ДЛЯ малых приращений нагрузок. При этом можно использовать Любой из процессов, описанных в разд. 18.2.
В самых первых приложениях метода конечных элементов к задачам теории пластичности предпочтение отдавалось методам начальных деформаций (см., например, работы [10] и [И]). Однако эти методы совершенно неприменимы при рассмотрении идеальной пластичности (без упрочнения), поскольку в этом случае деформации при заданных напряжениях нельзя определить однозначно. По этой причине в последующих работах повысился интерес к методу переменной жесткости [12-16]. Некоторая экономия достигалась за счет того, что для решения систем уравнений использовался метод итераций и жесткость менялась в общем итерационном процессе.
Метод начальных напряжений, впервые примененный для-задач теории пластичности Зенкевичем и др. [9], по-видимому, наиболее удобен, так как любая разгрузка автоматически происходит по законам теории упругости, что позволяет исследовать циклическое нагружение. В настоящее время этот метод используется довольно широко [17].
18.4,3. Приложения метода начальных напряжений к некоторым задачам пластичности
Приспособить метод начальных напряжений к решению задач пластичности довольно просто. Трудности, возникающие при этом, связаны со следующими двумя обстоятельствами:
а) Соотношение между приращениями напряжений и деформаций (18.25) справедливо лишь с момента достижения напряжениями поверхности текучести, т. е. при F{a)=0. Если f (с)<0, то материал продолжает вести себя упруго.
б) Соотношение для приращений (18.25) справедливо лишь при бесконечно малом увеличении деформации. При увеличении на конечную величину напряжения могут выйти за пределы поверхности текучести.. Для предотвращения этого после каждой итерации надо изменять напряжения так, чтобы выполнялось условие текучести.
Метод, с помощью которого решены приведенные ниже примеры, состоит в следующем:
а) Для приращения нагрузки вычисляются приращения упругих напряжений и деформаций.
б) Для полученных полных напряжений вычисляется величина F{[a}). Если f <0, то поведение материала упруго и дополнительных итераций не требуется. Если F > О, то вычисляется значение F в начале интервала и путем интерполяцин
определяются приращения упругих деформаций и напряжений в окрестности точки на поверхности текучести.
С помощью соотношения (18.25) находится приращение упруго-пластического напряжения, соответствующее определенному таким образом упругому напряжению). Напряжение в момент начала текучести после добавления упомянутого выше приращения сравнивается с определенными ранее полными напряжениями, а разность используется в качестве начального (поправочного) напряжения.
в) Далее вычисляют невязки сил и получают упругое решение, дающее новую величину полного напряжения. Если невязки сил меньше некоторого значения, то процесс заканчивается. В противном случае: г) повторяются этапы «б» и «в» и т. д.
На каждом этапе полные напряжения должны соответствовать поверхности текучести. Упруго-пластнческая матрица определяется по значениям напряжений, при которых F = О, или изменяется в процессе итераций.
Во всех приведенных примерах описанный итерационный процесс использовался без ускорения сходимости. При этом наблюдалась довольно быстрая сходимость (5-15 циклов). Медленная или плохая сходимость является обычно признаком критического состояния конструкции.
Полученная ранее упруго-пластическая матрица относится к общему случаю трехмерной сплошной среды. Для двумерных состояний необходимо привести ее к специальному виду. Например, для плоского напряженного состояния это достигается простым вычеркиванием в (18.24) столбцов, соответствующих нулевым компонентам напряжений. В случае плоской деформации должны учитываться все напряжения, но обращаются в нуль соответствующие компоненты деформаций. В работе [9] выполнены соответствующие преобразования и приведены явные выражения для матриц. Интересно отметить, что в этих случаях даже при идеальной пластичности диагональный член, соответствующий А, отличен от нуля.
Пластина с отверстием из упрочняющегося и неупрочняю-щегося материала. На фиг 18.4 показаны форма пластины и простые треугольные элементы. Получено решение задачи в предположении плоского напряженного состояния как для идеально пластического, так и для упрочняющегося материалов. Использовался критерий Мизеса с линейным упрочнением [по-
) Поскольку приращение нагрузки конечно, возможно, что определенные с помощью формулы (18.25) упругие напряжения будут несколько превышать предел текучести. Это проверяется, и в случае превышения предела текучести напряжения уменьшаются так, чтобы они находились на поверхности текуче сти.
среднее
Фиг. 18,4. Растяжение полосы с отверстием (плоское напряженное состояние).
а -разбиение на конечные элементы (149 элементов, 94 узла); б -пластические зоны для различных отношений Ccpei/";, идеальная пластичность, Я=6,85 . 10» Н/м, v==0.2, 0=2,38.108 Н/м; е то же, что и на б, но для упрочняющегося материала. Постоянный наклон Н1Е=й,йгг; г -нагрузка 0,98 приложена за один этап. Упрочняющийся материал.
стоянное Н в (18.31)]. Зоны пластичности при различных нагрузках показаны на фиг. 18.4, бив.
Хотя соотношение пластичности справедливо только для приращений, метод начальных напряжений при приложении всех нагрузок за один этап приводит к решению, удовлетворяющему условиям равновесия и не превышающему напряжений текучести. Такое решение для очень большого приращения нагрузки показано на фиг. 18.4, г. Интересно отметить, что, несмотря на нарушение законов для приращений деформаций, пластические зоны практически не изменились.
U25 1.00
0.75 0.50 0,25
0 йд 15 Jo Is 3fi 45 0 4/5 £е/е.
Фиг. 18,5. Пластина с отверстием; упрочняющийся материал, Н/Е = 0,032. Максимальная деформация в точке начала текучести. Приращение нагрузки = = 0,2 X ийгрузка, соответствующая-началу текучести.
- экспериментальные результаты Теокариса и Маркетоса 18]; О метод начальных
напряжений; X метод переменной жесткости 14]; Д решение для одного этапа нагружения в пластической области.
Важно также отметить, что, как видно из фип 18.5, максимальные деформации в точке начала текучести почти совпадают с определенным методом приращений. Там же проведено сравнение с экспериментальными результатами и с результатами, полученными методом переменной жесткости [14].
Консольная балка - циклическое нагружеиие. На фиг. 18.6 показана находящаяся в условиях плоского напряженного состояния консольная балка, для материала которой справедливы законы идеальной пластичности Мизеса. Нагрузки отнесены к критической нагрузке, определенной по элементарной теории пластического шарнира. На фиг. 18.7 показан первый цикл нагружения для иллюстрации способности метода правильно описывать упругое поведение при разгрузке. Заслуживают внима-
1 ♦
1 ?5
mm t.D
Фиг. 18.6. Консольная балка. Плоское напряженное состояние, идеальная пла-стичность. Пластические зоны для различных отношений Р/Рс (Рс-критическая нагрузка, вычисленная по балочной теории пластичности).
-0.2 О 0,2 0.i перемещение в С а
0,6 0,8
Сечение АА
О . 1 сечение вв
Фиг. 18.7. Консольная балка, показанная на фиг. 18.6. а-перемещения при изменении знака нагрузки; б -распределение напряжений xly
разлнчны.ч этапах разгрузки, о при начале текучести; X при максимальной нагрузке; Д при максимальной нагрузке с обратным знаком; □ остаточные напряжения.
НИЯ показанный на фиг. 18.7, а «гистерезис» перемещения и остаточные напряжения после снятия нагрузки, обусловленные пластическим деформированием.
На фиг. 18.8 представлено графически из.менение перемещений при возрастании нагрузки. По мере приближения к критической нагрузке требуется все большее число итераций, и при PIPc - 1 процесс не сходится. Таким образом, хотя нелинейное решение дает возможность найти нижнюю границу критической нагрузки (путем удовлетворения условиям равновесия и текучести), метод приращений нагрузок не позволяет установить ее истинную величину. Для лучшего описания критического поведения балки проще задать некоторые перемещения в точке приложения нагрузки и затем
СхоВитсти нет
Нижн яя
ница
0,2 0,4 0.6 0.8 Перемещение в С
Фнг. 18.8. Консольная балка. Зависимость перемещения от Р/Рс.
увеличивать их, пока реакция в этой точке не перестанет возрастать. Этот прием рассмотрен в следую- cj щем примере.
Пластическое течение а при резаиии металла. На фиг. 18.9а показана идеали- g зированиая схема обработки металлической заготовки резцом, снимающим с нее Стружку. Хотя в действительности эта задача связана с большими- перемещениями, решалась упрощенная упруго-пластическая
задача о поведении тела определенной формы при заданных постоянных перемещениях вертикальной поверхности. На фиг. 18.96 показаны пластические зоны, распределение нагрузки и полная нагрузка на резец. Видно, что вследствие идеальной пластичности материала при определенных перемещениях нагрузки увеличиваются до некоторых постоянных значений. При этом возникает критическое состояние, соответствующее отделению стружки. В рассмотренном примере только этот заключительный этап имеет практическое значение.
Материал Мора - Кулона. Туннель. Сходные с пластичностью явления наблюдаются во многих материалах, таких, как почва, скальные породы, керамические материалы и бетон. В них также может происходить необратимое деформирование при почти постоянных напряжениях. Однако поверхность текучести для этих материалов зависит не только от девиаторных (сдвиговых) напряжений, как в законе Мизеса, но и от величины среднего напряжения.
