Записывая (16.3) в окончательной форме определяющих уравнений, получаем следующее матричное дифференциальное уравнение:
W] {ф} + [С] 4 {ф} + [G] {ф} + {F} = О, (16.6)
в котором все матрицы составляются по стандартному правилу из подматриц [hf и {F}" для каждого элемента, заданных соотнощениями (15.12) н (15.13), н
cf,= \NinNidV. gt,= NtpNidV.
(16.7) (16.8)
Как видно нз приведенных выше соотношений, этн матрицы симметричны.
Граничные условия задаются в каждый момент времени, так же как в предыдущей главе.
Физических задач, описываемых уравнением (16.1), настолько много, что подробное нх обсуждение невозможно в рамках этой книги. Здесь будет приведено только несколько типичных примеров.
Прн р = 0 уравнение (16.1) является обычным уравнением нестационарной теплопроводности [1, 2], которое было рассмотрено некоторыми авторами с позиций конечных элементов [3-6]. Это же уравнение описывает н другие фнзнческне явления, например консолидацию грунта, связанную с разновидностями нестационарной фильтрации [8].
Прн [1 = 0 уравнение (16.1) превращается в известное волновое уравнение, описывающее обширную область физических явлений. Электромагнитные волны [9], поверхностные волны в жидкости [10] н волны расширения - сжатия [И] представляют собой лишь несколько явлений, к которым был применен метод конечных элементов.
При р =7 О и ц =7 О уравнение (16.1), будучи волновым уравнением с демпфированием, обладает широкой областью прнме-
нимостн и имеет важное значение для некоторых волновых явлений в механике жидкости и газа.
16.2.2. Динамическое поведение упругих конструкций с линейным демпфированием)
В предыдущем разделе была рассмотрена чисто математическая задача; рассуждение подобного рода может быть непосредственно применено к широкому классу задач о динамическом поведении упругих конструкций в точном соответствии с общими положениями гл. 2.
.Перемещения упругого тела во времени обусловлены налн-чнем двух систем дополнительных снл. Первую нз них составляют силы ннерцин, которые характеризуют ускорение (ЭЗД{/} и, согласно хорошо известному принципу Даламбера, могут быть заменены нх статическим эквивалентом
д is:-,
-p{f}-
(16.9)
(Здесь {/} является обобщенным перемещением, определенным в гл. 2.)
Эти силы совпадают по направлению с перемещениями {f\ н обычно отнесены к единице объема, ар - масса единицы объема.
Вторая система снл обусловлена сопротивлением движению (силы трення). Этн силы могут быть вызваны перемещением микроструктуры, сопротивлением воздуха н т. д.; в общем случае они связаны нелинейной зависимостью со скоростью перемещения d/dt{f].
Однако для простоты изложения будет учтено только линейное сопротивление вязкого типа, которое статически эквивалентно силе, отнесенной к единице объема
(16.10)
Здесь ц - некоторый коэффициент.
Эквивалентная статическая задача в. каждый момент времени дискретизнруется теперь в соответствии с изложенным в гл. 2, причем распределенная сила [р] заменяется эквивалентом
(16.11)
{p}-pii{f}-l{f}
) Для простоты мы рассмотрим только эффекты распределенных сил инерции и демпфирования; сосредоточенные массовые и демпфирующие силы получаются предельным переходом.
Узловые СИЛЫ элемента, заданные уравнением (2.11), принимают теперь вид
{Щ = - S {Р) dV = {Пр + \ [NV Р {f} dV + + \ lNfii{f}dV.
(16.12)
Здесь первый член совпадает с силой, обусловленной виешией распределенной нагрузкой (см. гл. 2), и поэтому не будет далее рассматриваться.
Подставив выражение (16.12) в общее уравнение равновесия, окончательно получим следующее матричное дифференциальное уравнение:
[1 {(>] + [С]-- {6} + [М] {6} + {F} = 0, (16.13)
где [/(] и {F} - матрицы жесткости и сил ансамбля, полученные обычным суммированием коэффициентов жесткости и сил элементов, вызванных заданными виещними нагрузками, начальными напряжениями и т. д. Новые матрицы [С] и [Щ составляются по обычному правилу из подматриц элементов, задаваемых в виде
[ciiY= \ lNtr\i[Ni]dV (16.14)
lmt!Y=\[NtYp[N,]dV. (16.15)
Матрица [m-ij] известна как матрица масс элемента, а матрица ансамбля [М]-как матрица масс системы.
Интересно заметить, что в ранних попытках исследования динамических задач такого типа масса элементов обычно предполагалась произвольно сконцентрированной в узлах, что приводило всегда к диагональной матрице, даже если не существовало сосредоточенных масс. Тот факт, что подобная процедура в действительности не нужна и приводит к плохой аппроксимации, был установлен в 1963 г. Арчером [12] и независимо от него Лекки и Линдбергом [13]. Общее выражение (16.15) получено Зенкевичем и Ченгом [14]. Для матрицы распределенных масс элемента был введен термин «согласованная матрица масс»; эта матрица является единственно допустимой матрицей, используемой при расчете,
Матрицы [Cij] и [С] по аналогии могут быть названы согла-сованньши матрицами демпфирования.
Следует отметить, что иногда для описания сил инерции нужно использовать функции формы, отличные от функций, задающих перемещения {f}. Например, в задачах о пластинах и балках (гл. 10) полное деформированное состояние было задано с помощью только поперечного перемещения w, так как были введены дополнительные гипотезы об изгибе пластины. Однако при учете сил инерции следует рассматривать не только силу инерции поперечного перемещения
(где р представляет собой массу, отнесенную к единице площади пластины), но н моменты сил инерции типа pt д
?2 Гдт\ 1(2 { дх )
И т. д.
12 dt
Теперь перемещение {f} необходимо записать в более общем виде:
{f} =
=1мтг,
где [Щ непосредственно следует из определения матрицы [N], которая задается только компонентой w. Соотиощения, подобные уравнению (16.14), по-прежнему справедливы, если только заменить [Л на Щ и подставить вместо р матрицу
О О
12
Однако подобный подход применяется редко.
16.2.3. Матрицы масс и демпфирования некоторых типичных элементов
Представить в явном виде все матрицы масс различных элементов, исследованных в предыдущих главах, практически невозможно, и здесь будут рассмотрены лишь некоторые частные примеры.
Плоское напряженное состояние и плоская деформация.
При использовании треугольных элементов, описанных в гл. 4, матрица [Л] определяется выражением
[Щ = [Ш,, IN,, Шп],
1 О О 1.
-2Д--
н т. д.,
где Д-площадь треугольника, Nl задаются соотношением (4.8).
Если толщина элемента t предполагается постоянной в пределах элемента, то из уравнения (16.15) для матрицы масс имеем
lmY==pt\\lNr[N]dxdy [mrA = pt[I]\NrN,dxdy.
С помощью соотношения (4.8) можно показать, что
при гфз,
\\mNsdxdy
Таким образом, при получаем матрицу масс
12 I
-ц-Д при r - s. ptA = W
(16.16) (16.17)
(16.18)
I Mi » 0 41° i» I
I «14 «14 « » 41» 4l« 4
4 «14 «14»
0 i« ijo i
(16.19)
Если бы масса элемента была равномерно- распределена по трем его узлам, то матрица масс имела бы вид
[тГ =
1 О О 1
0 0 0 0 0 0 0 0
о о I 1 о I о о
о о J о 1 I о о
о о [ о о М о
о о i о о i о 1
(16.20)
Очевидно, что эти результаты значительно отличаются друг от друга.
Изгиб пластины. Колебания пластин представляют собой весьма важную инженерную проблему. Такие важные явления, как колебания мостового настила, колебания лопаток турбин и др., приводят к задачам, трудно поддающимся аналитическому решению.
Важность использования согласованной матрицы масс вместо матрицы сосредоточенных масс подчеркивается в нескольких работах [15-19].
Если рассматривается, например, прямоугольный плоский элемент из разд. 10.4, то функции перемещений определяются соотношением (10.16)
(16.21)
в соответствии с обозначениями гл. 10.
Заметим, что [С] не зависит от координат, а [Р] определяется выражением
[Р] = [1, X, у, х\ ху, ж, ху, ху\ у. у, xtf].
Таким образом, для плоского элемента постоянной толщины t матрица масс (16.15) принимает вид
[mY = pt ([С]-) (\ \ [PV [Р\ dx dy) [С]-. (16.22)
Как и ранее, без особых затруднений вычисляется интеграл в круглых скобках, а полная матрица масс может быть получена матричным умножением. В табл. 16.1 приводится ее явное выражение, данное Дейвом [16].
Подобные матрицы масс могут быть получены и для треугольных элементов, рассмотренных в разд. 10.6 и далее, Явные
