При решении задачи о колебаниях очень важно иметь такую матрицу влияния. Если стенка колеблется, то в общем случае ее ускорения неизвестны. Используя верхнюю часть матрицы [М] в соотношении (15.29), которую обозначим через [Mq], давления в точках 1-7 можно записать в виде
= [Мо]
«7
= [Мо] {б}.
(15.32)
= [А] [Mo]
«7
Этим давлениям соответствуют следующие узловые силы:
- [М,т, (15.33)
где [Л]-матрица, характеризующая нагрузки, а {б -матрица, определяющая ускорения узловых точек стенки. Это уравнение может быть добавлено к динамическим уравнениям движения стенки. Эта и родственные ей задачи будут подробно рассмотрены в гл. 16.
На фиг. 15.11 показаны результаты расчета аналогичной трехмерной задачи [4]. Использовались простые тетраэдральные элементы. Точность полученных результатов достаточно высока.
Задачи электростатики. На фиг. 15.12 приведено решение трехмерного уравнения Лапласа 4]. В данном случае оно моделирует электростатическое поле около изолятора. На фиг. 15.13 представлены результаты решения более сложной двумерной задачи о распределении магнитного поля [6].
Безвихревое течение жидкости со свободной поверхностььо [13-19]. Уравнение Лапласа, описывающее течение вязкой жидкости в задачах фильтрации, справедливо также для безвихревого течения жидкости за пределами пограничного слоя, обусловленного вязкостью. Приведенные ранее примеры применения метода можно использовать и для иллюстрации таких задач. Другие примеры рассмотрены в работе Мартина [14]. Заслуживают внимания задачи о течении жидкости с априори неизвестной свободной поверхностью.
Для этого класса задач типичны два примера - задача о струйном водосливе (фиг. 15.14, а) и задача о фильтрации через земляную плотину (фиг. 15.14,6). В обоих случаях свободная граница представляет собой линию тока; она априори неизвестна и должна быть определена таким образом, чтобы на ней удовлетворялось некоторое дополнительное условие. Если, на-
Непроницаемая поверссносшь
1 11
Непроницаемая поверхность
Типичный элемент объема
На этой noeegxHoc-ши зэдано у
ff =0
ардН
Фиг. 15.11. Давление на ускоряющейся поверхности перемычки в несжимаемом
потоке.
--решение, полученное методом конечных элементов;---решение, изйдснаое
с использованием электролитической ванны, и, -изЗыточиое давление; в-отиоснтелйяое ускорение; р -плотности.
Фиг. 15.12. Трехмерное распределение электростатического потенциала около фарфорового изолятора.
пример, вторая задача сформулирована через потенциал Н, то определяющим является уравнение (15.25).
Так как свободная граница представляет собой линию тока, то на ней должно выполняться условие
дН дп
= 0.
(15.34)
Кроме того, поскольку эта граница связана с атмосферой, давление иа ней должно быть равно нулю. Так как
(15.35)
где Y -удельный вес жидкости, /7 -давление и г/-расстояние от некоторого горизонтального уровня, на свободной поверхности должно выполняться условие
(15.36)
Фиг. 15.13. Поле магнита (по Внислоу [6]) -р = 0
-р = 0
Фиг. 15.14. Типичные задачи со свободной границей (линией тока, на которой давление равно нулю). »-струйный водослив; 6 -фильтрация через земляную длотии).
Решение задачи можно получить итерационным методом. Полагая свободную поверхность известной, решаем стационарную задачу. Далее производим проверку, удовлетворяется ли условие (15.36), и если нет, то из условия равенства Н только что найденному значению у находим новую поверхность. Несколько таких итераций показывают, что сходимость достаточно быстрая. Этот метод использовался Тэйлором и Брауном [19]. Другой возможный метод решения описан в гл-. 16.
Задачи теории смазки. Расчет вкладыша подшипника сводится к решению двумерной задачи, которая описывается уравнением Пуассона, В случае, когда плотность и вязкость смазочного вещества постоянны, должно быть решено уравнение Рейнольдса [20]
где А -толщина пленки, /7 - возникающее давление, ц - вязкость и I -скорость движения вкладыша в направлении х. На фнг. 15.15 показано распределение давления во вклады-
\ /uA/<-u/AlZ-""" "
h = 16мм 16мм
Фнг. 15,15, Вкладыш с уступом. Распределение давления. Линии уровней
ше ступенчатого подшипника [21]. В качестве краевого условия используется условие равенства давления нулю. Интересно заметить, что благодаря наличию уступа вкладыша при интегрировании правой части уравнения (15.37) появляется условно эквивалентная нагрузка, распределенная по лиции.
Ясно, что можно рассмотреть и более общие случаи задач о смазке с учетом вертикального движения вкладыша (уплотнение пленки) и сжимаемости. Этому вопросу посвящено много недавно опубликованных работ [22-24],
Число различных задач, относящихся к рассмотренному классу, настолько велико, что рассмотреть нх все практически невозможно.
15.6. Задачи, описываемые бигармоиическим уравнением. Вязкое течение
До сих пор прн решении квазигармонических задач минимизируемый функционал рассматривался как формальное математическое выражение, и не делалось никаких попыток определить его физический смысл. В частном случае вязкого течения жидкости в пористой среде нетрудно установить, что он представляет собой скорость диссипации энергии. Распределение скоростей, получаемое в результате решения, минимизирует эту диссипацию, как и следует ожидать из универсального принципа минимума действия. Для задач о фильтрации эта интерпретация была установлена Зенкевичем и др. [3]. Принцип минимума энергии диссипации известен в механике жидкости с конца прошлого века, и поэтому интересно рассмотреть его применение к решению задач о вязком течении.
В гл. 3 в качестве примера применения метода взвешенных невязок рассматривалось уравнение Навье - Стокса без инерционных членов. Это уравнение справедливо для медленного течения жидкости. Дифференциальное уравнение (3.48) было получено для двумерного течения. Это дифференциальное уравнение можно было бы получить непосредственно путем минимизации методом Эйлера функционала, представляющего собой скорость диссипации энергии.
1СЛН компоненты скорости в направлениях х v. у обозначить через и и f и выразить нх через функцию тока ф как
дФ ду •
дх
(15.38)
то легко показать, что при постоянном значении вязкости р. функционал будет иметь вид [7]
d4f „ дФ дЧ дх ду
dV. (15.39)
Его можно минимизировать точно так же, как это делалось ранее в этой и предыдущей главах, после представления функции 0 через узловые параметры элементов. Поскольку функцио-
