Как и прежде, матрицу жесткости и другие величины можно вычислить для каждой гармоники в отдельности. Подставляя формулы (13.25) в (13.26) и группируя переменные, как это сделано в (13.17), получаем
- COS/9 О
dNi "дГ
C0SZ9
COS /9
- COS/9
sin /9
-!-cos/9
-COS/9
, IN[
Sin /9
(13.27)
Остальные соотношения выводятся обычным путем, и читатель может получить их в качестве упражнения.
Для антисимметричного нагружения, показанного на фиг. 13.6,6, в соотношениях (13.24) и (13.25) просто заменим синус на косинус и наоборот.
Величины усилий для каждой гармоники получим из выра-
RcosHQ
М = л
при 1,2,
= 2л
(13.28)
при / =0.
при /=1
,......J
при/ = 0. (13.29)
Аналогично для антисимметричного случая
Отсюда и из выражения для [kf видно, что при / = О, как и ожидалось, задача сводится к двумерной, а при симметричном нагружении становится, кроме того, и осесимметричной.
1ри антисимметричной нагрузке, когда 1= О, остается только одна система уравнений относительно переменной да. Это
соответствует действию постоянных тангенциальных усилий и эквивалентно задаче о кручении валов (фиг. 13.7). Последняя решается классическими методами с использованием функции напряжений [6] и для сравнения была исследована методом конечных элементов [7]. Рассмотренный здесь подход более естествен.
К расчету осесимметричных тел изложенный подход впервые был применен Вильсоном [8].
Фиг. 13.7. Кручение стержня переменного сечення.
На фиг. 13.8а и 13.86 приведен простой пример, иллюстрирующий влияние различных гармоник.
13.6. Осесимметричные оболочки при иесимметричиом иагружеиии
С помощью описанного подхода изложенный в гл. 12 метод расчета осесимметричных оболочек легко распространить на случай несимметричного нагружения. Однако теперь следует учесть три компоненты перемещений и усилий (фиг. 13.9). Будем рассматривать три мембранные и три изгибные компоненты и, обобщая формулу (12.1), определим деформацию
как [9]!)
.Xse
ди ds
-+(дасо5 +usin)i-\ ди , до . J I
1 dw
dw , dv , sin Ф dw
ds cos ф
гтф dw
dsdB
COS Ф dv
sin Ф cos Ф
3.30)
) По причине существования множества теорий оболочек можно использовать и другие соотношения. Приведенные здесь соотношения являются достаточно общепринятыми.
Фиг. 13.8а. Осесимметричиая башня ПОД действием несимметричиой нагрузки. При решении используются четыре элемента третьего порядка. Показаны гармоники, по которым раскладывается нагрузка.
(при 0>п11 знак меняется)
Суммврное напряжение
Фиг. 13.86. Распределение вертикальных напряжений а, в осаованни, соответствующих отдельным гармоникам, и суммарных напряжений. (Напряжение для третьей гармоники тождественно равно нулю.) Первые две гармоники позволяют получить практически точный результат.
10 JaK. 61;
глава 13
Фнг. 13.9. Осеснмметричная оболочка при несимметричном нагружении Перемещения и результирующие напряжений.
пмеетИТ напряжений, соответствующая этим деформациям,
(13.31)
в нее входят три мембранных и три изгибающих напряжения, показанные на фиг. 13.9.
Как и в предыдущем разделе, нагрузки и перемещения разделяются на симметричную и антисимметричную части. После этого при.менение метода не требует дополнительных пояснений.
Подробности читатель может найти в статье Графтона и Строума [10], в которой впервые была рассмотрена эта задача, и во многих других более поздних работах, перечисленных в гл. 12.
Некоторые примеры, иллюстрирующие применение полуаналитического метода к расчету толстых оболочек, даны в гл. 14.
13.7. Заключительные замечания
На нескольких примерах был проиллюстрирован достаточно общий полуапалитический метод, сочетающий в себе преимуще-
Пол1/аналитический метод конечных элементов
ства метода конечных элементов JCЭKoнoмичнocтью, обусловленной разложением по системе ортогональных функций. Конечно, Б этих примерах лишь в небольшой степени используются открывающиеся возможности, однако следует иметь в виду, -что метод действительно экономичен только для некоторых форм рассматриваемых тел и только в тех случаях, когда требуемое число членов разложения ограничено.
Аналогично могут быть решены задачи о призмах, если рассматривать только сегмент тела вращения (фиг. 13.10). Ясно,
Фиг. 13.10. Примеры призматических сегментных тел.
ЧТО теперь следует проводить разложение по углу /я6/а, а в остальном метод совпадает с описанным ранее.
Существуют и другие возможности скомбинировать преиму-чества аналитических методов с общностью численных методов. Например, если решение имеет особенности, связанные, скажем, с наличием сосредоточенных нагрузок, то их можно исключить с помощью точного решения и решить численно вспомогательную задачу, в которой устранены нарушения гладкости распределенных поверхностных сил. От численного решения при этом не требуется большой точности, и поэтому оно может быть получено более экономичным путем. Описание такого метода дано Зенкевичем и др. [11, 12].
В работе [13] в общих чертах описан несколько иной комбинированный метод, позволяющий исключить особенности, возникающие во входящих углах. Ограниченный объем книги не дает возможности продолжить обсуждение этого вопроса, одна-
