Трехмерная задача теплопроводности. Одна восьмая часть эллипсоида вращения грубо аппроксимируется тремя квадратичными изопараметрическимн элементами. На фиг. 16.5 показаны эти элементы и изменение температуры в центре эллипсоида,
Фиг. 16.5. Изменение температуры во времени в вытянутом эллипсоиде вращения при дс = = г = о (Д/ = 0,025 с). - аналитическое решение; Д решение методом конечных злементов, 1,111=2, oLi/ft=oo.
полученное аналитически и методом конечных элементов. Наблюдается хорошее совпадение результатов.
16.6. Различные нестационарные задачи. Фильтрация со свободной поверхностью
Специальный класс нестационарных задач образуют задачи о течении грунтовых вод, в которых не учитывается сжимаемость жидкости, но происходит непрерывное изменение ее свободной поверхности. Определяющее уравнение таких задач является стационарным [уравнение (15.26)].
Свободная поверхность фильтрующейся жидкости есть поверхность нулевого давления (см. гл. 15), но она не составлена из линий тока в неустановившемся течении. Если решение задано в любой момент времени прн известном положении свобод-
ной поверхности, то может быть найдена нормальная составляющая Vn скорости фильтрации для этой свободной поверхности. Когда жидкость покидает поры, нормальная составляющая у„ скорости движения свободной поверхности может быть определена как
(16.57)
Для следующего интервала времени может быть установлено новое положение свободной поверхности и произведено повторное вычисление на основе шаговой схемы решения.
Очевидно, что сетка конечных элементов должна вьтбираться так, чтобы она соответствовала новому положению свободной поверхности на каждом шаге вычислений. Здесь особенно полезны изопараметрические криволинейные конечные элементы,
Фиг. 16.6 Фильтрационный поток прн наличии свободной поверхности. Для каждого момента времени автоматически устаиавливается сетка элементов и на.\одится скорость свободной поверхности.
30,48
Фиг 16.7.
1000
Фиг. 16.7 (продолжение), б-изменение во времени свободной поверхности в продольной илоскоста симметрии йри быстром спуске жидкости. - аналоговое решение; о решение методом конечных элементов.
которые были использованы для решения двумерных и трехмерных задач [34, 35].
На фиг. 16,6 и 16.7 иллюстрируется применение изложенного метода к простому примеру дренажа через две симметрично выполненные траншеи и проводится сравнение с аналоговым решением этой задачи [36]. Подобное решение широко применяется на практике и позволяет получить количественные оценки в таких задачах, как быстрый спуск жидкости и т. д. Другие попытки рассмотрения нестационарной задачи этого типа перечисляются в работах [37-39].
16.7. Заключительные замечания
В настоящей главе были кратко рассмотрены некоторые типы нестационарных задач и дано изложение основных методов их решения. Подобным образом могут быть поставлены и решены многочисленные задачи, имеющие важное практическое значение.
Решения, полученные методом конечных элементов, обладают некоторыми преимуществами по сравнению с соответствующими решениями, полученными конечно-разностньши методами. Однако остаются трудности, связанные с устойчивостью таких решений, хотя неявная схема рекуррентных зависимостей, полученных в разд. 16.3, обычно является достаточно надежной.
При решении задач с помощью рекуррентного соотношения, типичная форма которого задана уравнением (16.50), появляется
необходимость вычисления матриц большого порядка на каждом шаге по времени. Если шаги по времени одинаковые и матрицы не зависят от времени, то на каждом шаге вычисления применяются одни и те же матрицы. В результате использования частичного обращения время, необходимое для вычисления на последующих шагах, может быть значительно уменьшено по сравнению с временем, затраченным на первом шаге [6].
Дальнейшую экономию времени решения можно получить, уменьшая число пространственных переменных, используя эффективный метод, подобный описанному в гл. 17 (подразд. 7.4.3), или применяя анализ Хэрти [40, 41].
К сожалению, это не относится к случаю существенно нелинейных задач, таких,-как задача о свободной поверхности (разд. 16.6) и другие задачи подобного характера. В гл. 18 будет рассмотрено несколько таких нелинейных задач. Специальная задача, относящаяся к этой группе задач, решена недавно в работе [42], где рассматривается уравнение нестационарной теплопроводности с учетом фазового превращения (затвердевания). Подробное обсуждение этой задачи и других задач подобного рода выходит за рамки этой книги.
2. Carslow H. S., Jaeger J. C, Conduction of Heat in Solids, 2nd ed.. Clarendon Press, 1959; есть русский перевод: Карслоу Г., Егер Д., Теплопроводность твердых тел, изд-во «Наука», 1964.
3. Visser W., А FiniteElement Method for the Determination of Non Stationary Temperature Distribution and Thermal Deformation, Proc. Conf. on Matrix Meth. in Struct. Mech., Air Force Inst, of Technology, Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1965.
4. Zienkiewicz O. C, Cheung Y. K., The Finite Element Method in Structural and Continuum Mechanics, 1st ed., McGraw-Hill, 1967.
5. Wilson E. L, Nickell R. E., Application of Finite Element Method to Heat Conduction Analysis. Nuclear Eng. and Design., 4, 1-11 (1966).
6. Zienkiewicz O. C, Parekh C. J., Transient Field Problems -Two and Three Dimensional Analysis by Isoparametric Finite Elements, Int. J. Num. Metti. in Eng.. 2, 61-71 (1970).
7. Terzhagi K.. Peck R. В., Soil Mechanics in Engineering Practice, Wiley, 1948.
8. Todd D. K., Ground Water Hydrology, Wiley, 1959.
9. Arlett P. L, Bahrani A. K., Zienkiewicz O. C, Application of Finite Elements to the Solution of Helmholzs Equation, Proc. lEE, 115, 1762-1766 (1968).
10. Taylor C, Patil B. S.. Zienkiewicz O. C, Harbour Oscillation: a Numerical Treatment for Undamped Natural Modes, Proc. Inst. Civ. Eng., 43, 141- 156 (1969).
11. Zienkiewicz 0. C, Newton R. E., Coupled Vibrations in a Structure Submerged in a Compressible Fluid, Int. Symp. on Finite Element Techniques, Stuttgart, 1969.
12 Archer J. S., Consistent Mass Matrix for Distributed Systems, Proc. Amer.
Soc. Civ. Eng., 89, ST4, 161 (1963). 13- Leckie F. A., Lindberg G. M., The Effect of Lumped Parameters on Beam
Frequencies, The Aero. Quarterly, 14, 234 (1963).
14. Zienkiewicz O. C, Cheung Y. K., The Finite Element Method for Analysis of Elastic Isotropic and Orthotropic Slabs, Proc. Inst Civ. Eng., 28, 471 (1964).
15. Zienkiewicz O. C, Irons В., Nath В., Natural Frequencies of Complex, Free or Submerged Structures by the Finite Element Method, in Symposium on Vibration in Civil Engineering, London, April 1965 (Butterworth, 1966).
16. Dawe D. J., A Finite Element Approach to Plate Vibration Problems, J. Mech. Eng. Sci., 7, 28 (1965).
17. Guyan R. J., Distributed Mass Matrix for Plate Elements in Bending, JAIAA, 3, 567 (1965): есть русский перевод: Гайан, Матрица распределенной мае сы элемента пластины при изгибе, Ракетная техника и космонавтика, 3. №. 3 (1965).
18. Bazeley G, Р., Cheung Y. К, Irons В. М,, Zienkiewicz О. С, Traingulai Elements in Plate Bending - Conforming and Non-Conforming Solution, Proe, Conf. on Matrix Meth. in Struct. Mech., Air Force Inst, ol Technology, Wright Patterson A. F. B«se, Ohio, 1965
19. Anderson R. G., Irons B. M., Zienkiewicz O. C, Vibration and Stability of Plates Using Finite Elements, Int. J. Solids Struct., 4, 1031 - 1055, 1968.
20. Anderson R. G., The Application of the Non-Conforming Triangular Plate Bending Element to Plate Vibration Problems, M. Sc. Thesis, Univ. of Wales, Swansea, 1966.
21. Zienkiewicz O. C, Discussion of «Earthquake Behaviour of Reservoir-Dam Systems* by Chopra A. K., Proc. Amer. Soc. Civ. Eng., 95, ЕМЗ 801-803 (1969).
22. Zienkiewicz O. C, Newton R. E., Coupled Vibrations of a Structure Submerged in a Compressible Fluid, Proc. Int. Svmp. on Finite Element Techniques, Stuttgart, 1969.
23. Back P. A. A., Cassell A. C, Dungar R., Severn R. Т., The Seismic Study of a Double Curvature Dam., Proc. Inst. Civ. Eng., 43, 217-248 (1969).
24. Sandhu R. S., Wilson E. L., Finite Element Analysis of Seepage in Elastic Media, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 95, EM3, 641-651 (1969).
25 Serafim J. L., Ch. 3 in: Rock Mechanics and Eng. Practice, Stagg K. G.. Zienkiewicz O. C, eds., Wiley, 1968.
26. Crochet J., Naghdi P. M., On Constitutive Equations for Flow of Fluid Through an Elastic Solid, Int. J. Eng. Sci., 4, 383-401 (1966).
27. Biot M A., General Theory of Three Dimensional Consolidation, /. Appl. Phys., 12, 155-164 (1941).
28. Fried I,, Finite Element Analysis of Time Dependent Phenomena, Int. Report. Stuttgart Univ., 1969.
29. Gurtin M., Variational Principles for Linear Elastodynamics, Arch, for Rational Mech. and Analysis, 16, 34-50 (1969).
30. Washizu K., Variational Methods in Elasticitv and Plasticity, Pergamon Press, 1968.
31. Wilson E. L., Clough R. W., Dynamic Response by Step by Step Matrix Analysis, Symp. on Use of Computers in Civil Eng., Lisbon, Oct. 1962.
32. Chan S. P., Cox H. L., Benfield W. A.. Transient Analysis of Forced Vibrations ol Complex Structural-Mechanical Systems, /. Roy. Aero. Soc, 66, 457- 460 (1962).
33. Haji-Sheikh A., Sparrow E. M., Transient Heat Conduction in a Prolate Spheroidal Solid, Trans. ASME HT. 88, 331-333 (1966); есть русский перевод- Хаджи-Шейх, Спэрроу. Нестационарная теплопроводность в удлиненном сфероидальном теле. Труды Американского общества инженеров механиков, Серия С, Теплопередача, 88, К» 3, 1966,
