нал квцдратичный, в результате мнннмнзацни получаются стандартные жесткостные соотношения.
Так как в него входят вторые производные, на границах между элементами требуется обеспечить непрерывность функции ф н ее нормальных производных. Узловые параметры удобно представить в внде
{60 =
(15.40)
а в качестве функций формы использовать те же самые функции, которые применялись в задачах гл. 10 об изгибе пластин.
Такой подход Аткннсон и др. [7] применили для исследования распределения скоростей в начальной области потока между параллельными плоскостями. Граничные условия и форма исследованной области показаны на фнг. 15.16, а, а на фиг. 15.16,6 представлены полученные профили скоростей, которые хорошо согласуются с результатами эксперимента. Ясно, что эта же программа пригодна н для исследования областей с границами любой другой формы.
Интересно отметить, что прн решении использовался описанный в гл. 10 простой несогласованный треугольный элемент, который не удовлетворяет полному критерию непрерывности производной.
Этими же авторами получен функционал для осесимметричных задач н рассмотрены аналогичные задачи о течении жидкости в цилиндрических трубопроводах. Более подробно этот метод описан в работе [25].
15.7. Аналогии
Интересно отметить, что, поскольку уравнение, которому удовлетворяет фулкцня тока [гл. 3, уравнение (3.4)], совпадает с уравнением изгиба пластин (работа [1] нз списка литературы к гл. 10), для решения задач о вязком течении можно было бы непосредственно использовать любую программу расчета изгиба пластин. Такие аналогии в технике имеют большое значение, так как онн часто дают возможность сделать полезные обобщения с минимальными затратами сил.
Другим примером подобной аналогии может служить плоская задача теории упругости. Если выразить напряжения через известную функцию напряжений Эри [26]:
Ох - gyi • О у - Qji > ху - дхду
(15.41)
и = 1
Y = 0
и = 211-/I Y = й
Фиг. 15.16. Скорость вязкого ламинарного течения между параллельными плоскостями. Решение методом конечных элементов [7]. а - геометрия; б - профили скоростей в различвых сечениях.
ТО МОЖНО показать, что эта функция будет удовлетворять бн-гармоинческому уравнению, описывающему вязкое течение жидкости и изгиб пластин. Поэтому с помощью программы расчета пластин можно решать плоские задачи теории упругости.
Если используется вариационный подход, то полученное решение, автоматически удовлетворяющее уравнениям равновесия, дает верхнюю границу энергии деформации, тогда как решение в перемещениях дает нижнюю границу.
С другой стороны, решение плоской задачи теории упругости в перемещениях можно использовать для получения верхних границ решений задач теории изгиба пластин. Эта возможность обнаружена и подробно олисана Вёбеке и Зенкевичем [8].
15.8. Заключительные замечания
В этой главе показаны лишь некоторые возможности использования метода конечных элементов в ряде задач физики и техники. Не вызывает сомнения, что в ближайшее время этот метод будет применен к решению и других задач.
ЛИТЕРАТУРА
И. 12.
13. 14.
15. 16. 17.
Zienkiewicz О. С, Cheung Y. К-, Finite Elements in the Solution of Field Problems, The Engineer, 507-510 (Sept. 1965).
Visser W., A Finiie Element Metliod for Ihe Determinalion of Non-Stationary Temperature Dislribution and Thermal Deformations, Proc. Conf. on Matrix Methods in Struct. JMech., Air Force Inst, of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1965.
Zienkiewicz O. C, Mayer P., Cheung Y. K., Solution of Anisotropic Seepage Problems by Finite Elements, Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 92, EMI 111- 120 (1966).
Zienkiewicz O. C, Arlett P. L., Bahrani A. K., Solution of Three Dimensional Field Problems by the Finiie Element Method, The Engineer, 27 (Oct 1967).
Herrmann L., Elastic Torsion Analysis of Irregular Shapes, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 91, EM 6, 11-19 (1965).
Winslow A. M., Numerical Solution of the Quasi-Linear Poisson Equation in a Non-Uniform Triangle Mesh. J. Computational Phusics, 1, 149-172 (1966).
Alkinson В., Brocklebank M. P., Card C. C. M., Smith J. M., Low Reynolds Number Developing Flows, AIChEJ, 15, 548-553 (1969). De Veubeke B. F., Zienkiewicz O. C, Strain Energy Bounds in Finite Element Analysis by Slab Analogy, 1. Strain An., 2, 267-271 (1967). Berg P. N., .Calculus of Variations, Ch. 16, in: Handbook of Eng. Mechanics, Flugge N., ed., McGraw-Hill, 1962.
De G. Allen D. N., Relaxation Methods, McGraw-Hill, 1955, p. 199. Ely J. F., Zienkiewicz O. C, Torsion of Compound Bars - a Relaxation Solution, Int. 1. Mech. Sci., 1, 356-365 (1960).
Zienkiewicz O. C, Nath В., Earthquake Hydrodynamic Pressures on Arch Dams-an Electric Analogue Solution, Proc. Inst. Civ. Eng., 25, 165-176 (1963).
Westergaard H. M., Waler Pressure on Dams During Earthquakes, Trans. Am. Soc. Civ. Eng.. 98, 418-433 (1933).
Martin H. C, Finite Element Analysis of Fluid Flows, Proc. 2nd Conf. on Matrix Methods in SIruct. Mech., Air Force Inst, of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1968.
Oden J. T. Samogyi D., Finite Element Applications in Fluid Dynamics, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 95, EM3 (1969).
Argyris J. H., Mareczek C, Scharpf D. W., Two and Three Dimensional Flow Using Finite Elements, /. Roy. Aero Soc, 73, 961-964 (1969). Doctors L. J., An Application of Finite Element Technique to Boundary Value Problems of Potential Fbw, Int. J. Num. Meth. Eng., 2, 243-252 (1970),
18. De Vrles G., Norrie D. H., Application of the Finite Element Technique to Potential Flow Problems, Rept. land 8., Dept. Mech. Eng. Univ. of Caagary, Alberta, Canada, 1969. , „ ,
19 Taylor R. L., Brown C. В., Darcy Flow Solutions with a Free Surface, Proc. Am. Soc Civ. Eng., 93, HY2, 25-33 (1967).
20. Gross W. A., Gas Film Lubrication, Wiley, 1962.
21. Tanesa D. V., Rao I. C, Student Project Report on Lubrication, Royal, Naval College, Dartmouth, 1966.
22. Reddi M. M., Finite Element Solution o! the Incompressible Lubrication Problem, Trans. Am. Soc. Mech. Eng.. 91, Series F, 524 (1969); есть русски!! перевод: Редди. Решение задачи о несжимаемой смазке методом конечных э.тементов Труды Американского общества инженеров-механиков, серия F, Проблемы трения и смазки, № 3, стр. 169 (1969).
23 Reddi М. М., Chu Т. У., Finiie Element Solulion of the Steady State Compressible Lubrication Problem, Trans. Am. Soc. Mech. Eng., 92, Series F, 495 (1970); есть русский перевод: Редди, Чу, О решении стационарных задач теории сжимаемой смазки методом конечных элементов. Труды Американского общества инженеров-механиков, серия F, Проблемы трения и смазки, № 3, стр. 124-132 (1970),
24 Argyris J Н Scharpf D. W„ The Incompressible Lubricalion Problem. Л Roy. Aero Soc, 73, 1044-1046 (1969).
25 Atkinson В., Card C. C. M., Irons B. M., Application of the Finite Element Method to Creeping Flow Problems, Trans. Inst. Chem. Engrs., 48, T276- T284 (1970).
26 Timoshenko S., Goodier J. N., Theory of Elasticity, 2nd ed., McGraw-Hill, 1951.
16.1. Введение
Во всех задачах, рассмотренных до сих пор в этой книге, предполагалось, что параметры не изменяются во времени. Распространение конечно-элементной концепции на задачи, параметры которых зависят от времени, не, представляет особых трудностей.
Область практических задач, в которых должна быть учтена зависимость от времени, достаточно обширна. Типичными примерами являются задачи нестационарной теплопроводности, распространеиня воли в жидкостях или газах и задачи динамического поведения конструкций. Несмотря на то что эти различные по характеру задачи обычно принято рассматривать раздельно, классифицируя их иногда по математической структуре как параболические или гиперболические [1], мы объединим их в один класс, чтобы показать тождественность постановки задач.
В первой части этой главы на основе простого обобщения методов, использованных ранее, мы запишем матричные дифференциальные уравнения, характеризующие указанные задачи, для различных физических ситуаций. При этом конечно-элементная дискретизация будет использована лишь для пространственных переменных. Далее будут рассмотрены различные методы решения, показывающие возможность непосредственного включения временного измерения в конечно-элементную дискретизацию.
16.2. Непосредственная дискретизация нестационарных задач
16.2.1. Квазигармоническое уравнение для нестационарных
задач
Во многих физических задачах квазигармоническое уравнение, подробно рассмотренное в предыдущей главе, содержит производные от неизвестной функции ф по времени. Для трех-
мерного случая мы имеем
(16.1)
Все коэффициенты этого уравнения, вообще говоря, являются заданными функциями времени:
K = kAt), Q = Q(t) и т, д.
В некоторый фиксированный момент времени производные от ф по времени и все коэффициенты могут рассматриваться как заданные функции координат. Для этого момента задача совершенно аналогична рассмотренной в предыдущей главе (разд. 15.2) при условии, что выражение в последней скобке уравнения (16.1) трактуется как величина Q уравнения (15.1).
Конечно-элементная дискретизация этого уравнения для пространственных переменных уже подробно обсуждалась, и при заданной для каждого элемента величине
= 1ЛГ(л;, у, гШУ
(16.2)
была получена обычная форма определяющего уравнения:
[H]W-f{F} = 0. (16.3)
Вклад каждого элемента в приведенные выше матрицы определяется соотношениями (15.12) и (15.13), которые здесь не приводятся, за исключением слагаемого «нагрузки», обусловленного величиной Q. Уравнение (15.13) дает
PlQNidV, или {Fy = -\Q[NfdV.
Заменяя теперь Q последним слагаемым в уравнении (16.1), получаем
{Fy-\iNY{Q-V-?)dV. (16.4)
Однако из уравнения (16.2) видно, что ф аппроксимируется с помощью узловых параметров {фу. Подстановка этой аппрокси-
