34. Parekh С. J., Finite Element Solution System, Ph. D. Thesis. Univ. of Wa-les, Swansea. 1969 „ . , , , • ( i j
35. Taylor С , Parekh C. J., Peters J. C, France P., Numerical Analysis of Linear Free Surface Seepage Problems, Proc Am. Soc. Civ. Eng. (будет опубликовано) .. , „ . , .
36. Herbert R.. Rushton K. R., Groundwater Flow Studies by Resistance Networks, Geotechnique 16, 53-75 (1966). , . , .
37 Neuman S. P., Wilherspoon P A., Finite Element Method of Analyzing Steady Seepage with a Free Surface, Water Resources Res., 6, №. 3, 889
38 Nernan S. P., Witherspoon P. A., Variational Principles for Confined and Unconfined Flow of Groundwater, Water Resources Res., 6, № 5 (19™b)
39. Javandel 1., Witherspoon P. A., Application of Ihe Finite Element Method to Transient Flow in Porous Media, Soc Pet. Eng. J., 241-252 (Sept. 1968).
40 Hurty W Dynamic Analysis of Structural Systems Using Component Modes, JAIA.A 6 (JuVy.1968). .
41. Gallagher R. H., Mallett R. H., Efficient Solution Processes for Finite Element Analysis of Transient Heat Conduction, Bell Aerosystems, Buffalo. 1969
42 Zienkiewicz O. C, Parekh C. J., Wills H J., The Application of Finite Ele- ments to Heat Conduction Problems Involving Latent Heat (будет опубликовано).
17.1. Введение
В гл. 13 было показано, как задачи, в которых в направлении одной из координат свойства не изменяются, можно упростить н что, используя ортогональные функции, можно исключить эту координату. Такой подход давно применяется при решении задач, содержащих в качестве одной из координат время, и фактически лежит в основе линейной теории колебаний. В этой главе мы будем рассматривать уравнение типа (16.13), полученное в результате дискретизации в предыдущей главе;
[К] Щ + [С] {6} [М]{6} + {РЩ = 0.
(17.1)
Это уравнение применимо ко всем упоминавшимся классам задач, для чего достаточно одну илн несколько матриц приравнять нулю. Уравнение связанной задачи тоже может быть приведено к такому виду.
17.2. Динамическое уравнение при периодическом входном сигнале
Пусть член {F}, представляющий собой возмущающую силу, имеет вид
{F{t)} = (Fo}e, (17.2)
где [Fo] не зависит от времени. Далее Предположим, что решение {6} существует и имеет такую же форму:
{6(0} = (5ЛЛ (17.3)
После подстановки этих выражений в (17.1) получим
{[К] + а [С] + а[М]) (бЛ + {Fo) = 0. (17.4)
Решение уравнения (17.4) относительно (бо} дает возможную форму реакции, если для {6} удовлетворяются начальные условия.
Если а •= мнимая величина, т. е. имеет вид
а = (0),
(17.5)
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ. КОЛЕБАНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
gal giat - cos ц (• gii,
И вещественная часть выражения (17.2) соответствует периодическому сигналу.
В общем случае {Fo} и (So} будем считать комплексными, тогда уравнение (17.4) можно рассматривать как совокупность двух уравнений, получающихся в результате приравнивания вещественных и мнимых частей.
Таким образом, если
[F„} = {Fo} + i{Fa},
{}={} + i{},
где все величины с одной и двумя черточками сверху вещественные, то, приравнивая вещественную и мнимую части (17.4), получаем систему двух уравнений, которую можно записать в матричном виде:
(17.7а) (17.76)
[К]-ч>ЧМ] -со [С] L -ш[С1 lK]-<u4M]i
6,J If,
Уравнения (17.7) образуют систему, в которую входят только вещественные величины. В результате решения этой системы можно определить реакцию на любой периодический сигнал. Эта система уже не является полсЗжительно определенной, хотя она по-прежнему симметрична.
При периодическом сигнале решение после начального переходного периода не чувствительно к начальным условиям и поэтому найденное приближенное решение будет характеризовать устайовившееся поведение. Это справедливо как для задач о динамическом поведении конструкций, так и для задач теплопроводности, при решении которых надо принять
[М] = 0.
17.3. Собственные частоты
Если матрица [С] равна нулю, т. е. рассматривается динамическая задача без демпфирования, и если внешних возмущений {F} нет, то уравнение (17.1) принимает вид
[/C](6} + [yW]-g-{6}=0. (17.8)
Это уравнение имеет вещественное периодическое решение {6} = {бо} cos ot,
если выполняется условие
([]-ш[Лl])(бo
= 0.
(17.9)
Последнее равенство возможно только при некоторых значениях ш, при которых определитель заключенной в скобки матрицы обращается в нуль. Поскольку этот определитель имеет порядок Л (при размерности матрицы иХ"), в общем случае существует п вещественных корней ш. Они определяют собственные угловые частоты системы, а задача их нахождения представляет собой типичную задачу о собственных значениях [1]
det[iC]-a4M] = 0. (17.10)
В динамических задачах о колебаниях п корней этого уравнения вещественные.
Каждая частота, при которой выполняется условие (17.9), определяет вектор {So}n, величина компонент которого произвольна, а их отношения принимают заданные значения. Такие векторы называются модами системы.
На практике удобно вводить масштаб для этих векторов так, чтобы
{6j}[ [Af] (бо); = / (единичная матрица). (17-11)
Масштабированные таким образом векторы называются нормированными модами (собственными функциями) системы.
Еще одно важное свойство мод состоит в том, что для любых двух различных частот ( ф j
(бо}[[М] {б„}; = 0.
(17.12)
Это свойство называется свойством ортогональности мод [1]. Интересно отметить, что матрица ([Л] - <D[Af]) появляется и при решении задач о поведении систем при вынужденных колебаниях [уравнения (17.7)]. Как известно, при приближении величины (О к собственной частоте реакция увеличивается и возникает явление резонанса.
17.4. Решение задачи о собственных значениях
17.4.1. Общие замечания
При нахождении собственных значений редко прибегают к записи определителя (17.10) в виде полинома а, как праиило, используют другие методы. Такие методы описаны в специальных учебниках [1, 2], и сейчас многие библиотеки стандартных программ содержат соответствующие програ.ммы.
В большинстве случаев рассматривается частная задача о собственных значениях
(17.13)
где [Я] -симметричная положительно определенная матрица. Уравнение (17.9) после обращения матрицы [К\ и введения обозначения Я = можно записать в виде
(17.14)
однако симметрии н пбуцрл г,1туияр нрт
Если записать матрицу [К\в виде
[к\=тц и [/ci-=w-[L]-.
где [L] - матрица с нулевыми коэффициентами над главной диагональю, то после умножения (17.14) на [LY будем иметь
Полагая
[Lf{6o} = W. (17.15)
окончательно получим уравнение
[н]{х) = Х{х}, (17.16)
которое совпадает с (17.13), так как матрица [Я] теперь симметрична и имеет вид
(17.17)
[H] = [Lr[M\[Lf-\
После определения Л (всех или только нескольких наибольших значений, которые соответствуют основным тонам) находятся моды {X}, а затем с помощью (17.15) и моды {бо.
17.4.2. Свободные колебания
В статических задачах всегда вводится необходимое число условий закрепления для обеспечения возможности получения обращения или, что то же самое, единственности решения
уравнений статики (см. гл. 1). Когда такие условия отсутствуют, как, например, при полете ракеты, произвольное задание минимального необходимого числа условий закрепления позволяет получить решение статической задачи, причем эти условия не влияют на величины напряжений. В динамических задачах задание таких условий недопустимо и часто приходится сталкиваться с задачей о свободных колебаниях, в которой матрица [К\ сингулярна и поэтому не имеет обратной.
Использование простого искусственного приема позволяет сделать возможным применение к такой задаче общих методов,
описанных в предыдущем разделе. Уравнение (17.9) записы-вается в виде
[([К] + а [М]) - ((0 + а) (уИЦ {б,} = О,
(17.18)
где а - произвольная постоянная того же порядка, что и искомая величина а. Новая матрица {{К\-\-а{М\) может быть обращена, и, следовательно, обычным способом можно найти (ш + а). Этот простой, но эффективный путь преодоления существенных трудностей предложен вперв.ые Коксом [За].
17.4.3. Экономичные методы определения собственных значений
Какой бы метод ни использовался для определения собственных значений и собственных функций системы, необходимо проделать на порядок больше вычислений, чем при решении соответствующей статической задачи. К счастью, собственные значения можно достаточно точно определить при меньшем, чем в случае статической задачи, числе степеней свободы.
Если при решении статической задачи используется достаточно мелкое разбиение, то можно сократить число степенен свободы й сосредоточить коэффициенты, учитывающие влияние массы н демпфирования, в меньшем числе узловых параметров. Этот способ предложен Айронсом [4, 5] и несколько позднее Гайяном [6]. От читателя, по-видимому, не ускользнет его сходство с описанным в гл. 7 способом прстроения сложных элементов.
Пусть все степени свободы {5} разделены на две части
{б}.
(17.19)
Предположим, что перемещения S однозначно выражаются через перемещения б. В соответствии с этим последние будем называть главными, а первые - вспомогательными переменными. Таким образом,
{S} = [L]{6} (17.20)
{б} =
(17.21)
где [L] - матрица, характеризующая связь между этими перемещениями.
