чальными напряжениями и т. д., имеют вид (13.14). Сосредоточенные вдоль линий нагрузки представляются непосредственно в виде узловых сил
sindz = {F}±, (13.20)
где [F] - интенсивности на единицу длины..
Граничные условия, которым удовлетворяют использованные выражения, соответствуют условиям свободного опирания бру-
Фиг. 13,2. Сведение расчета коробчатого моста к двумерной задаче с использованием изопараметрических элементов второго порядка.
са. С помощью аналогичных разложений можно удовлетворять другим граничным условиям.
Рассмотренный метод может быть применен ко многим практическим задачам, в частности к расчету бетонного моста, показанного на фиг. 13.2. Здесь особенно удобны криволинейные элементы сирендипова семейства второго или третьего порядка, описанные в гл. 7 и 8.
Отметим, что удвоение числа параметров и запись рядов в виде двух сумм
{f}=.YN(x, y)cosl{6) + YN{x, y)sin{b"} (13.21)
позволяют устранить некоторые ограничения на функции формы, определенные выражениями (13.1) или (13.13). Параметры {6} и {6} являются независимыми, и для каждой компоненты перемещений необходимо определять два значения и составлять два уравнения.
Другой вариант описанного выше приема состоит в представлении функции в виде
{f} = X[iV(x, у)е>-!-Цт\
где [Щ н {6} являются комплексными величинами. Тождественность этого выражения выражению (13.21) легко устанавливается, если учесть, что
gi9 cos 9 -f ( sin 9.
Для оперирования с комплексными величинами имеются стандартные программы.
13.3. Коробчатая конструкция
В предыдущем разделе трехмерная задача сводилась к двумерной. Здесь же показано, что аналогичная задача может быть решена с использованием одномерных элементов (фнг. 13.3).
Фиг. 13.3. Расчет «мембранной» коробчатой конструкции с помощью одномерных элементов.
Коробчатая конструкция выполнена из тонких листов, способных воспринимать нагрузку только в своей плоскости. Как и в предыдущем случае, в каждой точке необходимо рассматривать три перемещения, для каждого из которых можно задать одинаковый закон изменения. Однако типичный элемент ij является одномерным в том смысле, что интегрирование надо производить только вдоль линии (/ и напряжения учитываются
только в этом направлении. Легко показать, что решение этой, задачи аналогично решению задачи о шарнирио-стержневой системе.
13.4. Чистый изгиб пластин и коробчатых конструкций
Рассмотрим прямоугольную свободно опертую по краям пластину, вся энергия деформации которой уходит на изгиб. В этом случае деформированное состояние полностью определяется только одним перемещением w (см. гл. 10).
Фиг. 13.4. Метод «полос» для плит.
Обозначим через у направление, в котором геометрия и свойства материала не изменяются (фиг. 13.4). Чтобы обеспечить непрерывность угла наклона, функции формы должны содержать параметр О,-, характеризующий угол поворота.
Воспользуемся балочными функциями и для типичного элемента ij запишем
что обеспечивает выполнение условий свободного краев. Типичными узловыми параметрами являются
(13.22) опирания
(13.23)
Необходимым требованиям удовлетворяют функции формы третьего порядка, которые, по существу, идентичны функциям, использованным для расчета осесимметричных оболочек (гл. 12). Следуя определениям гл. 10, находим деформации (искривле-
ния) и составляем матрицу [В]. Таким образом, двумерная задача сведена к одномерной.
Этот метод разработай Ченгом [1--3] и назван им методом «конечных полос». Он использовался для решения ряда задач о прямоугольных пластинах, коробчатых балках, оболочках и различных складчатых конструкциях из пластин.
Для разъяснения уместно привести один пример из указанных работ. Это задача о квадратной равномерно нагруженной пластине с тремя свободно опертыми сторонами и одной защемленной. При решении использовались десять элементов-полос по оси X. В табл. 13.1 приведены результаты, соответствующие первым трем гармоникам.
Таблица 13.1
Квадратная пластина с тремя свободно опертыми и одной защемленной сторонами под действием равномерно распределенной нагрузки ч
v=0,S
Прогиб в центре пластины
Момент в центре пластины
Максимальны!) отрицательный момент М
1 = 2 1 = 3 2
0,002832 -0,000050 0,000004 0,002786
0,0409 -0,0016 0,0003 0,0396
-0.0858 0,0041 -0,0007 -0,0824
Точное решение
0,0028
0,039
-0,084
Множитель
Важно не только то, что точное решение для каждой гармоники / получить довольно просто, поскольку приходится определять лишь девять неизвестных, но и то, что члены высших порядков быстро уменьшаются.
Обобщение этого метода на случай коробчатой конструкции, для которой существенны и мембранные и изгибные эффекты, представляется почти очевидным, если этот пример рассмотреть вместе с примером предыдущего раздела.
В другой статье Ченга [4] показано, что можно использовать и отличные от тригонометрических функции, хотя при этом возможно лишь частичное разделение задачи.
13.5. Осесимметричные тела при несимметричном нагружении
Наиболее характерным и, по всей видимости, самым ранним практическим применением разложения Фурье явилось исследование осесимметричных тел под действием несимметричной нагрузки.
В этом случае, кроме радиального (и) и осевого (у) перемещений (как в гл. 5), следует рассматривать и тангенциальную компоненту w, соответствующую направлению угла 9 (фиг. 13.5). Именно в этом направлении геометрия и свойства материала постоянны, поэтому его следует исключить.
В целях упрощения рассмотрим отдельно симметричные и антисимметричные относительно оси 9 = 0 компоненты нагрузки. Используя только выражения для узловых сил (выражения
Фиг. 13.5, Осесимметричное тело. Координаты и перемещения.
для объемных сил, краевых условий, начальных деформаций и т. д. аналогичны), запищем силы на единицу длины по окружности (фиг. 13,6, а) в виде .
L
R=T. Rcos IB,
Z=i; Zcos/9,
(13.24)
T=ZTsml(i
no осям координат для симметричной нагрузки. Для Т используется несимметричное разложение по синусам, чтобы сохранить в направлении Т симметрию при 9 > я.
Компоненты перемещений снова описываются двумерными (г,г) функциями формы, соответствующими используемому типу элемента; вследствие симметрии они имеют aHa,forH4HbiH
Фиг. 13,6, Симметричные (а) и антисимметричные (б) компоненты перемещений и нагрузок в осесимметричном теле.
выражению (13.13) вид
u = [N[, т, ...] cos Ш{иУ,
v=[Nu Ni, ...lcos;9{t>r. (13.25)
w = [m, m, ...]smlQ{wY.
В дальнейщем необходимо использовать общее выражение деформации в цилиндрических координатах для трехмерного случая (см. [5])
