Здесь L,определяется по табл. 10.1 и А.= р/а6/6300.
Выражения для этих матриц здесь не приводятся; выполнение алгебраических преобразований предоставляются читателю).
При использовании таких элементов рекомендуются методы численного интегрирования.
Оболочки. Если определены матрицы масс для плоских и изгибных движений некоторого элемента, то может быть найдена матрица масс, отнесенная к общей координатной системе. Правила преобразований в этом случае, очевидно, точно такие же, как для сил. Основные этапы получения матрицы масс для каждого элемента в общих координатах и составление матрицы масс для-ансамбля аналогичны подобным операциям для матриц жесткости (см. гл. 11). Поэтому в принципе решение задач о колебаниях оболочек не представляет особых трудностей.
Матрицы демпфирования и другие. Приведенные выше примеры, возможно, помогли читателю закрепить некоторые общие идеи. Он легко заметит, что матрицы демпфирования, заданные уравнением (16.14), имеют точно такую же структуру, что и матрицы масс. Различные матрицы, введенные в подразд. 16.2.1 и определяемые равенствами (16.7) и (16.8), также имеют аналогичную форму. Таким образом, после незначительного видоизменения ко всем этим задачам в равной мере применимы результаты, относящиеся к. плоскому треугольному элементу, и отпадает необходимость в повторном вычислении.
16.3. Связанные задачи
Для задач обоих типов, рассмотренных в преДыДуЩем раз деле, получены матричные дифференциальные уравнения одина-•- f
) Интегралы в явном виде приведены в работе [20].
ковой формы [формулы (16.6) и (16.13)]. Аналогично могут быть получены уравнения для более сложных задач. Иногда в задачах связанного типа появляются две самостоятельные системы уравнений. Мы обсудим два таких примера, представляющих значи тельный практический интерес.
16.3.1. Связанное движение упругой конструкции в жидкой среде [21, 22]
Дифференциальное уравнение, описывающее распределение давления р при малых колебаниях сжимаемой жидкости, имеет вид
где с-скорость звука, а демпфирующие члены (вязкости) опущены.
На границе задается или р или величина
др дп
-p(t/«),
(16.24)
если граница непроницаема и движется. Здесь Un есть нормальная составляющая перемещения. После разбиения жидкой об" ласти на конечные элементы получается уравнение, аналогичное уравнению (16.6):
W]{p} + [G]{p) + {P}fO, (16.25)
Б котором матрицы [Я] и [G] находятся обычным способом. Матрица {FI не содержит вкладов интегрирования по объему, а обусловлена поверхностными интегралами, соответствующими описанным выше движениям [см. уравнение (15.27)]).
Движение границы (поверхности раздела) обусловлено перемещением конструкции. Если дискретизируется сама конструкция, то можно записать
U.„lN]{b}, (16.26)
где [Щ определяется соответствующими функциями формы, а {6} является вектором узловых перемещений. Согласно формуле (15.13), имеем
(16.27)
{/}f = [S]{6}
1) В более общем случае в уравнение (16.25) Может входить член, содержащий первую производную от р по времени. Например, если в уравнение движения жидкости входят члены, обуслов.тенные вязким трением, или граница не отражает падающие волны давления. Такая граница имеет важное значение, если область жидкости бесконечна, а прн расчете ее нужно ограничить [22].
[S]=5[iVfp[yV] dS.
(16.28)
Здесь [Л - функции формы, определяющие распределение давления, а S - поверхность раздела жидкости и конструкции (фиг. 16.1).
После дискретизации задачи строительной механики имеем
где содержатся обычные члены уравнения (16.13), но воздействия разделены на заданные внещние силы [R} и силы {f)s, обусловленные, давлением жидкости на поверхности раздела. На основании принципа виртуальных работ можно найти, что силы {f}s должны быт* заданы в виде
Жидкоспн, J
(16.30)
Фиг. 16.1. Поверхность раздела твердого тела и жидкости.
так как
- Р=т{р\.
Объединяя уравнения (16.25), (16.27), (16.29) и (16.30), окончательно получаем связанную систему матричных дифференциальных уравнений
т {р} + \G\ {Р) + [S] - J {6}=о.
т щ + [С] {6} -f т ж + 7 + =°
(16.31)
Которая описывает эту задачу.
Некоторые аспекты этой задачи обсуждаются в работах [21] и [22]. В частном случае для несжимаемой жидкости (с= оо) второй член первого уравнения становится равным нулю и это уравнение может быть решено непосредственно, что дает
\u\-\s\
(16.32).
Подставив это выражение во второе уравнение, получим обычное динамическое уравнение, в котором к матрице масс
добавлена матрица присоединенных масс -hsfm- [S].
(16.33)
Такая матрица присоединенных масс, впервые предложенная Зенкевичем с сотр. [4, 15], была введена в разд. 15.5. Сравнительно недавно подобная методик.а была использована прн определении собственных частот арочных плотин [23].
16.3 2 Упругое поведение пористого насыщенного материала [24]
Эта задача встречается в механике грунтов и во многих геотехнических проблемах.
В пористой упругой среде давление жидкости в порах вызывает объемные силы, определяемые матрицей
y\- . (16.34)
Они уже рассматривались в гл. 4. Подробнее эти вопросы изложены в работе [25].
Если упругая конструкция дискретизнруется конечными э.те-ментами, то объемные силы вызовут узловые силы
/ (д1дх-\ \
\[МГ1д1ду\[Щ dV
{р}=1Ц{р}, (16.35)
где [Л?] -функции формы, определяющие перемещения упругого тела, а [Л] - функции формы, характеризующие распределение давления ).
В результате для упругой среды мы имеем обычное уравнение дискретизированной задачи
[K]{6} + [L]{p) + {R} = 0, (16.36)
где [/С] -матрица жесткости, а {R} включает все заданные силы, кроме сил, обусловленных давлением в порах.
Переходя к рассмотрению жидкости, содержащейся в порах, следует записать соответствующее дифференциальное уравнение неразрывности. Оно уже встречалось в гл. 15 как типичное уравнение (15.1), но kx, ky, кг являются теперь коэффициентами про-
) Для простоты интегралы записываются по всей области, как гл. 1
ницаемости и Q представляет собой скорость, с которой происходит наполнение жидкости в единице объема. Для матрицы третьего порядка, связанной с компонентами перемещений, имеем
-Ш++)-Ц1М тт. (16.37)
I д/дг)
Из уравнения (15.1) с учетом (16.37) получаем
[W]{p}-f [S]-{6}=0, (16.38)
и так как сила Q определяется уравнением (15.13), то /. Г д/дх •) \
[NVQdV \[NVid/dy
К д/dz )
[N] dV
(16.39)
Уравнения (16.36) и (16.38) образуют связанную систему совместных матричных дифференциальных уравнений. Эти уравнения аналогичны системе (16.31), полученной для связанного динамического взаимодействия жидкости и конструкции. Если пренебречь сжимаемостью жидкости, то эти системы будут иметь одинаковую форму.
. Следует заметить, что из формул (16.35) и (16.39) формально следует, что
IS] = [LV. (16.40)
Использовав несколько иной подход, Санду и Уилсон [24] впервые днскретизировали эту задачу с помощью конечных элементов. Физические аспекты этой задачи обсуждаются в работах [26, 27].
Обычное уравнение консолидации, которое имеет форму (16.1) (без вторых производных по времени), является частным случаем более общей формулировки.
Выше предполагалось, что жидкость несжимаема. Если же в задаче учитывается и сжимаемость жидкости, то в уравнении (16.38) появляется дополнительный член вида
(16.41)
Такое обобщение позволяет рассмотреть нестационарные задачи частично насыщенных грунтов.
16.4. Другой способ учета времеииого эффекта
В предыдущем разделе различные задачи были сведены к матричным дифференциальным уравнениям относительно времени. Это осуществляется достаточно просто и не требует новых принципов. Однако возможны и другие подходы.
Во-первых, к дифференциальным уравнениям, описывающим задачу, может быть непосредственно применена процедура Галеркина (или другой весовой метод минимизации невязки), обсуждавшаяся в разд. 3.4. При описании неизвестной величины функциями формы, зависящими не только от пространственных координат, но и от времени, т. е.
ф=1М{х,у,г,1)]{Ф},
дискретизация задачи может быть произведена пространственными и временными конечными элементами [6, 28]. При этом задача становится четырехмерной, но в принципе численное решение может быть получено обычным методом после непосредственной дискретизации на произвольном интервале времени U<t< к.
Во втором подходе применяется вариационный принцип по пространственным переменным и времени. Вариационные методы, использующие свертку интегралов, описаны Гэртином [29] и успешно применены в работах [5, 24]. На основе этих методов могут быть также построены пространственные и временные конечные элементы.
В простых динамических задачах вариационный принцип непосредственно следует из принципа Лагранжа. Ищется стационарное значение интеграла
Х= \i-dt, (16.42)
в котором „
LU+W + T, (16.43)
где V -\- - сумма энергии деформации и потенциальной энергии, которая была уже введена в гл. 2, и Г - кинетическая энергия системы. Величина L называется функцией Лагранжа [30].
Несмотря на то что такие подходы обладают достаточной общностью, они не будут подробно рассматриваться.
Упрощенный вариант процедуры Галеркина в следующем разделе будет непосредственно использован для уравнений ди-скретизированной задачи.
16.5. Рекуррентные соотношения для решения задач Коши
В матричных дифференциальных уравнениях, полученных в предыдущих разделах, значения функций и, если необходимо,
