Такой процесс, изображенный на фиг. 18.2, б, обычно сходится медленнее. Ясно, что эти же идеи легко обобщить на нелинейные уравнения со многими переменными. В этом случае процесс известен как метод Ньютона-Рафсона, который в свою очередь может быть модифицирован аналогично тому, как это сделано выще. Очевидно, что методы переменной и постоянной жесткости, рассмотренные с общих позиций в разд. 18.2, относятся к этим двум категориям.
Фнг. 18.2. Итерационный метод Ньютона (а) н метод с нспользованнем постоянного наклона (б).
Для проведения дальнейщих выкладок удобно вернуться к основным уравнениям метода конечных элементов, полученным из принципа виртуальной работы в гл. 2. Уравнения (2,28) представляют собой уравнения равновесия, полученные из условия равенства изменений внутренней и внешней работ. Если {ф} представляет собой вектор суммы внутренних и внешних сил, то можно записать
d{6y{ii}=\d{ef{a}dV-d{bf{R} = Q, (18.11)
где вектор {R} содержит все внешние силы, обусловленные приложенными нагрузками. Если для вариации деформаций справедливо соотношение
d[e} = lB]d{6}, (18.12)
то, исключая {б}, получаем справедливое в общем случае соотношение
{t am = \ [BY {oi dV - {R} = 0, (18.13)
В котором {а} - истинные напряжения, зависящие от достигнутого уровня деформаций.
Если деформации малы, то [В] - зависящая от координат матрица деформаций, которая уже была определена ранее в гл. 2. Если можно установить зависимость {о} от деформаций и, следовательно, от перемещений, то задача сводится к решению нелинейного уравнения
г1)({6}) = 0.
На этом заканчивается постановка задачи.
Рассмотрим теперь вариацию (ij)} по d{6}, которая имеет вид
(18.14)
dW=\[BYd{o}dV,
так как {R} не зависит от {6} и d{R} = 0. Если записать
d[o}[Dr{{e})]d{e}, (18.15)
где [От]-матрица упругих постоянных для приращений (или касательных модулей), то, используя соотношение (18.15) вместе с (18.12), можно переписать (18.14) в виде
{Ф} = (S [BY [Dr ({е})1 [В] dV d {6} = [КА d {б}. (18.16)
Если теперь применить метод Ньютона-Рафсона, начиная с некоторого приближенного решения {б}„, которое не обращает в нуль значения {г)}„, то можно получить соотношение для поправки к этому решению
A{6u,=-[/Cri:w„.
18.17)
где 1Кт]п - матрица касательных упругих постоянных, определенная для перемещений и деформаций, соответствующих приближенному решению {б}.
Таким образом, основываясь на методе Ньютона - Рафсона, получаем еще один метод решения нелинейных задач с использованием переменной жесткости. Он отличается от описанного в подразд. 18.2.2 тем, что здесь применяется не секущая, а касательная жесткость. Этот метод гораздо удобнее на практике, так как физические законы обычно формулируются с использо-вапием касательной жесткости.
Однако если вместо касательной матрицы использовать постоянную матрицу, соответствующую начальной упругой жесткости, то метод Ньютона - Рафсопа) (фиг. 18.2,6) становится
) Этот метод называется модифицированным методом Ньютона -Кач-торовнча. - Прим. ред.
тождественным ранее описанным методам начальных напряжений и начальных деформаций.
Итак, для методов, основанных на простых физических соображениях, имеется математическое обоснование). Ясно, что при использовании модифицированного метода Ньютона - Канторовича потребуется большее число итераций, хотя в целом, как указывалось ранее, метод более экономичен, поскольку необходимо обращение только одной матрицы жесткости. Может оказаться, что оптимальный в экономическом отношении вариант получится при удачном сочетании обоих методов -постоянной и переменной жесткости.
Таким образом, существенным в каждом нелинейном методе является способ непосредственного вычисления вектора {ф}, характеризующего неуравновешенность сил.
Вектор {г)}и можно рассматривать как неуравновешенную невязку сил. Таким образо.м, он играет важную роль в вычислительном процессе.
К описанным методам решения могут применяться любые процедуры ускорения сходимости.
18.4. Пластичность 18.4.1. Оби{ая теория
Этот частный вид отклонения от линейно-упругого поведения хорошо известен для металлов и подробно изучен с теоретических позиций [4-7]. По существу, пластичность характеризуется не зависящим от времени необратимым деформированием, начинающимся лишь по достижении некоторого напряжения, известного как предел текучести.
Поверхность текучести. Обычно постулируется и подтверждается экспериментально, что текучесть начинается только тогда, когда напряжения {а} удовлетворяют критерию текучести
(М, %) = 0, (18.18)
где X-параметр упрочнения. Условие текучести можно наглядно представить в виде поверхности в п-мер1юм пространстве напряжений, положение которой зависит от мгновенного значения параметра и (фиг, 18,3).
Закон пластического течения (ассоциированный закон). Мизес [4] первый предложил соотношение, связывающее приращения пластических деформаций с поверхностью текучести. Различными авторами [4, 5] были высказаны эвристические сообра-
) Метод начальных напряжений фактически совпадает с описанным здесь, если аппроксимировать [Кт] матрицей [Ко].
жения в пользу предложенного соотношения; в настоящее время общепринятой, по-виднмому, является следующая гипотеза: если d{e}p - приращение пластической деформации, то
или для любой компоненты п
de„. „ = X
дР дОп
Здесь 7, - неопределенный коэффициент пропорциональности. Это соотношение известно как ассоциированный закон и его можно трактовать как требование ортогональности вектора приращений пластических деформаций поверхности текучести в л-мериом пространстве напряжений.
Соотношения между полными напряжениями и деформациями. Предположим, что -изменение деформации при бесконечно малом приращении напряжения может быть представлено в виде суммы упругой и пластической частей, т. е.
d{8} = d{eb + d{eb.
(18.20)
Упругие приращения деформации связаны с приращениями напряжения, как обычно, симметричной матрицей [D]. Таким образом, соотношение (18.20) можно записать в виде
Г(б,.бгх)
%(е,}
Фиг. 18,3, Поверхность текучести и ассоциированный закон в двумерном пространстве напряжений.
d{z) = [Drd{a)+-K.
(18.21)
При пластическом течении напряжения находятся на поверхности текучести, определяемой равенством (18.18). Дифференцируя его, получаем
да..
д{а}
где введено обозначение
d {а} -АХ = 0,
(18.22)
(18.23)
Соотношения (18.21) и (18.22) можно записать в симметричной матричной форме
i dF
dF dF
da, da.
.. -A
(18.24)
Неопределенную постоянную X можно исключить (избегая при этом умножения нлн деления иа величину А, которая в общем случае может равняться нулю). В результате получаем выражение, в явном виде определяющее изменения напряжений через изменения деформаций:
d{a} = [D]ld{E}. (18.25)
Здесь
-1»! - МI 1Ш"!+ {w}i°i ШГ-
(18.26)
Место матрицы упругости [D], используемой в методе приращений, занимает упруго-пластическая матрица [0]ёр. Она симметрична и имеет смысл независимо от того, равна ли нулю величина А. Подробное описание теории пластичности в такой форме впервые дано в работах [8, 9].
Значение параметра А. Ясно, что в случае идеальной пластичности без упрочнения величина А равна нулю. При учете упрочнения необходимо рассмотреть сущность параметра (или параметров) и, определяющего смещение поверхности текучести.
В упрочняющемся материале и определяется как пластическая часть работы при пластическом деформировании, т. е.
rfx. = a,def+ a,def + ... ={aYd{e}. (18.27)
Используя закон течения (18.19), получаем
d7i = X{aY
д{о]
(18.28)
Очевидно, что X можно исключить из (18.23) и записать
Это выражение позволяет определить А при известной зависимости F от к.
Соотношения Праидтля - Рейсса. Для иллюстрации некоторых понятий рассмотрим частный случай поверхности текучести Мизеса. Она определяется соотношением
F = [I (а, - o,f + Y - of + 4 (аз - +
+ За + ЗоЗ + За] - а = О, (18.30)
где в общем случае трехмерного напряженного состояния индексы 1, 2, 3 относятся к нормальным компонентам напряжений, а 4, 5, 6 - к сдвиговым. Из (18.30) находим
дГ 3oj
i
acr, ~" 2о dF 3g4 dOi, а
dF 3(7.2
dcTj 26- дзз OF 3cj6 dF
2a
ЗсТб
5(75
Штрихами обозначены компоненты девнатора тензора напряжений, т. е.
а; = а,-*+° + ° и т. д.
Величина а=ст(и)-одноосное напряжение при течении. Если известны результаты опыта для одноосного растяжения в виде зависимости а от пластической деформации Вир, то можно записать
d% = a ds„p
да J а
где Н - тангенс угла наклона кривой в точке, соответствующей а.
Подставляя это выражение в (18.29), после некоторых преобразований получаем
А = Н, (18.31)
что приводит к хорошо известным соотношениям Праидтля - Рейсса между напряжениями и деформациями.
С обобщением на случай поверхности текучести с угловыми точками можно познакомиться в работе [6].
18.4.2. Исторические замечания
Поскольку в изложенной теории пластичности законы сформулированы в виде соотношений (18.25) и (18.26) для приращений, ясно, что итерационный процесс необходимо применять
