•С помощью обычного метода конечных элементов можно решать любые двумерные н трехмерные (или даже четырехмерные) задачи). Однако добавление каждого нового измерения увеличивает необходимое для расчета время, и иногда решение задачи выходит за рамки возможностей машины. Поэтому желательно искать пути сокращения объема вычислений. Ниже будет рассмотрен один класс таких методов, имеющих широкое применение.
Во многих физических задачах геометрия и свойства материала не зависят от одной из координат. Однако нагрузка в этом направлении может быть переменной, что мешает непосредственному переходу от трехмерной задачи к двумерной задаче о плоском деформированном состоянии. В таких случаях все же можно рассматривать упрощенную задачу меньшей размерности (без координаты, вдоль которой свойства не изменяются) и полное решение составить из набора упрощенных решений.
Излагаемый здесь метод носит достаточно общий характер, и, разумеется, его применение не ограничивается только задачами строительной механики. Однако удобно использовать терминологию строительной механики и применить теорему о минимуме потенциальной энергии.
Итак, рассмотрим задачу минимизации квадратичного функционала, описанного в гл. 2 и 3.
Пусть X, у, Z - координаты в некоторой области (не обязательно декартовы). Вдоль координаты г геометрия и свойства материала не изменяются, а значения этой координаты заключены в интервале
0<г<а.
Предположим, что функции формы {/), определяющие закон изменения перемещений [равенство (2.1)], можно записать в
) См. гл. 16, посвященную применению конечных элементов в нестационарных задачах.
виде произведения
{t} = [N(x, у, 2)1 {6Г =
= Х1< y)]ob + [N{x, г/)] sin
{Ьу. (13.1)
При этом мы не ограничиваем общности, ибо с помощью рядов Фурье можно представить любую непрерывную функцию внутри заданной 2(5ластн (прн условии, естественно, что функции фор-мы iV и iV в области определения х, у удовлетворяют тем же самым требованиям). Аналогично и для нагрузки получаем
{р}=Е({Р/К у)}соъ+Ых, У)}s\r), (13.2)
причем это выражение справедливо как для массовых так и для поверхностных нагрузок (см. гл. 2).
Начальные деформации или напряжения, если оии существуют, можно представить в таком же виде.
Применяя стандартные приемы гл. 2 для определения вклада элемента в уравнение, минимизирующее потенциальную энергию, и рассматривая толь1со вклад {р}, можно записать
(13.3)
В этом выражении, чтобы избавиться от знака суммы, в векторы [ЬУ включены компоненты для каждого значения /. Теперь типичная подматрица Щ будет иметь вид
[k"Y=\[BY[D\{B"]dкdudz, (13.4)
а типичная компонента вектора силы
{FY = \\ \[NY{p}dxdydz.
(13.5)
Ясно, что матрица, определяемая соотношением (13.4), содержит в качестве множителей при различных подматрицах еле-
ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
дующие интегралы:
Sin-cos-dz,
Sin -- dz.
(13.6)
cos-?51cosd3.
Эти интегралы появляются при перемножении производных, входящих в выражение для [В], и благодаря известному свойству ортогональности
2 = 4 = 0 для 1фт (13.7)
при /= 1, 2, ... и m = I, 2, ... .
Интеграл /, равен нулю, только когда / и т одновременно четные или нечетные. Однако в большинстве практических случаев член, содержащий пропадает. Это означает, что матрица [kf становится диагональной, уравнения для ансамбля имеют вид
[/С"]
• = 0 (13.8)
и полная система уравнений разбивается на L отдельных подсистем
[/C"l{6} + {f} = 0, (13.9)
где
=\\\ [ВП [D] [в;-] dx dy dz. (13.10)
Из соотношений (13.5) и (13.2) следует, что вследствие свойства ортогональности (13.6) типичное выражение для компоненты нагрузки принимает вид
lУ = \\\{fV{p}dxdydz. (13.11)
Отсюда видно, что 1-я гармоника нагрузки входит только в l-to подсистему (13.9) и не влияет на остальные уравнения. Это крайне важное свойство имеет большое практическое значение.
поскольку оно означает, что если разложение нагрузки в ряд содержит только один член, то необходимо решать лишь одну подсистему уравнений. С уменьшением размеров разбиения лишь в области х, у решение будет стремиться к точному. В итоге трехмерная задача сводится к двумерной, что приводит к сокращению затрат машинного времени.
Очевидно, что аналогичным образом можно свести двумер ные задачи к одномерным и т. д., причем это относится не толь ко к задачам теории упругости. К любой физической задаче сводящейся к минимизации квадратичного функционала (гл. 3) можно применить этот подход, который в том или ином виде не пользовался в строительной механике с незапамятных времен
Следует обращать особое внимание на граничные условия накладываемые на {f}. Для полного разделения задачи гранич ным условиям должен удовлетворять каждый член ряда (13.1) Задание нулевых перемещений в упрощенной задаче фактически означает задание нулевых перемещений вдоль оси г. Поэтому составление окончательной матрицы довольно затруднительно. Это несколько ограничивает возможности применения описанного метода.
Когда нагружеиие таково, что требуется учитывать большое число фурье-компонент, преимущества изложенного метода уменьшаются и иногда бывает экономичнее решать исходную задачу.
Очевидно, что возможны видоизменения основного соотношения (13.1). Так, например, с каждым из тригонометрических членов можно связывать свою независимую систему парамет-
ров {б)«. К функции.
)оме того, можно использовать другие ортогональные ак как особенно часто применяются тригонометри-
ческие функции, напомним читателю следующие соотношения:
С . /яг
/яг /яг , п i п 1
- COS - dz = О, когда / = О, 1, ...,
(13.12)
smdz=\cosdz = , когда / = 1, 2.....
13.2. Призматический брус
Рассмотрим призматический брус, показанный иа фиг. 13.1, который при 2 = 0 и г=: а закреплен так, что исключаются какие-либо перемещения в плоскости х, у, а в направлении г брус перемещается свободно. Задача существенно трехмерная, поэтому должны быть рассмотрены три компоненты перемещений и, V и W.
Разбивая область в плоскости х, у на конечное число элементов, можно задать 1-т компоненту перемещения в направлении I в виде
u = [Nu N,, ...]ът{и}. (13.13)
Для о и w можно записать аналогичные выражения, но в последнее будут входить косинусы. В этих выражениях N\ и т. д.-
Фиг. 13.1. Сведение задачи о призматическом брусе к набору двумерных конечно-элементных задач.
(скалярные) функции формы, соответствующие используемому элементу. Если, как показано на фиг. 13.1, применяются треугольники, то функции формы задаются соотношением (4.8) гл. 4.
Однако могут использоваться также более точные элементы, описанные в гл. 3 (с использованием преобразований гл. 8 или без них). Разложение (13.13) обеспечивает равенство нулю перемещений « и у и осевых напряжений на концах бруса.
Нагрузку тоже можно представить в виде рядов Фурье, тогда для компонент в плоскости х, у имеем
{p} = {p}sin. (13.14)
Если задача существенно трехмерная, то выражение для деформации должно содержать все шесть компонент. Такое выраже-
ние приведено в гл. 6 [см. соотношения (6.9) -(6.11)]. После подстановки функции формы (13.13) для типичного члена матрицы [В] получим
дх "V
dNt - sin Y ду "
-iVsinv
[в!] =
-г- sin Y
Л;- cosy
, In у,-cosy
дх Y
(13.15)
где Y = Ьг/а. Удобно представить это выражение -в виде суммы
[B!] = [Bnsini-f[B]cos
(13.16)
Во всех приведенных соотношениях полагалось, что параметры располагаются в обычном порядке:
1«!
(13.17)
а оси координат направлены, как показано на фиг. 13.1.
Матрица жесткости вычисляется обычным образом, если принять во внимание, что
[й1;Г= \ \ \ IbiT[D][bi] dxdydz. (13.18)
Это соотношение после подстановки в него выражения (13.16), перемножения и использования (13.12) принимает вид
[;;j=.S] mY\D]m+{W\D]m-\)dxdy, (13.19)
где /= 1, 2.....
Интегрирование теперь производится по площади элемента ). Члены, обусловленные распределенной нагрузкой, на-
) Следует отметить, что теперь даже в случае простого треугольника интегрирование нетривиально, так как в [В] входят некоторые линейные члены.
