Эта задача была сформулирована в предыдущей главе. В случае отсутствия возмущающей силы и демпфирования опять возникает задача о собственных значениях.
Если жидкость несжимаема, то следует просто ввести матрицу присоединенных масс. В гл. 15 довольно подробно рассматривался вопрос построения такой матрицы, так что добавление ее не представляет особых затруднений. Этот подход к решению задачи впервые описан Зенкевичем и др. [19] и впоследствии был использован Баком и др. [20].
При учете сжимаемости жидкости задача несколько усложняется, поскольку колебания жидкости и конструкции взаимосвязаны.
Простой пример двумерной задачи, иллюстрирующий взаимодействие идеализированной плотины и жидкости, представлен на фиг. 17.8. Этот пример показывает эффективность использования различных разбиений на элементы [22].
При сведении связанной задачи к обычной задаче о собственных значениях целесообразно использовать специальные преобразования. Некоторые такие преобразования описаны в работе [21]. Другой метод вычислений изложен Айронсом [23].
17.6. Решения нестационарных задач. Метод нормированных собственных функций
В предыдущей главе обсуждалось решение нестационарных задач с помощью различных рекуррентных соотношений. Однако если известны собственные частоты и собственные функции системы без демпфирования, то сравнительно нетрудно определить реакцию на неустановившиеся воздействия системы с демпфированием, которая описывается уравнением (17.1).
Этот метод изложен во многих учебниках. Хотя и приближенно, он позволяет вычислить реакции на такие сложные воздействия, как толчки при землетрясениях и др. [20, 24, 25].
Рассматривая опять основное уравнение (17.1)
\К] {6} + [С] -- {6} + [М] {5} + {F (t)} = О,
отметим, что любое движение можно представить в виде линейной комбинации собственных функций {бо}г, полученных в результате решения задачи о собственных значениях
([/С]-(йЧМ]){5о} = 0.
Таким образом, можно записать
(17.9)
(17.30)
где матрица [До] содержит все собственные функции (нормированные), а {г (I)} - коэффициенты пропорциональности при собственных функциях.
Если теперь подставить (17.30) в (17.1) и результат умножить на [До], то получим
[Ао1 [К] [До] {г) + [ЫГ [С] 1\] +
+ [До] [М] [До] -gr {z} + [V {F} = 0. (17.31) В соответствии со свойством ортогональности [см. 17.12)] .г f О при i ф /,
Кроме того, по определению
[С]{б„}, = со[М]{б„},.
Следовательно,
(-0 при ( ф i.
Если также предположить), что выполняются соотношения
О при i ф j, при г=/,
то система (17.31) будет содержать только диагональные члены. Следовательно, при нормированных собственных функциях получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений-
{ад[[с]{боЬ={2
(17.32)
Каждое из этих уравнений решается элементарно, а затем с помощью соотношения (17.30) строится полное решение.
Этот метод особенно удобен, если все силы {F{t)} одинаково меняются со временем. Если, например, основание конструкции движется с ускорением U(t), то можно считать, что это основание неподвижно, а к самой конструкции в узлах (фиг. 17.9) приложены силы
-[M]{A}U. (17.33)
) Это предположение является обоснованным, так как в предыдущей главе было показано, что матрица [С] по форме аиалогичиа матрице [М].
Матрица [А] характеризует геометрические соотношения между ускорениями узлов и величиной О (если направление U совпадает с направлением одной из координат, то она состоит из единиц и нулей).
Неподвижное основание Фиг 17.9. Эквивалентность движения основания действию силы.
Типичное дифференциальное уравнение можно записать в виде
-а,5г; + 2а>.с,--г;-Ьг;=С/(а (17.34)
•где
Ri = [b,}\[M]{A}. (17.35) Решение уравнения (17.34) имеет простой внд
z- = \iJ(t)t
-CO; ((-Т)
sin (s>i (t - t) dx
(17.36)
H его можно вычислить для любых типов движения.
При расчете конкретных конструкций необходимо знать весовые множители вычисление которых можно предусмотреть в программе решения задачи о собственных значениях.
С помощью уравнения (17.34) рассчитывались реакции системы с одной степенью свободы на воздействия сейсмического характера. Часто можно видеть, что поведение системы определяется небольшим числом собственных функций и что для определения максимальной реакции достаточно сложить максимальные реакции, соответствующие этим собственным функциям,
ЛИТЕРАТУРА
За. ЗЬ.
9. 10.
12. 13.
14. 15.
16. 17. 18. 19. 20.
Crandall S. Н., Engineering Analysis, McGraw-Hill, 1956.
Wilkinson J. H., Tlie Algebraic Eigenvalue Problem, Oxford Univ. Press,
1965.
Cox H. L., Vibration of Missiles, Aircraft Eng., 33, 2-7, 48-55 (1961). Jenning A., Natural Vibration of a Free Structure, Aircraft Eng., 34, 81-83 (1962).
Irons в.. Structural Eignevalue Problems: Elimination of Unwanted Variables, JAIAA, 3, 961 (1965); есть русский перевод: Айронс, Задачи cr Собственных значениях матриц конструкции: исключение лишних переменных. Ракетная техника и космонавтика, 3, № 5, стр. 207 (1965). Guyan R. J., Reduction of Stiffness and Mass Matrices, JAIAA, 3, 380 (1965); есть русский перевод: Гайан, Приведение матриц жесткости и массы. Ракетная техника и космонавтика, 3, № 2, стр. 287 (1965). Anderson R. G., Irons В. М., Zienkiewicz О. С, Vibration and Stability of Plates Using Finite Elements, Int. J. Sotids and Struct., 4, 1031-1055 (1968). Ramsden J. N., Stoker J. R., Mass Condensation; a Semi Automatic Method for Reducing the Size of Vibration Problems, Int. J. Num. Meth. Eng., 1, 333-349 (1969).
Barton M. v.. Vibration of Rectangular and Skew Cantilever Plates, /. Appl. Mech., 18, 129-134 (1951).
Clough R. W., Chopra A. K., Earthquake Stress Analysis in Earth Dams, Structures and Materials Research Rept. № 65-8, Univ. of California, Berkeley, California, 1965.
Ahmad S., Anderson R. G., Zienkiewicz O, C, Vibration of Thick, Curved, Shells with Particular Reference to Turbine Blades, /. Strain Analysis, 5, 200-206 (1970).
Anderson R. G., A Finite Element Eigenvalue System, Ph. D. Thesis, Univ. of Wales, Swansea. 1968.
Archer J. S., Rubin C. P., Improved Linear Axi-Symmetric Shell-Fluid Model for Launch Vehicle Longitudinal Response Analysis, Proc. Conf. on Matrix Methods in Struct. Mech., Air Force Inst, of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1965.
Argyris J H., Continua and Discontinua, Proc. Conf. on Matrix Methods in Struct. Mech., Air Force Insl. of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, Oct. 1965.
Klein S., Sylvester R. J., The Linear Elastic Dynamic Analysis of Shells of Revolution by the Matrix Displacement Method, Proc. Conf. on Matrix Methods in Struct. Mech., Air Force Inst, of Techn., Wright Patterson A F. Base, Ohio, Oct. 1965.
Dungar R., Severn R. Т., Taylor P. R., Vibration of Plate and Shell Structures Using Triangular Finite Elements, /. of Strain Analysis, 2, 73-83 (1967).
Arlett P. L., Bahrani A. K., Zienkiewicz O. C, Application of Finite Elements to the Solution of Helmholtzs Equation, Proc. lEE, 115, 1762-1964 (1968).
Taylor С Patil B. S., Zienkiewicz O. C, Harbour Oscillation: a Numerical Treatment for Undamped Natural Modes, Proc. Inst. Civ. Eng., 43, 141-
1969).
Zienkiewicz O. C, Irons В., Nath В., Natural Frequencies of Complex, Free or Submerged Structures, by the Finite Element Method, Symp. on Vibrations in Civil Eng., Inst. Civ. Eng., London (Butterworth), 1965. Back P. A. A., Gassell A. C, Dungar R, Gaukroger D. R., Severn R. Т., The Seismic Design Study ot a Double Curvature Arch Dam, Proc. Inst. Civ. Eng., 43, 217-248 (1969).
21. Zienkiewicz О. С, Newton R, Е„ Coupled Vibrations of a Structure Submerged in a Compressible Fluid, Int. Symp, on Finite Element Techniques, Stuttgart, 1969.
23. Irons B, M., Role of Part-Inversion in Fluid Structure Problems with Mixed Variables, JAIAA, 7, 568 (1970); есть русский перевод; Айроис, Роль частичного обращения в задачах со смешанными переменными о поведении системы жидкость - конструкция, Ракетная техника и космонавтика, 8, № 3, стр. 239 (1970). „
24. Housner G. W„ Behaviour of Structures During Earthquakes, Proc. Am. Soc. CiB. En,, 85, EM4, 110-129 (1959),
25 Zienkiewicz O. C, Anderson R, G„ Irons В., Buttress Dam Analysis for Earthquake Loads, Water Power, 19, 359-363 (1967),
18.1. Введение
Все рассмотренные до сих пор задачи описывались линейными дифференциальными уравнениями, приводящими к стандартной квадратичной форме функционала. В задачах механики упругого тела линейность являлась следствием:
а) линейной связи между деформациями и перемещениями [см. соотнощение (2.2)];
б) линейной связи между напряжениями и деформациями [см. соотношение (2,3)].
В задачах теории поля такая линейность была следствием предположения о независимости постоянных, например проницаемости к, от искомого потенциала ф [см. соотношение (15.1)].
Однако многие практически важные задачи не являются линейными, поэтому обобщение изложенных численных методов, которое позволило бы исследовать такие задачи, представляет большой интерес. В механике твердого тела такие явления, как пластичность, ползучесть и другие сложные реологические явления, заставляют отказаться от предположений линейной упругости. Аналогично ситуации, когда вязкость зависит от скорости потока или когда в пористых средах неприменимы законы фильтрации Дарен из-за наличия турбулентности или магнитная про-1Шцаемость зависит от плотности тока, приводят к физической нелинейности
Эти задачи можно исследовать, не меняя их постановки, т. е. на основе тех же основных вариационных принципов. Если найдено решение линейной задачи, то можно получить решение нелинейной задачи с помощью некоторого итерационного процесса, на каждом шаге которого материальные константы выбираются так, чтобы удовлетворялись определяющие уравнения.
Однако если нелинейна связь между деформациями и перемещениями, то необходимы более существенные изменения в постановке задачи. Такие задачи в настоящей главе не рассматриваются (они изложены в гл. 19). Тем не менее будет установлено, что итерационные методы применимы и для этого случая, поэтому с их помощью можно решать задачи, в которых имеют место нелинейности обоих типов ).
) То есть физическая и геометрическая, - Прим. ред.
ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ. ПЛАСТИЧНОСТЬ, ПОЛЗУЧЕСТЬ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ И Т. Д.
