улучшению хар:актеристик элемента. Этот вопрос будет рассматриваться в разд. 14.9 и 14.10.
14.6. Некоторые замечания относительно аппроксимации напряжений
После получения характеристик элемента процесс составления ансамбля и дальнейшее решение стандартны.
Остается обсудить вопрос об аппроксимации напряжений. Так как деформации определены в локальных координатах, то легко получить матрицу {а}. Непосредственный интерес представляют именно эти компоненты, но, поскольку направление локальных осей не всегда можно легко себе представить, иногда удобно преобразовать компоненты к глобальной системе, используя соотношение
<Ух
Хху Ххг-
= [0]
Оу Xyz
[ег. (14.20)
С1г -
-Xxz
Хуг 0 -
Если напряжения вычисляются в узле, в котором соприкасаются несколько элементов, они усредняются.
Напряжения в глобальных координатах, однако, не дают достаточно наглядной картины распределения напряжений на поверхности оболочки произвольной формы. Поэтому удобнее с помощью соответствующего преобразования вычислять главные напряжения.
При более тщательном исследовании напряжений на поверхности оболочки целесообразно, заметив, что касательные напряжения Ххг и Xyz на ней отсутствуют, положить их равными нулю перед переходом к глобальным напряжениям. Значения, полученные для касательных напряжений, являются средними по сечению. Касательные напряжения максимальны на нейтральной оси, и их значения превышают средние в 1,5 раза.
14.7. Частный случай осесимметричных толстых оболочек
Очевидно, что для осесимметричных оболочек все соотношения упрощаются [1]. Теперь средиьшая поверхность элемента определяется только двумя координатами I, ri, в результате чего значительно экономится машинное время. Элемент строится точно так же, но за основу берется двумер-ный элемент, изображенный на фиг. 14.4. Соотношения (14.1) п (14.2) заменяются их двумерными аналогами, определяющими зависимость
между координатами в виде
==УЛ1 (?)(} +YNdl)V,u (14.21)
) сред
{COSj sin.
г- \ -
1 1 \ \
--- 1 \
Фиг, 14.4, Координаты для расчета осесимметричной ободочки,
<f>i - угол, показанный на фиг. 14.4, б, м ti - толщина оболочки. Выражение для перемещений определяется в соответствии с формулой (14.3).
Для общности рассмотрим случай несимметричного нагружения, указывая лишь члены, которые можно заранее исключить в симметричном случае. Следуя изложенному в гл. 13, предположим, что выполнено разложение по тригонометрическим функциям. Определим три компоненты перемещения п-й гармоники в виде
(14.22)
Здесь «г -угол поворота, показанный на фиг. 14.5; и др.- перемещения узла срединной поверхности и Pi - угол поворота
относительно вектора, касательного (приблизительно) к срединной поверхности.
Для осесимметричного случая дальнейшее упрощение осуществляется путем исключения членов, содержащих w, первой матрицы тригонометрических постоянных и угла поворота р<.
Локальные деформации удобнее определить соотношением (14.7), записанным в глобальных цилиндрических координатах:
{8} =
дг dv
дл дг
dw до
1 ди г й9 +
г д% "Т"
dw дг
(14.23)
Эти деформации преобразуются к локальным координатам, причем компонента, нормальная к поверхности ri = const, исключается.
Матрица [D\ принимает вид (14.9). Для осесимметричного случая соответствующие члены просто опускаются.
Все преобразования осуществляются так же, как и в предыдущих разделах, поэтому дополнительных пояснений не требуется, за исключением, возможно, замечания, что теперь они производятся только относительно пар переменных , \\\ г, z н г, г. Аналогично интегралы, входящие в характеристики элемента, вычисляются численно только по координатам \ х\. Заметим, однако, что элемент объема определяется выражением
rfxdt/d2 = det/Idgrfri-dQ. (14.24)
Элементы переменной толщины второго и третьего порядка (фиг. 14.6) получаются при соответствующем подборе функций формы Ai(g).
14.8. Частный случай толстых пластин
Описанные в этой главе преобразования довольно сложны и запрограммировать нх непросто. Основные идеи метода можно применить прн расчете толстых пластин.
Упрощения достигаются за счет того, что:
1) =:г и направления единичных векторов Vh, Уг,-, Узг можно взять совпадающими с направлениями осей х, у и г;
2) ai и pi в этом случае являются просто углами поворота e„ и 01 (см. гл. 10);
3) нет необходимости преобразовывать компоненты напряжений и деформаций к локальной системе ж, i/, z и всюду
4"---.
Фиг. 14.6. Элементы осесимметричной оболочки: а - первого порядка, в-- второго порядка и а - третьего порядка.
можно использовать соотношения в глобальных координатах. Для элементов простой формы можно обойтись без численного интегрирования, и в качестве упражнения читателю рекомендуется получить все необходимые выражения (матрицы, жесткости и др.), скажем, для прямоугольных элементов первого порядка.
14.9. Сходимость
Если при расчете трехмерных задач можно говорить об абсолютной сходимости к точному решению упругой задачи, то в аналогичных задачах для пластин или оболочек такой сходимости быть не может. Так называемое сходящееся решение задачи об изгибе пластин при уменьшении размеров элемента сходится к точному решению для некоторой приближенной модели, используемой в расчете. Следовательно, будет наблюдаться схо-
димость к решению, удовлетворяющему гипотезе плоских сечений.
В элементах конечных размеров деформации чистого изгиба всегда сопровождаются некоторыми сдвиговыми напряжениями, которые фактически не учитываются в теории изгиба пластин или оболочек. Большие элементы, деформирующиеся главным
Точное решение по пеории тонких пластин
Фнг. 14.7. Свободно опертая квадратная пластина под действием равномерно
распределенной нагрузки q<s. о -прогибы на центральной лявии, полученные прн использовании элемритов, построенных в работе (И; б-прогибы, полученные при нспользованни численного ннтбгрированнн без учета сдвигов. ui=:0,004062 ijjaD (результат расчета по теории тонких пластин), « - толщина пластины. В-жесткость пластины.
образом под действием изгибающих моментов (например, когда элемент оболочки вырождается в пластину), становятся заметно более жесткими. Чтобы избежать этого, вводятся некоторые ограничения на отношение длины стороны элемента к его толщине.
Однако можно показать, что эти ограничения могут быть ослаблены за счет понижения порядка интегрирования.
Например, на фиг. 14.7 показано применение элемента второго порядка при расчете квадратной пластины. Приведены результаты, соответствующие интегрированию с девятью (3X3
