в качестве примера плоской задаче, непрерывными должны быть только перемещения. Если же, однако, деформации определяются вторыми производными, как в задачах о пластинах и оболочках, то должны быть непрерывными также и первые производные от перемещений [2].
Последний критерий математически означает требование «полноты функций», с которым читатель может более глубоко познакомиться, например, по работам [И-15]. Эвристическое доказательство условий сходимости, данное здесь, вполне достаточно для практических целей, за исключением самых необычных случаев.
2.6. Функции перемещений с разрывами между элементами
В некоторых случаях возникают существенные трудности при выборе функций перемещений элемента, которые были бы непрерывными по всей его границе со смежными элементами.
Как уже указывалось, разрывность перемещений приведет к бесконечным деформациям на границах между элементами. Этот факт не учитывался ранее, поскольку предполагалось, что вклад в энергию вносят только сами элементы.
Однако если в пределе при уменьшении размеров элементов непрерывность восстанавливается, то мы все же придем к правильному результату. Это условие практически выполняется, если:
а) условие постоянной деформации автоматически гарантирует непрерывность перемещений;
б) выполняется критерий предыдущего раздела о постоянной деформации.
В некоторых задачах, рассмотренных в этой книге, с успехом будут использоваться разрывные функции перемещений такого типа. Однако при этом нельзя уже оценить значения функционала энергии.
2.7. Предельное значение энергии деформации при использовании метода перемещений
Хотя приближенное решение, полученное методом перемещений, всегда дает завышенное значение полной потенциальной энергии X (абсолютный минимум которой соответствует точному решению), знания этого иногда бывает недостаточно для практики. В некоторых случаях, однако, можно получить более удобную оценку.
Рассмотрим, в частности, задачу, в которой отсутствуют начальные деформации или начальные напряжения. В соответ-
ствии с принципом сохранения энергии энергия деформации должна быть равна работе внешних сил, равномерно возрастающих от нуля [16]. Эта работа равна -/г, где И7 -потенциальная энергия нагрузок. Таким образом,
u+jw=o
(2,32) (2.33)
на истинном или приближенном поле перемещений.
Следовательно, в данном случае приближенное решение всегда занижает значение U и полученное перемещение часто рассматривается как нижняя граница решения.
В случае когда задана только внешняя сосредоточенная нагрузка R, можно сделать вывод, что величина смещения при действии этой нагрузки будет занижена (так как U = ~
= 42Rd). При сложном нагружении эта оценка не всегда применима, поскольку для величин, представляющих практический интерес, т. е. смещений и напряжений, не удается установить определенных пределов.
Важно помнить, что оценка энергии деформации справедлива только при условии отсутствия начальных напряжений или деформаций.
Выражение для U в этом случае может быть получено из соотношения (2.31) в виде
а с помощью формулы (2.2) оно преобразуется в
и = {{бу[\[ВГ ID]lB]dv]{6} = I{6}[К] {6}.
где квадратная матрица [/(] -ранее рассматривавшаяся матрица жесткости.
Приведенное выражение для энергии всегда положительно, что следует из физического смысла этой величины. Поэтому матрица [К\, вводимая при применении метода конечных элементов, является не только симметричной, но и положительно определенной (т. е. квадратичная форма, связанная с этой матрицей, всегда больше нуля или равна нулю).
Это свойство особенно важно при использовании численных методов решения систем уравнений, так как при этом возможны некоторые упрощения.
2.8. Прямая минимизация
Тот фадт, что метод конечных элементов сводится к минимизации полной потенциальной энергии х. выраженной через конечное число узловых параметров, позволяет получить систему уравнений, символически записанную в виде (2.30). Это наиболее часто применяемый подход, особенно в линейных задачах. Однако для оценки нижней границы значения х могут быть использованы и другие, хорошо разработанные к настоящему времени методы исследования в области оптимизации процессов. В этой книге мы будем придерживаться первого способа минимизации, хотя можно использовать и другие методы [17, 18].
15 De Arrantes Oliveira Е. R., Theoretical Foundations uf the Finite Element Method, Int. J Sotids Struct., 4, 929-952 (1968).
16. De Veubeke B. F., Displacement and Equilibrium Models in the Finite Element Method, Ch. 9 in: Stress Analysis, Zienkiewicz O. C, Holister G. S., eds., Wiley, 1965.
!7. Fox R. L., Stanton E, L., Developments in Structural Analysis by Direct Energy Minimization, JAIAA. 6, 1036-1044 (1968); есть русский перевод: Фокс, Стэнтон, Достижения в области расчетов на прочность прямыми методами минимизации энергии. Ракетная техника и космонавтика, 6, № 6. стр. 55-63 (1968).
18. Bogner F. К., Malleft R. Н., Minich М. D., Schrait L. А., Development and Evaluation of Energy Search Methods in Non-Linear Structural Analysis. Proc. Conf. Matrix Methods in Struct Mech,, Air Force Inst. Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1965.
ЛИТЕРАТУРА
1. Clough R. W., The Finite Element in Plane Stress Analysis, Proc. 2nd A. S.
C. E. Conf. on Electronic Computation, Pittsburgh Pa., Sept. 1960.
2. Clough R. W., The Finite Element Method in Structural Alechanics, Ch. 7 in: Stress Analysis, Zienkievicz 0. C, Holister G. S., eds., Wiley, 1965.
3. Szmelter j., The Energy Method of Networks of Arbitrary Shape in Problems of the Theory of Elasticity, Proc. lUTAM, Symposium on Non-Homogeneity in Elasticity and Plasticity, Olszak W., ed., Pergamon Press, 1959.
4. Courant R., Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibration, Bull. Am. Math. Soc, 49, 1-23 (1943).
5. Prager W., Synge j. L., Approximation in Elasticity Based on the Concept of Function Space, Quart. Appl. Math., 5, 241-269 (1947).
6. Timoshenko S., Goodier J. N., Theory of Elasticity, 2nd ed., McGrav-Hill, 1951.
7. Washizu K., Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Press, 1968.
8. Strutt J. W. (Lord Rayleigh), On the Theory of Resonance, Trans. Roy. Soc. (London), Aiei, 77-118 (1870).
9. RItz W., Ober eine Methode zur Losung gewissen Variations - Probleme der mathematischen Physik, /. Reine und Angew. Math., 135, 1-61 (1909).
10. Bazeley G. P., Cheung Y .K., irons B. M., Zienkiewicz 0. C., Triangular Elements in Bending - Conforming and Non-Conforming Solutions, Proc. Conf. Matrix Methods in Struct. Mech., Air Force Inst. Techn., Wright Patterson A. F. Base Ohio, 1965.
11. Михлин С. Г., Проблема минимума квадратного функционала, ГИТТЛ, М.-Л., 1952.
12. Johnson W. Al., McLay R. W., Convergence of the Finite Element Method in the Theory of Elasticity, /. Appl. Mech. Trans. Am. Soc. Mech. Eng., 274- 278 (1968); есть русский перевод: Джонсои, Маклей, Сходимость метода конечных элементов в теории упругости, Труды Американского общества инженеров-механиков. Прикладная механика, 35, сер. Е, К» 2, стр. 68-72 (1968).
13. Key S. W., А Convergence Investigation of the Direct Stiffness Method, Ph.
D. Thesis, Univ. of Washington, 1966.
14. Pian T. H. H., Tong P., The Convergence of Finite Element Method in Solving Linear Elastic Problems, Int. J. Solids Struct., 3, 865-880 (1967).
3.1. Вариационные задачи
К решению встречающихся в технике задач прикладной механики существуют два подхода [1]. При одном из них используются дифференциальные уравнения, описывающие поведение некоторой произвольной бесконечно малой области. Другой подход состоит в том, что постулируется вариационный экстремальный принцип, справедливый для всей области. При этом решение минимизирует некоторую величину х> которая определяется как некоторый интеграл от неизвестных величин по всей области. Интегральную величину х, представляющую собой функцию от неизвестных функций, называют функционалом.
С математической точки зрения оба эти подхода эквивалентны, и решение, полученное при одном подходе, является решением при другом подходе. Каждый из этих подходов может быть принят в качестве основного, хотя чаще используется первый. От одного подхода можно перейти к другому с помощью математических преобразований, что является предметом многочисленАых книг по вариационным методам [2-4].
Различие между этими подходами состоит в способах получения приближенного решения. Конечно-разностные [5, 6] методы аппроксимируют дифференциальные уравнения разностными; метод Ритпа и его вариант -метод конечных элементов-связаны с приближенной минимизацией функционала.
В предыдущей главе было показано, что задача определения поля перемещений в конструкции сводится к задаче минимизации полной потенциальной энергии, определенной в виде функционала От перемещений. Была установлена эквивалентность метода конечных элементов методу приближенной минимизации функционала энергии по узловым перемещениям. В настоящем разделе этот вопрос будет рассмотрен в общем виде.
Пусть физическая (или чисто математическая) постановка задачи требует минимизации функционала % в некоторой области. Величина х определяется в виде интеграла по области V и части границы 5, на которой неизвестны функция Щ или ее производные, т. е. она имеет вид
Пусть рассматриваемая область разделена на более мелкие части, подобласти, которые будем далее называть элементами, и пусть функции, которые мы хотим определить, для каждого элемента записываются в виде
[<1>}=т{Фу. (3.2)
Здесь (Ф)" может содержать узловые значения функции, соответствующие такому элементу, или некоторые характеризующие его параметры. Неизвестная функция взята в фигурные скобки, чтобы показать, что она может быть вектором, как в примере гл. 2, а [iV]-матрица, определяющая зависимость функции формы от координат.
Для минимизации функционала х ™ всем параметрам {Ф) полной области следует записать систему уравнений
дг д{Ф) -
<ЭФ,
= 0.
(3.3)
Если справедливо утверждение, что функционал равен сумме вкладов отдельных элементов, т. е. что
Х=Ех, (3.4),
то символическое уравнение принимает вид
ix V = 0 (3.5)
где суммирование производится по всем элементам. Таким образом, получено правило составления системы уравнений, минимизирующих функпионал, для всего ансамбля.
В частном случае, когда х является квадратичным функционалом от {ф} и ее производных, производную для элемента е можно записать в виде
