Суммирование производитси по всем элементам, как и в задачах строительной механики и расчета сетей, рассмотренных в гл. 1 и 2.
3.2. Критерии сходимости
Для того чтобы уменьшение размеров элементов приводило к сходимости, функции, входящие в выражение (3.1), должны удовлетворять определенным требованиям полноты.
Во-первых, при уменьшении размеров элемента функции / и g в интеграле (3.1) должны оставаться однозначными и хорошо отражать физическую сущность задачи. Таким образом, необходимо удовлетворить следующему критерию;
Критерий L Функции формы элемента [N] должны быть таковы, чтобы при соответствующем выборе {Ф} и стремлении размеров элемента к нулю можно было получить любые постоянные значения {ф] или ее производных, входящих в функционал Х-
Во-вторых, должно оставаться справедливым суммирование (3.4) и, если не добавлены поверхностные интегралы по границе между элементами [7], мы должны быть уверены, что величины, подобные fug, остаются на них ограниченными. Это возможно, если производные наивысшего порядка от <j>, входящие в выражения для функций ! w g, конечны. Таким образом, можно сформулировать второй критерий.
Критерий 2. Функции формы элемента [N] должны быть выбраны так, чтобы {ф] и ее производные, на порядок более низкие, чем производные, входящие в выражения для fag, были непрерывны на границе между элементами.
Этот критерий несложно объяснить, если представить себе что элементы разделяются между собой очень тонким слое.ч, который должен быть учтен в определяющих величину х интегралах и в котором происходит плавный переход между значениями неизвестных функций в смежных элементах. Если в пределе при стремлении толщины этого переходного слоя к нулю его вклад в х исчезает, то равенство (3.4) справедливо.
На фиг. 3.1 показана такая воображаемая переходная зона между двумя элементами. Представим себе, что скалярная функция ф определена так, что на границе раздела между элементами ее значения, полученные для каждого из элементов, равны. На фиг. 3.1, а приведен график функции, угол наклона которой принимает в переходной зоне конечное значение, хотя и претерпевает разрыв (фиг. 3.1,6). Вторая производная в этой Зоне имеет очень большое значение (фиг. 3.1, в) и стремится к бесконечности при уменьшении ширины зоны.
Следовательно, если в выражение для х входит только первая производная, то, для того чтобы гарантировать отсутствие вклада в х от переходной зоны, достаточно обеспечить непрерывность только функции ф. Однако если в функционал входит вторая производная, то справедливость равенства (3.4) не может быть гарантирована, поскольку (из-за умножения бесконечной величины на нулевую площадь) величина вклада в энергию этой зоны становится неопределенной.
н--
Стремится к-оа
Фиг 3 1 Межэлементная зона, в которой вторая производная непрерывной фукции Ф при Дх--0 становится неограниченной.
Эти два критерия являются обобщением более частных критериев разд. 2.5.
Здесь под сходимостью мы понимаем следующее; при бесконечном уменьшении размеров элементов ошибки в определении величины X стремятся к нулю. Это иногда позволяет сказать, что решение, полученное при одном разбиении, заведомо лучше решения, полученного при другом. Очевидно, что в смысле определения величины х [формула (3.2)] это утверждение справедливо, если функция формы первого типа разбиения включает все функции формы второго типа разбиения. Именно такой случай возникает, когда новое разбиение получается последующим делением более крупных элементов. Сходимость по 1 при этом будет монотонной. Это обстоятельство впервые было установлено Мелошем в 1963 г. [8].
3.3. Переменные, не связанные с узлами
Важно напомнить читателю, что при определении функции формы [равенство (3.2)] указывалось, что {Ф} содержит либо узловые значения неизвестных функций, либо некоторые параметры, характеризующие этот элемент.
Для обеспечения непрерывности функции между элементами в соответствии с требованием критерия 2 (разд. 3.2) и описания физической сущности задачи обычно рассматриваются значения величин в узловых точках. Однако всегда можно ввести дополнительные функции, принимающие нулевые значения на границах элемента и не вызывающие нарущения непрерывности, и умножить их на некоторые параметры, по которым будет минимизироваться функционал. Введение таких переменных, не связанных с узлами, может увеличить точность и иногда оказывается полезным [9].
Поскольку в общем случае эти параметры связаны только с одним элементом, минимизация по ним может быть выполнена перед составлением ансамб.1я, а сами параметры исключаются из матриц элемента.
Частным случаем неузловой переменной является хорошо известный множитель Лагранжа [3].
Он вводится в том случае, когда на функцию ф наложено дополнительное условие, не вытекающее ни из краевых условий, ни из ограничений на функции формы. Пусть дополнительное условие имеет вид
G(W) = 0. (3.10)
В эт0.м случае для решения задачи требуется минимизировать) величину
Х = Х+Я0, (3.11)
где А, -типичный дополнительный параметр. Если наложено несколько таких условий, то минимизируется величина
(3.12)
Теперь дополнительными параметрами задачи являются величины которые опять можно связать с элементами или границами между элементами. Примеры использования таких множителей Лагранжа будут приведены" ниже.
) С Доказательством этого положения можно ознакомиться в книгах по вариационному исчислению. Очевидно, что д-/дХ = О, и, следовательно, ограничение является условием минимизации. В точке экстремума х* = X. так как G == О (физический смысл X становится ясным из соотношения \=di/dG).
Интересно рассмотреть случай, когда функциоиал (3.1) представляет собой квадратичную форму и для ряда линейных ограничений на функцию Ф используются множители Лагранжа.
В общем случае можно выразить х через величины узловых параметров в виде
х={ФГ[] {Ф} + {/}ЧФ},
(3.13)
где [К] - симметричная матрица.
Вместо (3.10) линейные ограничения можно записать в матричной форме:
[О]{Ф}=0, (3.14)
где [G] -постоянная матрица. Записывая множители Лагранжа в виде вектора {%] размерности, равной числу столбцов матрицы [G] (т. е. числу ограничений), имеем
X = Y {Ф} [К] {Ф} + {FY {Ф} + ([G] {Ф}) {>.}. (3.15)
Составляя систему уравнений, аналогичную (3.6), но уже для двух множеств неизвестных, получаем
тщ \[к\ [GY(Щ . rwi
"L[G] О JlU} ,
д{Х}
= 0. (3.16)
Здесь нужно Отметить два обстоятельства. Во-первых, система уравнений остается симметричной - факт, облегчающий применение обычных методов решения систем линейных алгебраических уравнений (гл. 20).- Во-вторых, на диагонали матрицы появляются нули, что иногда затрудняет получение решения.
В настоящей книге множители Лагранжа используются редко, исключение составляют случаи, когда приходится вводить некоторые ограничения. Типичным при.мером этого может служить ситуация, когда прн при.менении метода конечных элементов нарушаются условия непрерывности. В результате введения дополнительных условий в виде ограничений на параметры получается корректное решение. Однако в связи с тем, что такие ограничения приводят к увеличению общего числа неизвестных, появляются дополнительные трудности.
3.4. Другие подходы к методу конечных элементов
Несмотря на то что приближенная минимизация функционала-самый распространенный способ подхода к методу конечных элементов, это никоим образом не означает, что такой
подход является единственно возможным. Например, в первых работах по строительной механике строились чисто физические модели, и, хотя приходилось делать некоторые математические оговорки, касающиеся обоснования и сходимости использованных методов, зачастую получались неплохие инженерные решении.
Существуют и другие возможности, позволяющие математически получить основные соотношении метода конечных элементов непосредственно из дифференциальных уравнений задачи. Они будут здесь кратко описаны. Возможные преимущества таких методов состоят в том, что:
а) исчезает необходимость искать функциональный эквивалент известным дифференциальным уравнениям;
б) эти методы могут быть распространены на задачи, для которых функционал либо вообще не существует, либо прка еще не получен [10].
Рассмотрим задачу приближенного решения системы дифференциальных уравнений, которым должна удовлетворять неизвестная функция {ф} в области V. Запишем основное уравнение в виде
Л(Ш) = 0, (3.17)
а граничное условие на границе S как
С({}) = 0. (3.18)
Если пробная функция, удовлетворяющая граничным условиям, записана в общей форме
{ф}а=[тт. (3.19)
где, как и прежде, [N] является функцией координат, а {Ф} - система п параметров, то в общем случае
А{Ш = ЯФ(- (3.20)
Наилучшим решением будет то, которое дает во всех точках области V наименьшую невязку R [1].
Очевидно, это решение можно получить, использовав то обстоятельство, что если невязка R тождественно равна нулю всюду в области, то
\WRdV=Q, (3.21)
где IP-любая функция координат. Если число неизвестных параметров {Ф} равно п, то, выбрав п линейно независимых функций Wi, запишем соответствующую систему уравнений
{WiRdV =\WiA(lN]{(I>})dV = 0, (3.22)
Из которой может быть найдена функция {Ф}. Этот процесс называется методом взвешенных невязок, а Wi - весовой функцией. Выбор различных весовых функций приводит к различным классическим методам.
Коллокация в точке. В этом случае полагается, что Wi=l в некоторой точке i и равна нулю во всех остальных. При этом фактически основное дифференциальное уравнение удовлетворяется в п отдельных точках.
Коллокация в подобласти. В этом методе считается, что Wi= I в некоторой подобласти и Wi - O в остальной части области. Это эквивалентно тому, что интеграл обращается в нуль в некоторых подобластих, число которых достаточно для того, чтобы получить необходимое число уравнений.
Метод Галеркина. В этом случае №< - Ni, т. е, в качестве весовой функции выбирается функция формы, с помощью которой аппроксимируется решение. Этот метод обычно приводит к наилучшим результатам.
При использовании в любом из упомянутых методов соотношения (3.19), определяющего принятую аппроксимацию, можно выявить основные особенности метода конечных элементов.
Во-первых, результирующая система уравнений будет иметь ленточный вид, так как влияние каждого параметра распространяется только на элементы, примыкающие к рассматриваемой узловой точке.
Во-вторых (в предположении, что, как и ранее, границы между элементами не дают, никакого вклада), интегралы вы-чйс;1яются для каждого элемента независимо, а затем полученные результаты суммируются.
Очевидно, Что правила получения коэффициентов для ансамбли будут такими же, как и в задачах строительной механики, если оператор А линеен [см. уравнение (1.13)].
Здесь следует отметить один недостаток метода взвешенных невязок, В STOM методе дифференциальный оператор А содержит производные более высоких порядков, чем вариационный функционал Х- Таким образом, чтобы избежать вкладов от межэлементных зон (см. разд. 3.2), необходимо обеспечить выполнение условий непрерывности функции формы более высокого порядка. Это обстоятельство имеет важное значение, так как оно сильно ограничивает выбор функции формы и тем самым может вызвать непреодолимые трудности).
) Ниже будет показано, как сужается выбор функций, обеспечивающих непрерывность переменных, если дополнительно задается условие непрерывности угла наклона. В большинстве случаев можно подобрать функцию, обеспечивающую непрерывность только вторых производных.
