где ф - функция напряжений, G - модуль сдвига и 6 -угол закручивания на единицу длины стержня.
1ри решении методом конечных элементов внутренняя полость заменялась материалом с модулем G, на трн порядка меньшим модулей материалов стержня). Эти результаты хорошо согласуются с точным решением методом конечных разностей [И].
На фиг. 15.6 приведен пример расчета задачи о фильтрации жидкости через анизотропное пористое основание. Уравнение, описывающее эту задачу, имеет вид
l(-S-) + if) = 0. (15.25)
где kx и ky - коэффициенты проницаемости в направлении главных (наклонных к границе основания) осей. Результаты сравниваются с результатами точного решения, показанными пунктирными линиями. На этом примере особенно наглядно видна возможность использования элементов разных размеров.
15.5. Некоторые практические задачи
Анизотропная фильтрация. Первая задача связана с исследованием течения жидкости через сильно неоднородные анизотропные искривленные слои грунта. Основное уравнение опять имеет вид (15.25). Однако программу следует модифицировать с тем, чтобы получить возможность изменять направление главных осей х и у при переходе от элемента к элементу. Никаких трудностей при решении не встречается. Расчетная схема и некоторые результаты приведены нафиг. 15.7.
Осесимметричной тепловой поток. Уравнение для осесимметричного теплового потока можно записать в стандартной форме
l() + i(S = 0. (.5.26)
если отсутствует теплообразование. Здесь Т - температура, а fe-коэффициент теплопроводности. Координаты х и у заменены на координаты в радиальном и осевом направлениях гиг.
На фиг. 15.8 показано установившееся распределение температуры в сосуде высокого давления ядерного реактора [1] при равномерном нагреве изнутри.
Гидродинамическое давление иа движущейся поверхности. Если погруженная в жидкость поверхность движется с задан-
) Это было сделано, чтобы избежать трудностей, возникающих из-за многосвязиости области, н тем самым получить возможность использовать стандартную программу.
Водонепронииземая почва
Фиг. 15.7. Фильтрация под плотиной в сильно неоднородном н искривленном
основании.
ным ускорением и с малой амплитудой перемещения, то можно показать [12], что избыточное давление удовлетворяет уравнению Лапласа
V2p - 0.
На движущихся (или неподвижных) границах граничное условие типа «б» [см. (15.3)] принимает внд
-- = -ра., (15.27)
где р - плотность жидкости и а„ - нормальная компонента ускорения границы. На свободных поверхностях краевое условие записывается как
р = 0. (15.28)
Таким образом, совершенно ясно, что задача принадлежит к категории задач, уже рассмотренных в этой главе.
В качестве примера рассмотрим движение вертикальной стенки резервуара (фиг. 15.9) и найдем распределение давления на стенке и дне резервуара прн произвольном законе движения граничных точек 1-7. Область была разбита на 42 четырех-
Фнг. 15.8. Установившееся распределение температур в осесимметричном сосуде высокого давления.
стенч<а
3 4 5
Раз5иение на элементы Фиг. 15,9, Задачат) горизонтальном движении стеики в резервуаре.
угольных элемента. Для того чтобы результаты можно было применить для любых ускорений, решены семь задач. В каждой из них на части границы, примыкающей к рассматриваемой точке, задано единичное ускорение, что дает в точках 1-7 нагрузки pV2b, pi, .. •, р-, р/2/-. Давления в точках 1-56 при произвольном профиле ускорений можно представить в виде матрицы, зависящей от ускорений точек 1-7. Таким образом.
Pi Рн
Р35 Pi2
(Pse
= [М]
Г «Л
(15.29)
Матрица М имеет вид, показанный в табл. 15.1.
Таблица 15.1
0,7249
0,3685
0,2466
0,1963
0,1743
0,0840
0,3685
0,9715
0,5648
0,4210
0,3644
0,1744
0,2466
0.5648
1,1459
0,7329
0,5954
0,2804
0,1963
0,4210
0,7329
1,3203
0,9292
0,4210
0,1744
0,3644
0,5954
0,9292
1,5669
0,6489
0,1680
0,3488
0,5607
0,8420
1,2977
1,1459
0,1617
0,3332
0,5260
0,7548
1,0285
0,6429
0,1365
0,2754
0,4171
0,5573
0,6793
0,3710.
0,0879
0,1731
0,2519
0,3187
0,3657
0,1918
0,0431
0,0838
0,1195
0,1478
0,1661
0,0863
0,0186
0,0359
0,0150
0,0626
0,0699
0,0362
0,0078
0,0150
0,0213
0,0261
0,0291
0,0151
0,0069
0,0134
0,0190
0,0232
0,0259
0)134
(Z. = /6)
Следовательно, можно найти давление при любом распределении ускорений. Например, если ускорение а постоянно, то
давление можно вычислить, принимая
(15.30)
Распределение давления на стенке и дне резервуара показано на фиг. 15.10. Значения полученных давлений на стенке
измеияющбеея ускорение
Фиг. 15.10. Распределение давления на движущейся стенке и дне резервуара.
отличаются от хорошо известного точного решения Вестергаар-да не более чем на 1%.
Аналогично можно получить распределение давления при любом другом законе движения стенки. Например, если стенка шарнирно соединена с основанием и совершает колебания вокруг точки закрепления так, что ускорение верхней точки (точка 1) равно а, то
(15.31)
Распределение давления, полученное с помощью выражения (15.29), показано на фиг, 15.10,
