей может и не иметь смысла). Каждый член суммы характериз.ует один элемент Кельвина. Типичный вклад в компоненту деформации представляет собой, таким образом, слагаемое вида
" --- (18.39)
d/dt + Вп
(ел-) = Лл-бА-
(18.40)
Записанное выше соотношение позволяет определить приращение каждого такого слагаемого за какой-либо отрезок времени,
е„ е,
L-G-
Фиг. 18.14. Набор элементов Кельвина.
если известны текущее значение компоненты напряжения о, и текущее значение е„. Таким образом, для описания процесса необходимо хранить только конечное число текущих значений е„ •).
На практике для описания поведения материала используется ограниченное число элементов Кельвина и небольшое число вязкоупругих операторов. Например, для изотропного несжимаемого материала матрица [D]" определяется только одним оператором. Если этот оператор представляется двумя слагаемыми суммы (18.38), то в процессе вычислений требуется хранить лишь две величины [31]).
Вычислительный процесс не усложняется,, если величины А„ и В„ для каждого элемента Кельвина зависят от 1зременн и температуры, что характерно для задач термовязкоупругости (например, задач о ползучести бетона илн пластмасс).
Задавая зависимость постоянных пружины н поршня Л и S от текущих напряжений, можно обобщить метод на нелинейные
) В более поздних работах они получили название переменных состояния,
) Для произвольного линейного вязкоупругого оператора метод экономии оперативной памяти при численном счете указан в работе Б, Е, Победри «Численные методы в теории вязкоупругости», .Механика полимеров, Ns 6, 1973.- Прим. ред.
