ДОЛЖНО быть записано с учетом ограничения на деформации, налагаемого соотношением (17.21). Новое уравнение лучше всего получить, минимизируя полную потенциальную энергию системы по уменьшенному числу параметров.
В гл. 2 показано, что, используя принцип Даламбера для динамических сил, потенциальную энергию можно записать в виде
x = {6}4Kl{6}-f([M]{6})(6}.
После некоторых преобразований получаем
где матрицы
-j=[K.m+[M\ {б}=о.
/
(17.23)
(17.24)
(17.25)
соответствуют меньшему числу степеней свободы, связанных с Ы.
Выражения (17.25) можно получить непосредственно, используя правила рассмотренного в гл. 1 контрградиентного преобразования, если выражение (17.21) принять за определение матрицы этого преобразования.
Важно установить связь между вспомогательными и главными перемещениями. При этом уместно сделать приемлемое с инженерной точки зрения предположение, что картина деформации не изменится, если вместо нагрузок задать перемещения {б}. В соответствии с этим, записывая по аналогии с (17.19) соотношение
[кт-
-к R-
(17.26)
получаем
IKV {6} + m {а} = о,
поскольку вспомогательные узлы не нагружены, и
(17.27)
Приложения этого метода хорошо описаны в литературе [7, 8] и будут рассмотрены на приведенных ниже примера??,
17.5. Некоторые примеры определения собственных значений
Приведем лишь несколько примеров из множества решенных практических задач.
/7.5./. Колебания пластин
На фиг. 17.1 представлены результаты расчета колебаний прямоугольной консольной пластины, полученные при использо-
Фиг. I7.I: Моды консольной пластины. Исходые давиые для расчета при разбиении иа 4 треугольных элемента: Е=2,02.10 Н/м". (=1,25 см, L=5,08 см, 6=2,54 см, v=0,3, p=7,65-II) Н/м. Числа обозначают частоты в герцах, полученные при использовании: i) точного решения (91; 2)«несогласованного» треугольника; 3) согласованного треугольника с поправочной функцией (10.28) и 4) согласованного треугольника с поправочной функцией 1Ш.2Э).
вании всего лишь четырех треугольных элементов. Результаты сравниваются с результатами сложных расчетов Бартона [9]. Видно, что использование несогласованного треугольника приводит к лучшим результатам, чем использование уточненных соотношений. Точность определения и частот и собственных функций вполне удовлетворительна.
Более полно результаты, полученные при использовании несогласованных треугольников, для различных разбиений приведены в табл. 17.1 [7].
Таблица 17.1
Сравнение теоретических и экспериментальных результатов определения частот прямоугольной кансольной пластины постоянной толщины (длина а, ширина а/2) [7]
ш/У D/pfta<
Расчет методом
конечных элементов
Мода
Результаты ьартона
(несогласованный треугольник)
Экспериментальные
Сетка
Сетка 2X8 для половины
Метод
результаты Плаикетта
Сетка
пластины с учетом
Экспери-
2X1,
4X2,
симметрии, что
Ритиа
мент
4 элемента
16 элементов
эквивалентно использованию 64 элементов
3,47
3,42)
3,5Э
3,39
3,44
3,44(0)
14,93
14,52)
14,50
15,30
14,76
14,77 (а)
21,26
20,86
21,70
21,16
21,60
21,50 (с)
48,71
46,90
48.10
49,47
48,28
48,19 (а)
60,50
67,46
60,56
60,54 (с)
92,30
88,84
91,79 (с)
94,49
93,99
92.80 118,70
92,24 117,72
92,78 (а) 119,34 (с)
125,10
118,96
124,23 (с)
154,00
153,15 (а)
176,00
174,46 (с)
196,00
199,61 (с)
) Результаты, скорректированные Вартоном в соответствии с проведенными им испытаниями. Буквами (с) н (а) обозначены симметричные и антисимметричные моды.
Решение подобной задачи иллюстрируется на фиг. 17.2. При решении проверялась эффективность экономичного метода определения собственных значений. Видно, что при сокращении числа степеней свободы с 90 до 6 первые четыре частоты изменяются очень мало.
! В литературе так много примеров расчета колебаний пла-
/ стик, что их невозможно перечислить.
Расчет с учетом всеос степеней сво 5оды (90)
исключены степени свободы узлов, не от/иеченных кружками.
ЧисЛ9-щнов!1ых перемещении (ЧОП) -54
Исключены все степени свободы крсииепо-Уперечныа: перемещенчй oSSedeHHNi: кружками узлов.
уоп =18
Исключены все степени свободы кроме поперечных перемещений обведенных кружками узлов
ЧОП = в
Мо9а
3,469
8,535
21,450
27,059
Мода
oijDIpla
3,470
8,540
21,559
27,215
Мода
3,470
8,543
21,645
27,296
Мода
3.473
8,604
22,690
29,490
Фиг. 17.2, Исключение степеней свободы при определении собственных частот квадратной консольной пластины.
17.5.2. Плоская задача о колебаниях
На фиг. 17.3а и 17.36 приведены результаты расчета Клуха и Чопры [10] колебаний сечення земляной дамбы. При расчете использовались простые треугольные элементы.
17.5.3. Колебания оболочек
Очевидно, что изложенный метод можно применить при решении любых двумерных илн трехмерных задач для упругой сплошной среды. В частности, большой интерес представляют задачи о колебаниях оболочек. В противоположность предыдущему простому примеру на фиг. 17.4 приведены результаты использования сложных элементов толстых оболочек, описанных в гл. 14, прн решении задачи о колебаниях турбинной лопатки [11, 12]. Показанные на фиг. 17 5а и 17.56 элементы такого же типа используются для динамического расчета арочной плотины.
