КО следует отметить, что за экономичность приходится расплачиваться меньшей общностью.
В этой главе предполагалось, что свойства материала не зависят от одной из координат. В случае необходимости это ограничение с помощью дальнейших обобщений можно снять. Интересный пример такого типа приведен в работе [14].
Размерность задачи можно уменьшить с помощью другого класса методов, основанного на использовании точных сингулярных решений и сведении, скажем, трехмерной задачи к интегральному уравнению на поверхности. Это приводит к необходимости решения уравнения типа
(13,32)
f{p)+\K{p, q)fiq)dSF{p),
где р и q - координаты точек на поверхности S, f(p) - искомая неизвестная функция, К я F - известные функции координат. Такое интегральное уравнение естественно решать методом конечных элементов, разбивая интеграл на отдельные части и используя приближенное представление функции f.
Для решения задач упругости такой подход предложен Мас-соне [15]; Фрид [16] показал, что таким же образом задача об обтекании тела неограниченным потоком сводится к задаче, решаемой с помощью разбиения на конечные элементы лишь одной поверхности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Cheung Y, К., The Finite Strip Method in the Analysis of Elastic Plates with Two Opposite Simply Supported Ends, Proc. Inst. Civ. Eng., 40, 1-7 (1968).
2. Cheung Y, K,, Finite Strip Method of Analysis of Elastic Slabs, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 94, EM6, 1365-1378 (1968).
3. Cheung Y, K., Folded Plate Structures by the Finite Strip Method, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 95, ST, 2963-2979 (1969),
4. Cheung Y, K„ The Analysis of Cylindrical Orthotropic Curved Bridge Decks, Publ. Int. Ass. Struct. Eng., 29-11, 41-52 (1969),
5. Love A, E. H„ The Mathematical Theory of Elasticity, 4th ed., Cambridge Univ. Press, 1927, p. 56; есть русский перевод: Ляв А., Математическая теория упругости, ОНТИ, М., 1936.
6. Timoshenko S., Goodier J. N„ Theory of Elasticity, 2nd ed., McGraw-Hill, 1951,
7. Zienkiewicz 0. C„ Cheung Y. K., Stresses in Shafts, The Engineer, 24 Nov., 1967.
8. Wilson E, L„ Structural Analysis of Axi-Symmetric Solids, JAlAA, 3, 2269- 2274 (1965); есть русский перевод; Вильсон, Расчет на прочность осесимметричных тел, Ракетная техника и космонавтика, 3, № 12, стр. 124-131 (1965),
9. Новожилов В, В., Теория тонких оболочек, Судпромгиз, Л,, 1951.
10. Grafton Р, е., Strome D. R,, Analysis of Axi-Symmetric Shells by the Direct Stiffness Method, JAIAA, I, 2342-2347 (1963); есть русский период; Граф-
тон, Строум, Расчет осесимметричных оболочек методом прямого определения жесткости. Ракетная техника и космонавтика, 1, № 10. стр. 129- 136 (1963).
11. Zienkiewicz О, С, Gerstner R. W., The Method of Interface Stress Adjustment and Us Uses in Some Plane Elasticity Problems, Int. J. Mech. Set., 2, 267-276 (1961).
12. Zienkiewicz 0, C, Gerstner R, W., Stress Analysis and Special Problems of Prestressed Dams, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 87, PCI, 7-43 (1961).
13. Morley L. S, D,. A Finite Element Application of Modified Rayleigh - Ritz Method, Int. J. Num. Meth. in Eng.. 2, 85-98 (1970 .
14. Stricklin У A,, De Andrade J. C, Linear and Non Linear Analysis of Shells of Revolution with Asvmmetrical Stiffness Properties, Proc. 2nd Conf. Aat-rix Methods Struct Aiech,, Air Force Inst, of Techn,, Wright Patterson A. F, Base, Ohio, 1968.
15. Massonnet C, E„ Numerical Use of Integral Procedures, Ch. 10 in; Stress Analysis, Zienkiewicz 0, C, Holister G, S„ eds,, Wiley, 1965.
16. Fried L, Finite Element Analysis of Problems Formulated by an Integral Equation; Application to Potential Flow, Inst, fiir Statik und Dynamik. Luf-tund Raumfahrtsanstalt, Stuttgart, 1968.
И. 1. Введение
В гл. 8 и 9 были рассмотрены вопросы построения и использования сложных криволинейных двумерных и трехмерных элементов. Казалось бы очевидным, что эти элементы можно непосредственно применять при расчете криволинейных оболочек, уменьшая их размер в направлении толщины оболочки, как показано на фиг. 14.1. Такие элементы использовались в примере, иллюстрированном на фиг. 9.6 для осесимметричного тела. Однако в общем трехмерном случае при применении таких элементов возникают определенные трудности.
Во-первых, наличие трех степеней свободы в каждом узле приводит к большим коэффициентам жесткости для перемещений по толщине оболочки. Это затрудняет проведение числовых расчетов и может явиться причиной плохой обусловленности системы уравнений, если толщина оболочки мала по сравнению с остальными размерами элемента.
Во-вторых, следует учитывать и фактор экономичности. При использовании нескольких дополнительных узлов по толщине оболочки игнорируется хорошо известный факт, что практически даже в случае толстых оболочек нормали к срединной поверхности после деформации остаются прямыми. Тем самым вводится большое число степеней свободы, что влечет за собой неоправданно большие затраты машинного времени.
В настоящей главе описан подход, позволяющий обойти обе эти трудности [1-3]. Для того чтобы повысить экономичность расчета, вводится гипотеза прямых нормалей, а чтобы улучшить обусловленность задачи, не учитывается вклад в энергию деформации напряжений, перпендикулярных к срединной поверхности. Это позволяет получить эффективный инструмент для анализа толстых оболочек. Точность его и широта применения демонстрируются на нескольких примерах.
Ясно, что оба эти допущения являются только частью обычных допущений теории оболочек. Так, умышленно опущено утверждение, что после деформации нормали остаются нормалями к срединной поверхности. Это позволяет учесть деформации сдвига - важную характеристику толстой оболочки.
Фнг. 14.1. Криволинейные изопараметрические шестигранники для аппроксимации оболочки.
14.2, Геометрические характеристики элемента
Рассмотрим типичный элемент толстой оболочки (фиг. 14.2). Поверхности элемента криволинейны, тогда как поперечные сечения по толщине образованы прямыми линиями. Форма такого элемента описывается парами точек iepx и (ншкн, заданными их декартовыми координатами.
Пусть 5 и Т1 - криволинейные координаты в средипрюй плоскости оболочки, а t, - линейная координата по толщине. Если положить, что 1, ц, t, изменяются в пределах от -1 до -fl на соответствующих поверхностях элемента, то зависимость между декартовыми и криволинейными координатами для любой точки
РАСЧЕТ ТОЛСТОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК КАК ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ИССЛЕДОВАНИЯ ТРЕХМЕРНОГО ТЕЛА
Фиг. 14,2. Различные типы криволинейных элементов для толстых оболочек.
может быть представлена в виде
г) -гЛерх ..........
(14.1)
Здесь ЛИ1> *1)~ функция формы, равная единице в i-м узле и нулю в остальных узлах (гл. 8). Если базисные функции получены из функций формы двумерных первичных элементов, квадратных или треугольных), и составлены так, что па границах между элементами выполняются условия совместности, то пространственные криволинейные элементы будут примыкать друг к другу по всей границе. Используя функции формы раз-
) Как и в гл. 7, в этом случае вместо координат и г] следует использовать 1-коордннаты,
ЛИЧНЫХ порядков, можно получить разнообразные криволинейные элементы. На фиг. 14.2 показаны только элементы второго и третьего порядков. При желании их можно усовершенствовать, если ввести на сторонах большее число дополнительных узлов. Можно использовать любую из двумерных функций формы гл, 7.
Хотя связь между декартовыми и криволинейными координатами установлена, все же в качестве основных желательно использовать криволинейные координаты.
Фиг. 14.3. Локальные и глобальные координаты.
Следует отметить, что направление координаты J только приблизительно совпадает с направлением нормали к срединной повертсности.
Удобно записать зависимость (14.1) с помощью вектора (длины, равной толщинеобо.точки /), связывающего верхнюю и нижнюю точки и координаты срединной поверхности. При этом) соотношение (14.1) принимает вид (фиг. 14.3)
+ Y.MifV,„ (14.2)
) Необходимые сведения из векторной алгебры можно найти в приложении 5.
