Хотя в предыдущих главах подробно рассматривались в основном задачи для упругой сплощной среды, описанный общий метод можно применить к решению самых разнообразных физических задач. В гл. 3 уже упоминалось о некоторых таких задачах, здесь же будет подробно рассмотрен один из широких классов подобных задач.
Остановимся сначала на задачах, описываемых квазигармоническим уравнением общего вида, частными случаями которого являются известные уравнения Лапласа и Пуассона [1-6]. Круг физических задач, описываемых этими уравнениями, весьма широк. В инженерной практике чаще всего встречаются задачи, в которых рассматриваются:
теплопроводность;
фильтрация сквозь пористую среду;
безвихревое течение идеальной жидкости;
распределение электрического (или магнитного) потенциала;
кручение призматических стержней;
изгиб призматических балок и др.;
смазка опорных поверхностей.
Соотношения, приведенные в этой главе, в равной степени применимы ко всем указанным задачам, поэтому реальные физические величины будут использоваться редко. Рассматриваются как изотропные, так и анизотропные тела.
В первой части главы обсуждаются двумерные задачи. Далее они обобщаются на трехмерные. При решении используются те же функции формы, что и для двумерных и трехмерных задач теории упругости. Основное отличие состоит в том, что теперь с каждой точкой пространства связана только одна неизвестная скалярная величина (неизвестная функция), тогда как раньше находили несколько неизвестных, составляющих вектор перемещения.
Дискретизация на конечные элементы достигается с помощью вариационного метода (см. гл. 3) с использованием функционала, математически эквивалентного дифференциальному уравнению. Этот функционал в приложениях можно физически интерпретировать, связывая его, как правило, с понятием
диссипации энергии. Те же самые соотношения можно получить с помощью метода взвешенных невязок или метода Галеркина, и читателю рекомендуется сделать это в соответствии с указаниями гл. 3.
Помимо нескольких простых задач, описываемых квазигармоническим уравнением, будут рассмотрены некоторые задачи о вязком течении, описываемые уравнениями более высоких по--рядков [7]. При этом будет упомянута другая постановка некоторых задач теории упругости [8].
15.2. Экстремальная проблема
Квазигармоническое уравнение, описывающее поведение некоторой неизвестной физической величины ф, в общем виде можно записать следующим образом:
д дх
(-) + i(.t) + i()+Q = 0. (15.1)
где - неизвестная однозначная в рассматриваемой области функция, а kx, ky, и Q - известные функции координат X, у я Z.
Читатель, знакомый, например, с задачами теории теплопроводности, отождествит функции kx, ky и kz с кoэффициeJтaми теплопроводности анизотропного материала, функцию Q - со скоростью теплообразования, а неизвестную функцию ф - с температурой (при условии, что главные направления анизотропии материала совпадают с осями координат). В задачах электротехники эти величины можно связать соответственно с коэффициентами проводимости, плотностью тока и потенциалом. Независимо от того, какие физические величины рассматриваются, математически задача остается одной и той же.
Физические особенности частных -задач накладывают определенные граничные условия. Чаще всего встречаются случаи, когда:
а) на границе заданы значения неизвестной функции ф:
Ф = Ф,,
б) на границе выполняется условие
= 0,
(15.2)
(15.3)
где 1х, 1у и 1г - направляющие косинусы внешней нормали к граничной поверхности.
Если kx, ky и кг равны, между собой, а и а равны нулю, то последнее условие сводится к известному условию непроницае-
ЗАДАЧИ О СТАЦИОНАРНЫХ ПОЛЯХ (ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ, ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ, ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ДР.).
мости границы
= 0.
(15.4)
В задачах теплопроводности q представляет собой поток (тепла) через поверхность единичной площади, а - потери тепла путем конвекции.
Уравнение (15.1) вместе с граничными условиями однозначно определяет задачу.Однако возможна и вариационная формулировка задачи. Согласно известной теореме Эйлера, для того чтобы в некоторой области V интеграл
X(«)=HSK-f• ydydz (15.5)
принимал минимальное значение, необходимо и достаточно, чтобы неизвестная функция ф{х,у,г) удовлетворяла дифференциальному уравнению
{д(дФ1дх)\
\, а (. df ) а f df ) af „
dy \didфdy] dz\d(dt!dz) j дФ "
в той же области при условии, что ф в обоих случаях удовлетворяет одинаковым граничным условиям. Можно убедиться, что уравнение (15.1) эквивалентно требованию минимизации интеграла )
Ш + Ш} - *
(15.7)
по всей области при тех же граничных условиях для ф.
Однако при подборе функций формы нецелесообразно требовать удовлетворения обоим граничным условиям «а» и «б». Хотя условию «а» удовлетворить легко, выполнение условия «б» привело бы к значительным трудностям. Поэтому лучще не накладывать никаких ограничений на значения функций на тех частях границы, где должно быть удовлетворено условие «б», а добавить к функционалу (15.5) поверхностный интеграл по границе, который после минимизации обеспечивает выполнение этого граничного условия. В общем случае указанный интеграл в уравнении Эйлера имеет вид ,
\{qф + JCф)dS,
(15.8)
) На самом деле (15.6) является необходимым условием существования экстремали функционала (155).- Прим. ред..
где S - поверхность, на которой задано условие «б». Если интеграл (15.8) добавить к выражению (15.5) или (15.7) для функционала х, то после минимизации граничное условие (15.3) будет выполняться автоматически. Читатель, интересующийся подробностями вывода уравнения Эйлера в этой довольно общей форме, найдет все необходимые сведения в приложении 6.
15.3. Конечно-элементная дискретизация 15.3.1. Общий трехмерный случай
Если неизвестная функция ф определена для каждого элемента в обычной форме:
Ф-lNi, Ni,...]
(15.9)
где ф1 и т. д. - узловые параметры, то функционал можно минимизировать приближенно.
Следуя обычному порядку, вычислим вклад каждого элемента, используя соотношения (15.7) -(15.9). Дифференцируй (15.7) н (15.8), для произвольного узла запишем
£х1 Г f
дФс ) I
дФ д
(Л-Ь д ( дф\ \дх)У ду dФl KdyJT
dx dфi \dxj"-y dy dФi \ dy,
- (15.10)
Второй интеграл появляется только для элементов у внешней границы, на которой заданы условия типа «б». Замечая, что
" dNi dNf
. dx dx
W и Т. д.
( дФ\ dNj \dx) dx
dФi дф
Ж = И Т. Д.,
для всего элемента (см. гл. 3) получаем
§е = 11гГ{фГ + {РГ.
(15.11)
где матрица жесткости [kY
rf dN, dN, dN, dNidN.)
строится с помощью соотношений (15.9) и (15.10) и
f J = J Q,V, dV + \qN, dS+f\ W] aMi dS {f} (15.13)
с учетом того, что dV = dx dy dz. Минимизирующая система уравнений для всей области составляется по общим правилам. В результате получаем
=o=[ff]m+{F},
(15.14)
и Суммирование, как обычно, производится по всем элементам. Поскольку не известна лишь одна функция, в приведенных соотношениях фигурируют только скалярные величины.
Если интерпретировать соответствующие величины как жесткости и силы, то можно провести аналогию с расчетом конструкций. Анализируя структуру соотношения (15.13) для сил, легко заметить, что первый член соответствует объемным силам в задачах теории упругости.
Второй член представляет собой вклад только от границ, на которых задан поток q. В теории упругости ему соответствует поверхностная нагрузка. Если границы непроницаемые [т. е. граничное условие имеет вид (15.4)], то имеет место точное соответствие со случаем свободной границы.
Последний член соотношения (15.13) отражает новое качество. Соответствующая ему «граничная» сила пропорциональна перемещениям на границе и, следовательно, {ф}. Поэтому этот член эквивалентен некоторой присоединенной внешней жесткости элемента
(15.15)
[Л]= \ lMraW]dS,
представляемой в виде интеграла по границе. К дополнительной жесткости приводят, в частности, граничные условия для потерь тепла излучением или конвекцией (в задачах теплопроводности) .
Так как получена полная аналогия с задачами расчета конструкций, далее могут быть проведены стандартные операции.
На заключительной стадии расчетов можно вычислить не только значения функции ф (соответствующие перемещениям), но и ее производных (соответствующие напряжениям). Так, если записать
(15.16)
то получим матрицу производных, аналогичную матрице напряжений (2.17) гл. 2. Ясно, что
a.V(
(15,17)
Вычисление этих градиентов часто имеет определенный физический смысл, так как в некоторых задачах они характеризуют скорости потока.
15.3.2. Условия сходимости
Поскольку в функционал входят лишь первые производные от ф, то при выборе функций формы требуется удовлетворить только условиям непрерывности функции ф. Кроме того, функции формы должны быть такими, чтобы любые первые производные принимали внутри элемента постоянные значения при соответствующем задании узловых величин [фУ. Поэтому при решении практических задач можно использовать функции формы, рассмотренные в гл. 7, и соответствующие элементы. Кроме того, можно применять все криволинейные элементы, рассмотренные в гл. 8.
/5.5.5. Неоднородность и анизотропия
Интересно отметить, что в минимизируемый функционал не входят производные от коэффициентов теплопроводности (kx, ky, kz). Поэтому приведенные выше соотношения в равной степени справедливы и для постоянных и для переменных коэф-
