фициентов. Они могут скачкообразно изменяться от элемента к элементу илн даже принимать различные значения внутри элемента, причем это изменение должно учитываться в процессе интегрирования при вычислении матриц элемента.
Однако для анизотропного материала дифференциальное уравнение (15.1) справедливо только в том случае, если оси X, у п Z совпадают с главными направлениями анизотропии.
При решении задачи для слоистого материала может возникнуть ситуация, когда это условие не будет выполняться (фиг. 15.1). В таких случаях характеристики элемента следует записывать в локальных координатах д/, у и г, а вычислительная программа должна давать возможность осуществлять необходимые преобразования.
При этом возникает одно важное отлнчие от расчета конструкций. Поскольку такие матрицы элемента, как, например, [hy в (15.12), связывают скалярные величины, они не зависят от ориентации локальных осей. Поэтому для каждого элемента при желании можно использовать свою локальную систему, причем это не потребует матричных преобразований и не повлияет на стандартную процедуру составления ансамбля.
15.3.4. Двумерная задача
Нетрудно записать частный вид общего уравнения (15.8) для двумерных задач, если предположить, что ф не зависит от г. В этом случае уравнение принимает вид
а минимизируемый функционал
+ \{qф + YCф)dS. (15.19)
Получить все матрицы элемента довольно легко. Например, из (15.12) находятся элементы матрицы [hf:
,е (f, dNi dNi , , dNi dNi\. , /icnm
Обсуждать этот вопрос дальше, очевидно, нет необходимости. Однако, по-видимому, имеет смысл рассмотреть подробнее самый простой, но тем не менее очень полезный треугольный элемент (фиг. 15.2). Если принять
ai + biX + Ciy 2Д
как в соотношении (4.8) гл. 4, то получим матрицу жесткости в виде
bibi bib I btb„ -Симметрично J
CiCi CiCf CiC, CjCj CjC,
L Симметрично c„c„-
(15.21)
Также просто строятся и матрицы нагрузки; например, для Q читатель может получить очень простой (почти очевидный), результат
(15.22)
Я. О!
Фиг. 15.2. Разбиение двумерной области на треугольные элементьа.
Уравнение (15.8) можно записать в цилиндрических координатах и использовать для решения осесимметричных задач. В этом случае дифференциальное уравнение принимает вид
(vl) + i(V)+Q = 0. (15.23)
Соответствующим образом должен быть преобразован и функционал, но проще считать величины кгГ и kr модифицированными значениями коэффициентов теплопроводности и непосредственно использовать приведенные выше выражения. При этом интегрирование лучше всего производить численно, как в аналогичных задачах гл. 5.
15.4. Примеры. Оценка точности
Легко показать, что уравнения, полученные в результате объединения выраженных в явном внде жесткостей треугольных элементов для регулярных сеток (фиг. 15.3,о), совпадают с уравнениями, полученными известными конечно-разностными методами [10].- Очевидно, что и решения, полученные этими ме-
Фиг. 15.3. Образцы регулярного и нерегулярного разбиений.
Фиг. 15.4. Кручение вала прямоугольного сечеиня. Числа в скобках -более точное решение Саусвелла при использовании сетки 12X16 (Значения величины ♦/eei).
годами, будут одинаковыми и иметь одинаковую степень точности).
Если используется нерегулярная сетка, изображенная на фиг. 15.3,6, то различие между двумя подходами очевидно. Оно касается в основном вектора нагрузки {F}". При конечно-элементной аппроксимации значения узловых нагрузок несколько отличаются от нагрузок при конечно-разностной аппроксимации, но суммарные значения их одинаковы. Поэтому решения, полученные этими двумя методами, будут иметь только локальные отличия, а в среднем они будут одинаковы.
На фиг. 15.4 решение, полученное методом конечных элементов при нерегулярной сетке, сравнивается с решением конечно-разностных уравнений наименьшего порядка аппроксимации методом релаксации. Как и следовало ожидать, оба решения дают результаты одного порядка точности.
У читателя, вероятно, может возникнуть вопрос: зачем нужно было вводить другой метод, который, казалось бы, повторяет результаты известного и хорошо зарекомендовавшего себя метода? Причина кроется в том, что новый метод обладай рядом несомненных преимуществ. К ним относятся:
а) простота исследования неоднородных и анизотропных тел (в частности, когда направление анизотропии переменное);
б) возможность использования элементов различной формы и размеров для аппроксимации произвольных границ и для исследования областей сильного изменения неизвестных функций;
в) граничные условия для градиента (условия излучения) вводятся естественным образом и с большей точностью, чем в обычных конечно-разностных методах;
г) точность решения можно увеличивать за счет использования элементов более высоких порядков без усложнения граничных условий, чего нельзя добиться при использовании конечно-разностной аппроксимации более высокого порядка;
д) последнее, но очень важное при широком распространении ЭВМ преимущество состоит в том, что для составления ансамбля и решения систем уравнений можно использовать стандартные (предназначенные для расчета конструкций) программы.
Для демонстрации достижимой на практике точности приводятся два более сложных примера. Первый из них - это задача о чистом кручении неоднородного стержня (фиг. 15.5). Основное дифференциальное уравнение имеет вид
) В случае, когда на границе заданы аиачеиия неизвестной функции.
