Фиг. 18.9а. Приближеииое описание процесса обработки металла путем задания эквивалентных перемещений в месте среза, о - одноосное напряжение текучести, -Форма детали и пластические зоны.
Известный критерий Мора - Кулона, определяющий максимальное сдвиговое напряжение на произвольной площадке в виде
T = C + a,tg, (18.32)
где С -сила сцепления, а„ - нормальное напряжение и ф - угол внутреннего трения, можно приближеннозаписать в более удобной форме, предложенной Друкером [19]:
(18.33)
где /f -первый инвариант тензора напряжений /, = ax-f-aj,+aa J2 - второй инвариант
а и Я -постоянные, зависящие от сцепления и внутреннего трения материала. Постоянные, входящие в (18.33), связаны с
!/становившвеся воотсяние i
Перемещение
Нагрузка/tB2.37 -2,03
0,88 (упругое состояние)
~\---=~Jg=;
2 6 В
Распределение давления вдоль АВ
Фнг, 18,96. Приближенное описание процесса обработки металла. Зависимость полной нагрузки от перемещения и распределение давления на резец.
величинами в (18.32) соотношениями 2sin«
•3 (3 - sin ф)
6С COS Ф л/з{3 - sin)
Другие возможные формы критериев подробно обсуждены в работе [20], однако для иллюстрации метода вполне достаточно рассмотреть форму, предложенную Друкером.
Если в дополнение к предположению о существовании такой поверхности текучести использовать ассоциированный закон, то
задачи расчета конструкций из подобных материалов можно решать с помощью описанных ранее методов. На фиг. 18.10 показано решение задачи о пластических зонах около туннеля, возникающих за счет перераспределения напряжений в резуль-
с началом при Л=124 м. ou=0,2Yft. V=6,9 • Ш" Н.м". б -пластические зоны.
тате выемки грунта. Аналогичные задачи рассмотрены в работах [9, 15,21 и 22].
Основная трудность решения таких задач связана не с вычислениями, а с формулировкой соответствующих определяющих уравнений. В частности, для материалов Мора - Кулона ассоциированный закон, как правило, не выполняется [23]. Их
поведение описывается так называемыми неассоциированными законами. В соответствии с простым предположением, сделанным Денисом [24], пластические деформации удовлетворяют соотношению
d{e}, = X[DA{a})r\ (18.34)
где [Do] - матрица, зависящая от уровня напряжений, сходная по структуре с матрицей упругости. Повторив описанные соотношениями (18.20) -(18.26) действия, получим новую упруго-пластическую матрицу, которая уже не будет симметричной [25]. Однако метод начальных напряжений применим и в этом случае.
1S.5. Материал, работающий только иа сжатие
Гипотетический материал, способный выдерживать только сжимающие напряжения и не сопротивляющийся растяжению при деформировании, во многих отношениях аналогичен идеально пластичному материалу. Хотя в действительности такой идеальный материал, вероятно, не существует, он хорошо аппроксимирует поведение насыпей из горных пород и других сыпучих материалов.
В явном виде соотношение между напряжениями и деформациями, как правило, записать не удается, однако достаточно воспользоваться соотношениями теории упругости, а при появлении растягивающих напряжений приравнять их нулю. При этом уместно использовать метод начальных напряжений, который фактически и был разработан для решения таких задач [1].
Схема вычислительного процесса очевидна, но важно помнить, что главные растягивающие напряжения должны исключаться.
Приведенные выше определяющие соотношения могут лишь приблизительно описывать реальное поведение материала, поскольку при этом не учитывается влияние нераскрытых трещин на перераспределение сжимающих напряжений. Однако ясно, что полученные результаты помогут все же изучить поведение реальных конструкций из сыпучих пород.
Подземная электростанция. На фиг. 18.11, а и б показан пример применения описанной модели в практической задаче. На фнг. 18.11,0 изображено распределение напряжений в районе подземной электростанции с учетом предварительно напряженной арматуры вблизи выработки, полученное в результате упругого решения. Там же указаны зоны растягивающих напряжений. Результаты решения этой же задачи (фиг. 18.11,6) при использовании модели материала, работающего только на сжатие, свидетельствуют о незначительном перераспределении напряжений и опасных зон.
V \ / Стрелкой ука-\ > зано растяжение
Растяжение I
J» Зоны растрескиванш
Фиг. 18.11. Напряжения вблизи подземной электростанции при действии сил
тяжести с учетом предварительны. напряжений, о-упругие напряжения; б -напряжения, определенные для материала, работающего только на сжатие
Разновидностью такого материала может служить материал с конечным пределом прочности на растяжение, не обращающимся в нуль в момент появления трещин. Такой подход использовался в работе [26] при исследовании поведения балок из армированного бетона. Для предварительно напряженных балок
173 см-
Ислользованндя сетка
ccfeHueMe.ASCM
Растрескивание при максимальной нагрузке
Упругое
-140°
Упругое
Сжатие Растяжение А-А
Сечение, в котором нет трещин
Фиг. 18.12. Образование трещин в балке Из предварительно напряженного бетона. Максимальное растягивающее напряжелие 1,55-10° Н/м. Распределение напряжений в различных сечениях.
(без учета текучести при сжатии) получено очень хорошее совпадение с,экспериментальными результатами. На фиг. 18,12 показаны некоторые результаты для балки, испытанной в работе [27].
18.6. Слоистый материал и стыковочные элементы
В другой модели идеализированного материала предполагается. Что материал состоит из большого числа изотропных упругих слоев. При сжатии слои передают сдвиговые напряже-
