Следует сделать одно существенное замечание. В нелинейных задачах в отличие от линейных часто нет единственности рещения. Таким образом, найденное решение не обязательно будет искомым. Для получения правильного ответа необходимо применять метод малых приращений и четко представлять физическую сущность задачи.
Здесь могут быть использованы формальные численные итерационные методы, такие, например, как методы Ньютона - Рафсона и т. д. Однако их применение требует понимания физической природы задачи, и поэтому на практике численные методы более успещно разрабатываются инженером (или физиком), нежели математиком.
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА
18.2. Подход с общих позиций
18.2.1. Основные положения
Задача линейной теории упругости в перемещениях всегда сводится к решению уравнений для ансамбля (см. гл. 1 и 2)
[К] {5}-{i?} = 0,
(18,1)
где вектор {R} содержит все силы, обусловленные внешними нагрузками, начальными напряжениями и деформациями и т. д.
При выводе этого соотношения использовался закон линейной упругости в виде
{a} = [Dl({e}-{eo}) + {ao}. (18.2)
Кроме того, предполагалось существование линейной связи между деформациями и перемещениями [соотношение (2.2) гл. 2], перемещения считались непрерывными и уравнения равновесия удовлетворялись приближенно.
При решении задач о малых деформациях, в которых используются другие, возможно и нелинейные, определяющие уравнения, следует изменить только соотношение (18.2). Новое соотношение можно записать в виде
F{{a}, {е}) = 0.
(18.3)
Если удастся найти такое решение уравнения (18:1), что при соответствующем подборе одного или нескольких входящих в {18.2) параметров [D], {ео} или {оо} это уравнение и соотношение (18.3) удовлетворяются при одинаковых значениях напрят жений и деформаций, то полученное решение 6ijdeT искомым.
Очевидно, что при решении целесообразно использовать итерационный метод. Какая из трех вышеупомянутых величин будет подбираться в процессе итераций, зависит от:
а) метода решения линейной задачи;
б) физического закона связи между напряжениями и дефор"-мациями.
Если при итерациях подбирается матрица [D], то приходим к известному методу переменной жесткости). Если же подбираются {ео} или {оо}, то имеем так называемые методы начальных деформаций или начальных напряжений.
Во многих случаях не удается установить соотношения типа (18.3) для полных деформаций и напряжений, но можно вывести их для приращений этих величин Л {а} и А {в}. В этих случаях итерационные методы применяются для каждого приращения нагрузки (или времени при ползучести). Методы приращений можно использовать в сочетании с любым из ранее рассмотренных методов.
Из изложенного ранее видно, что параметры [D], {во}, {оо} •являются весьма важной частью исходных данных для программы решения задачи линейной теории упругости. Поэтому такие программы представляют собой основу решения любой нелинейной задачи. На данной стадии несущественно, составлены ли эти программы на основе конечно-элементной дискретизации или нет. Изложенные ниже методы можно использовать в сочетании с любым другим способом дискретизации (например, конечно-разностным) при условии, что берутся одинаковые исходные данные.
18.2.2. Методы переменной жесткости
Метод переменной жесткости можно использовать в случае, когда связь между напряжениями и деформациями (18.3), характеризующую поведение материала, можно представить в форме (18.2), где матрица упругости зависит от достигнутого уровня деформации, т. е. имеет вид
[D]=[D({e})]=[D({6})], (18.4)
Так как матрица упругости влияет на окончательный вид матрицы жесткости ансамбля, приходим к уравнению
W = [/С ({б})] {6}= О, (18.5)
которое можно решить различными итерационными методами.
) В советской литературе этот метод носнт название метода переменных параметров. О других методах см. сб. «Упругость н пеупругость», вып. 3, -стр. 120, Изд-во МГУ, \т.~При.м. ред.
Очевиден следующий простой итерационный процесс. Сначала предполагается {б}о = О, вычисляется [С({б}о)] = [о] и определяется {6}i = [XohW Процесс повторяется в соответствии с формулой
(18.6)
до тех пор, пока перемещения перестанут изменяться.
Если определяющие уравнения таковы, что соотношение типа (18.4) может быть записано только для приращений напряжений и деформаций, то описанный процесс следует применить Для приращений нагрузки, отсчитываемых от ранее достигнутого значения.
В любом случае можно пользоваться стандартной программой решения задач линейной теории упругости при условии,-что матрица [D] симметрична. Это требование весьма существенно, так как в программе обычно используется свойство симметрии.
Одним из существенных недостатков методов переменных параметров является то, что на каждом шаге приходится заново строить матрицы жесткости и решать полученные уравнения. Если программа использует прямые методы решения, то такой подход становится очень неэкономичным и более приемлемыми оказываются другие методы, которые описаны в следующем разделе.
18.2.3. Методы начальных напряжений
Если определяющие уравнения разрешимы относительно напряжений, т.е. (18.3) имеет вид
W = f({8}), (18.7)
то соотношение (18.2) для упругого материала можно привести к форме (18,7), задавая соответствующим образом {оо}. Так как {(То) влияет на силы {R], приходим к решению уравнения
№ = [Xo]W-i?{{6}) = 0. (18.8)
Итерационный процесс проводится следующим образом. Сначала находится
где {о} соответствует приложенным нагрузкам. Определяются напряжения {oo}i. необходимые для приведения упругого решения в соответствие с реальными напряжениями при достигнутых деформациях. Далее с учетом начального напряжения с помощью соотношения (2.13) находится [R}i и определяется
{6Л = 1КоГ {R>} и т. д.
[г}Ш-[Rn}
(18.9)
Процесс продолжается до тех пор, пока решение не перестанет изменяться ").
Другой удобный метод состоит в определении только изменений [R}, обусловленных изменениями требуемого начального напряжения. В этом случае {бо} находится, как и ранее, но
A{S,} = [Co]"AW} и т. д.
и итерации продолжаются до тех пор, пока величина А {б}„ не станет достаточно близкой к нулю.
При вычислениях более удобен последний подход, который, кроме того, имеет ясный физический смысл. На каждом этапе во всех точках конструкций определяется разность между истинными напряжениями при соответствуюиих деформациях и напряжениями, найденными из упругого решения. Эта разность напряжений затем перераспределяется в соответствии с упругим законом, чтобы восстановить равновесие, и поэтому метод первоначально получил название метода перераспределения напряжений [1].
Величину силы А {/?}
п, Вычисленную на п-ы шаге итерации, можно физически интерпретировать как неуравновешенную невязку силы в конструкции, и, следовательно, она является удобной мерой ошибки.
В этом методе на каждом шаге итерационного процесса используется одна и та же матрица жесткости, и если она поблочно обратима, то время, необходимое для каждой итерации, составляет лишь небольшую часть времени, затрачиваемого на получение первого приближения.
Теперь вoзqкaeт вопрос, какие упругие постоянные следует использовать для определения матрицы [Ко]. Если поведение материала в основном описывается соотношениями линейной теории упругости и отклонения от линейно-упругого поведения локализованы, то естественно использовать начальные значения упругих постоянных. Однако если нелинейность проявляется для всех напряжений, то для ускорения сходимости можно рекомендовать скорректировать упругие постоянные после первой итерации.
18.2.4. Методы начальных деформаций
В некоторых задачах, особенно в задачах ползучести, действующие напряжения нельзя выразить в явном виде через де-
) Описанный метод носит название метода упругих решений. См. А, А, И.тьюшин, Пластичность, ГИТТЛ, 1948, - Прим. ред.
формации. С другой стороны, в этих случаях можно определить деформации (или приращения деформаций) через напряжения, т. е. установить соотнощение типа
{e} = f({a}). (18.10)
Совпадение соотношений (18.10) и (18.2) может быть достигнуто при соответствующем выборе {ео}. Уравнение (18.8) опять решается итерационным методом, но теперь упругие деформации, получаемые на каждом шаге, сравниваются с деформациями, соответствующими определяющему соотношению (18.10),
Фиг. 18.1. Методы начальных деформаций и начальных напряжений. Размягчающийся (а) и затвердевающий (б) материалы.
и НХ разность используется для оценки невязки силы А{}„. В остальном процесс идентичен описанному выше, и, в частности, матрица жесткости остается постоянной на любом шаге.
В некоторых законах ползучести (см. разд. 18.7) дополнительные деформации (деформации ползучести) явно отделены от упругих деформаций и, следовательно, при каждой итерации определяются непосредственно дополнительные начальные деформации. Различие между методами начальных напряжений и начальных деформаций лучше всего, вероятно, проиллюстрировать графически. На фиг. 18.1 уровню напряженно-деформированного состояния, полученному в первом приближении, соответствует точка 1. В методе начальных напряжений полученные напряжения уменьшаются до правильного значения введением некоторого начального напряжения A{oo}i, тогда как в методе
начальных деформаций значения деформаций корректируются поправочным членом Л{ео}. Ясно, что когда с ростом напряжений деформации быстро увеличиваются, предпочтительнее использовать первый метод, а когда справедливо обратное утверждение (затвердевающие материалы) - второй.
18.2.5. Ускорение сходимости
Методами начальных напряжений и начальных деформаций можно получить окончательное решение, если правильно подобрать значения {оо} или {ео}. Однако описанные процессы подбора не всегда обладают быстрой сходимостью. Исследуя сходимость в процессе вычислений и вводя на каждом этапе дополнительные поправки, ее можно ускорить. Одна из таких процедур в общих чертах описана в работах [2а] и [26]. Однако инженер, составляющий програм.му, может проявить здесь свою изобретательность. Любой метод является вполне законным, если окончательное решение удовлетворяет всем требованиям.
18.3. Математический подход
На этой стадии важно пересмотреть всю проблему в целом с математических позиций [3].. Читатель, несомненно, знаком с методом Ньютона решения нелинейных уравнений с одной переменной X вида
ф{Аг) = 0.
Если приближенное решение х„ достаточно близко к точному, нО в то же время {х-п) Ф О, то его можно уточнить, полагая
Сходимость метода Ньютона графически показана на фиг. 18.2, а. Можно поступить по-другому и на каждом шаге использовать некоторое постоянное значение величины
