их первых производных по времени, заданные в начальный момент времени, однозначно определяют этн функции на определенном интервале времени.
Задачи такого класса, известные как «начальные» нлн «шаговые», могут быть решены с помошью подходящих рекуррентных соотношений [1]. В некоторых простых случаях такие рекуррентные соотношения приводят к точным решениям [3]. Эти случаи не будут рассматриваться в дальнейшем.
Рекуррентное соотношение может быть установлено различными способами. Например, может быть непосредственно использована разностная схема или применен метод Галеркина для минимизации невязки в пределах каждого интервала. Дру- той метод, который применяется чаще, обладает всеми достоинствами вариационных методов, предложенных Унлсоном и др. [5. 24].
Рекуррентное соотношение может быть записано для нескольких интервалов одновременно, что требует решения большего числа совместных уравнений, но приводит к повышенной точности и устойчивости.
Здесь удобно отдельно рассмотреть матричные уравнения, содержащие лишь первые производные по времени, и уравнения, имеющие производные второго порядка по времени.
16.5.1. Задачи, описываемые дифференциальными уравнениями первого порядка по времени
Типичной для этого класса является задача, определяемая уравнением (16.6) прн [G] = 0:
[]W-f[C]-W-f {f}=0. • (16.44)
Мы рассмотрим интервал О обозначая через {}о начальные значения прн t = 0.
В общем случае предположим, что в пределах этого интервала вектор {ф} интерполирован по его некоторым значениям:
{Ф)=ZNl{t) {фЬ,
(16.45)
где Ni{t)-соответствующие функции формы, непрерывные в пределах рассматриваемого интервала.
Например, если интерполяция линейная, то следует рассмотреть лишь начальное значение ф прн = О и значение при
== At {п = 1), т. е. в матричной форме
W} = [/Vo. yV,]{J°} . (16.46)
при No = iAi - t)IM, Ni=ilM. Производная по времени
L dt
Так как начальное значение {}о известно, то используется только одна весовая невязка. Интегрируя уравнение (16.44), умноженное на Ni, имеем
+ [С\
\дМ„
dN,-l
L di
df
Х{ф)
" + {f}rf; = 0; (16.48)
после подстановки (16.46) и (16.47) и последующего интегрирования получаем
[Я] (-[ {}о + т {!},)+Tt tl (- + {Ф}д +
+ Tpr\ {nidt = 0. (16.49)
Этот результат подобен тому, который был бы получен на основе обычной центральной конечной разности [1, 4, 8]. Однако вывод уравнения (16.49) является иным, и при этом возникают интересные возможности использования других интерполяционных функций.
Из уравнения (16.49) величина может быть найдена формально:"
{}. = - (т W + [С]/А) [Я] - [Сум) {ф}о +
+ -iiT[{ntdt . (16.50)
Это рекуррентное соотношение может быть использовано Для всех последукэщих интервалов времени (выбор в качестве начального значения ф величины {}о при t = О является в данном случае чисто условным).
Для другой рекуррентной схемы можно рассмотреть некоторый интервал времени, содержащий три точки (О, 2М), как
показано на фиг. 16.2. Поступая аналогично, мы вместо уравнения (16.46) получим
W = [iVo(0> N,(t), NAt)]\ \ (16.51)
с параболическими интерполяционными полиномами Лагранжа.
Продолжение этого примера приводит к двум весовым уравнениям минимизации невязки, подобным уравнению (16.48), причем {<p}i и (}2 определяются по заданным начальным значениям {}о. Эта процедура может продолжаться до бесконечности, причем с увеличением числа совместных уравнений точность решения повышается. Ясно, что более сложные временные элементы обеспечивают большую устойчивость решения и при этом могут быть использованы большие временные интервалы.
16.5.2. Задачи, описываемые дифференциальными уравнениями второго порядка по времени
Динамические задачи строительной механики и подобные задачи описываются уравнениями вида
Фнг. 16.2. Временные функции формы с разрывной первой производной.
[К] {6} + [С\{Ь) + [М] {6} -f {F) = 0.
(16.13)
Для решения этого уравнения, очевидно, необходимы два начальных условия. Обычно задаются значения {б}о и д1д1[Ь}ц в начальный момент времени, В соответствии с, вышеизложенным функции формы, описывающие изменение конструкции во времени, выбираются по значениям {6} и dldt{b} в различные моменты времени. В случае простейшей интерполяции учитываются лишь значения времени = Ои = Ди внутри интервала используются кубические полиномы Эрмита. Таким образом, имеем
{5} = [Яоо, Яю, Яо1, Яц]
{б}о
didt {5}о
{6}, dldt {6},
(16.52)
Яоо=1-3«2-1-253,
Яо, = 3s2 - 2s3,
H,,=(-s + )M и s = .
Эти полиномы Эрмита аналогичны приведенным в гл. 10 и 12; их графики представлены на фиг. 16.3.
Фиг. 16.3. Временные функции формы с разрывной второй производной.
Необходимое рекуррентное соотношение можно получить, если записать весовое уравнение минимизации невязки для
{6}о
+ [М]-щг)[Нт. Я,„, Яо„ Я„]
дШ {б}„ Kdldt {6},
{f}1rf = 0. (16.53)
После подстановки функций формы и интегрирования из равенства (16.53) будут получены уравнения для определения величин {S}i и dldt{b)\, выраженных через начальные значения. Окончательный вид рекуррентного соотношения:
/4,1 /4,2 .Л21 Л22.
\dldt (6}J
.В21 В22.
(16.54)
вывод этих выражений предоставляется читателю в качестве несложного упражнения.
Полученное рекуррентное соотношение не совпадает с конечно-разностным уравнением Уилсона и Клуха [31 или с его разновидностями, использованными Чэном и др. 32]. Оно было с успехом применено Фридом [28], хотя и выведено им другим способом.
Очевидно, что можно применить и более сложные конечные временные элементы с дополнительными степенями свободы.
J6.5.3. Связанные задачи
Эти задачи могут быть исследованы изложенным выше способом с использованием различных аппроксимирующих функций по времени в соответствующей форме. Подробно этот вопрос мы рассматривать не будем.
16.5.4. Некоторые примеры
Несколько простых примеров использования рекуррентных соотношений, рассмотренных в подразд. 16.5.1, взято из работы [6] для иллюстрации применения метода и подтверждения его устойчивости.
Нестационарное распределение температуры в лопасти ротора. Пример, приведенный на фиг. 16.4, иллюстрирует двумерную задачу, описываемую уравнением теплопроводности
k at
(16.55)
Граничное условие) излучения тепла на поверхности лопасти [уравнение (15.3)] записывается в виде
аг -а(г -Гд) дп k
(16.56)
) Обычно принято граничное условие (16 56) называть условием теплообмена, а условием излучения оно называется, если в правой части (16.56) вме-CJO разности температур берется разность их четвертых степеней. -/7я"л. ре.
а) I = 0,5 с
Фиг. 16.4. Распределение температур в охлаждаемой лопасти ротора, имеющей
нулевую начальную температуру (М = 0,01 с). Удельная теалоемкость c = l.U кал/Т "С. Плотность р=7,99 г/см Коэффициент тепло, псоводности *-0.05кал/см.с.«С. Температура газа около лопасти 1145 ?С. Коэффициент теплоотдачи а на "РУ«™*5"»ДР/"„°"д" ™,""" -" иэменяетси от 0,390 До
Номер отверстия Температура а
в отверстии, °С
1 545 0,0980
2 687 0,0871
где f„ температура окружающего газа, р - плотность, с - удельная теплоемкость, й - коэффициент теплопроводности и а - коэффициент теплоотдачи.
Для конечно-элементного представления лопасти были применены изопараметрические элементы третьего порядка. Распределения температур в различные моменты времени показаны пунктирными линиями.
