и. четырьмя (2X2) гауссовыми точками, в виде графиков для различных отношений толщины к длине стороны пластины. Для оболочек средней толщины результаты близки между собой, и в обоих случаях получаются сдвиговые деформации, которые вообще не рассматриваются в теории тонких пластин. Для тонких пластин результаты прн более точном интегрировании значительно отличаются от точного решения, полученного с использованием теории тонких пластин, тогда как более грубое интегрирование (при исключении влияния сдвигов) по-прежнему дает хорошие результаты.
Ограничения на применение рассматриваемых в этой главе элементов хорошо известны, и неоднократно предпринимались попытки исключить их [5-7]. Как видно, весьма эффективным и достаточно общим средством является такой простейший прием, как понижение порядка интегрирования.
14.10. Некоторые примеры
Ниже приведено несколько примеров, иллюстрирующих область применения и точность описанного метода расчета толстых, оболочек. Другие примеры можно найти в работах [1-3].
Сферический купол под действием равномерно распределенного давления. На фиг. 14.8 показано известное точное решение этой осесимметричной задачи, полученное с использованием теории оболочек. Для решения применялись 24 элемента третьего порядка. Размеры элементов по мере приближения к краям уменьшались.
Полученное решение, по-видимому, даже более точное, чем аналитическое, поскольку оно позволяет учесть, приложено давление на внутренней или на наружной поверхности.
Цилиндр, нагруженный по торцам. Следующий пример осесимметричной задачи, показанный на фиг. 14.9, приведен для того, чтобы исследовать влияние числа разбиений. Использовалось 2, 6 и 14 элементов различной длины. Результаты для Двух последних разбиений почти совпадают с точным решением. Даже при использовании лишь двух элементов получаются удовлетворительные результаты, которые отличаются от тoчнoIo решения только в окрестности нагруженного края.
Цилиндрический свод. Это пример применения метода к расчету оболочки, для которой существенны изгибные эффекты, так как опоры препятствуют перемещению двух краев (фнг, 14.10).
На фиг. 14.11 приводится сравнение результатов численного интегрирования с использованием девяти и четырех точек для элементов второго порядка. В обоих случаях, как и следовало ожидать, решение сходится. При более точном интегрировании
Фиг. 14.8, Расчет сферического купола под действием равномерно распределенного давления при использовании 24 элементов третьего порядка. (Первый элемент у закрепленного края стягивает дугу в 0,Г, размеры остальных элементов увеличиваются по арифметической прогрессии.) Мф -меридиональный изгибающий момент, Г -окружное усилие, v=Ve.- аналитическое решение; О случай I; Д случай П.
О.ОЗси
IS.tlCM
5o a
О 0,5. КО 1,5 2,0- 2,5 3,0
2, см
281.0 i
-810
0,5:
1.5 Z, см
2,0.
3,0,
Фиг. 14.9. Тонкий цилиндр, нагруженный по краю единичной нагрузкой
Фиг. 14.10. Цилиндрическая оболочка под действием собственного веса,
Е=4,55 10 Н/м% v=0, 17=9,6 Н/м. -Число степеней свободы
Элементы
Сетка
второго
порядка
сходимость довольно медленная, в то время как при более низком порядке интегрирования очень точные результаты получаются даже прн использовании одного элемента. Приведенный пример иллюстрирует преимущества такого простого приема, как
(р, град
го 30 40
Фнг. 14.11. Перемещение цилиндрического перекрытия (элементы второго
порядка).
Элементы,
Интегрнрованне
Интегриро-
построенные
без учета
Сетка
вание
в работе [3]
сдвига
по 2X2 точкам
□
О
понижение порядка интегрирования. Более подробно этот пример описан в работах [4, 8]. Обычным способом точное рещение этой задачи получено в работе [9].
Улучшенная сходимость по перемещениям в этом случае соответствует сходимости по напряжениям,
Градирия. Опять рассмотрим градирню, о которой уже шла речь в гл. И (разд. 11.6, фнг. 11.10). Прн расчете осесиммет-)ичная оболочка разбивалась на 15 элементов третьего порядка. Несимметричная (ветровая) нагрузка достаточно точно представлялась десятью гармониками. Результаты совпали с экспериментальными данными, с которыми сравнивались результаты, полученные в гл. 11, так что в дополнительных графиках нет необходимости.
Решение изложенным в этой главе методом значительно экономичнее решения методом, изложенным в гл. 11.
Криволинейная плотина. Все предыдущие примеры относились к тонким оболочкам и демонстрировали применимость метода к решению именно таких задач. В качестве примера другого типа этим методом была рассчитана плотина двойной кривизны, рассмотренная в гл. 9 (фиг. 9.8). Использовалось точно такое же разбиение, и результаты почти в точности совпали с результатами решения трехмерной задачи [3]. Такое хорошее совпадение получено при значительном сокращении числа степеней свободы и затрат машинного времени.
Очевидно, что область применения элементов такого типа очень широка.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ahmad S., Irons В. М., Zienkiewicz О. С, Curved Thick Shell andMembrane Elements with Particular Reference to Axi-Symmetric Problems, Proc. 2nd Conf. Matrix Mefh. Struct. Mech., WrisM Patterson A. F. Base, Ohio, 1968.
2. Ahmad S., Curved Finite Elements in the Analysis of Solid, Shell and Plate Structures, Ph. D. Thesis, Univ. of Wales, Swansea, 1969.
3. Ahmad S., Irons B. M., Zienkiewicz O. C, Analysis of Thick and Thin Shell Structures by Curved Elements, Int. J. Num. Meth. Eng., 2, 419-451 (1970).
4. Zienkiewicz O. C, Too J., Taylor R. L., Reduced Intergation Technique in General Analysis of Plates and Shells, Int. J. Num. Meth. Eng., 3, 275-290 (1971).
5. Key S. W., Beisinger Z. E., The Analysis of Thin Shells with Transverse Shear Strain by the Finite Element Method. Proc. 2nd Conf. Matrix Meth. Struct. Mech., Air Force Insf. Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1968.
6. Wempner G. A., Oden J. Т., Kross D. A., Finite Element Analysis of Thin Shells, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 94, EM6. 1273-1294 (1968).
7. Sfricklin J. A., Haisler W. E., Tisdale P. R., Ganderston R., A Rapidly Converging Triangular Plate Element, JAIAA, 7, 180-181 (1969); есть русский перевод: Стриклии, Хайслер, Тисденл, Гундерсон, Элемент в форме резко сужающейся треугольной пластины; Ракетная техника и космонавтика, № I, стр. 219 (1969).
8. Pawsley, Dept. of Structural Mechanics, Ph. D. Thesis, Univ. of California, Berkeley, 1970.
9. Scordelis A. C, Lo K. S., Computer Analysis of Cylindrical Shells, J. Am. Concr. Inst., 61, 539-561 (1969),
