Если толщина элемента переменная, то и ее закон изменения можно аппроксимировать этими же функциями.
Элемент такого типа будет нзопараметрическим (см. гл. 8).
Таким образом, геометрию оболочки можно характеризовать координатами
(12.18)
При заданных узловых значениях эти соотиощения устанавливают взаимно однозначное соответствие между и положением точки на поверхности криволинейного элемента (фиг. 12.5,6).
Координаты ri и г,- известны, кроме них, на концах известны только углы наклона
Значения производных, входящих в ба I вдоль касательной s. Задано только соотношение
(12.19)
12.18), зависят от масшта-
(12.20)
Производные (drldl)i или (dzidl) могут в принципе иметь произвольную величину. Здесь, однако, необходимо учитывать практические соображения, так как при некоторых значениях производных можно получить негладкую зависимость между s и При неудачном выборе кривая может быть негладкой и образовывать петлю между узлами.
Для того чтобы получить достаточно гладкие поверхности, можно положить
замечая, что длина всего интервала \ между узлами равна 2.
12.5. Выражения для деформаций и свойства криволинейных элементов
До сих пор речь шла о представлении глобальных перемещений, хотя деформации в соответствии с (12.1) определяются через производные от локальных перемещений по касательной s.
Поэтому, для того чтобы получить выражения для деформаций, требуется произвести некоторые преобразования.
Если принять, что изменение глобальных перемещений описывается функцией формы (12.16)
(12.22)
то с помощью преобразования (12.7) легко найти локальные перемещения и, W ъ виде
COS i(i sin i(i
(12.23)
где -угол между касательной к кривой и осью z (фиг. 12.5). Этот угол надо выразить через координату g. Очевидно, что
"=-(*)/(f)-
(12.24)
и, следовательно, использование формул (12.18) позволит сделать это.
Посмотрим далее, можно ли наложить условия непрерывности в узлах на параметры, входящие в (12.22). Ясно, что глобальные перемещения должны быть непрерывны. Однако в предыдущих случаях требовалась непрерывность только угла поворота касательной. Здесь же требуется непрерывность производных от перемещений по s. Следовательно, величины
dw ds
в узлах смежных элементов должны иметь одинаковые значения.
Поскольку
da da I ds dw dw / ds
ds ds
dll dl ds dll dl
(12.25)
при подстановке этих новых переменных в выражения (12.22) и (12.23) не возникает никаких трудностей. В результате они прн-
нимают ВИД
= [N(mW, где {б,} =
( dw\
(12.26)
Функция формы состоит из подматриц размерности 2X4 и ее можно получить в явном, хотя и довольно сложном виде.
Если рассматриваются оболочки с патрубками или оболочки с резко меняющейся толщиной, то узловые параметры в (12.26) использовать не следует. В этом случае их лучше представить в виде
{5,} =
где р,- = dwids - угол поворота а узле, и связать между собой только три первых параметра. Четвертая величина будет свободным параметром, минимизация по которому производится в обычном порядке. Необходимые преобразования осуществляются с помощью соотношения (12.23).
В выражение для матрицы деформаций [В], как видно из определения (12.1), входят и первая и вторая производные по s). Если вспомнить, что производные легко вычислить по правилам, уже использованным при получении (12.25), то для произвольной функции F можно записать
dF ds £F ds
dF [ds
dl I dl
H получить все элементы матрицы [В].
Наконец, матрица жесткости получается после замены переменных в соотношении (12.14)
rfs = -ds (12.28)
и интегрирования в пределах от -1 до -f-l.
) Заметим, что здесь s рассматривается как направление касательной, поэтому dijj/as = 0.
Как и ранее, функции, входящие в интегралы, не позволяют выполнить интегрирование точно, поэтому обычно используется численное интегрирование. Интегрирование производится только по одной координате, так что оно не требует больших затрат времени, и для достаточно точного вычисления жесткости можно использовать необходимое количество гауссовых точек интегрирования.
Матрицы напряжений и другие матрицы вычисляются аналогично.
Приведенная здесь в общих чертах иаопараметрическая формулировка несколько отличается от других [1, 7, 8, 10]. Она обладает тем преимуществом, что позволяет учитывать перемещения элемента как твердого целого и удовлетворяет критерию постоянства первой производной. Доказательство этого проводится так же, как и в разд. 8.5 гл. 8. Другие формулировки допускают деформации при перемещениях элемента как жесткого целого, что, как показано в работе [13], в некоторых случаях не очень опасно. Однако при некоторых видах несимметричных нагрузок (см. гл. 13) этот недостаток может оказаться серьезным препятствием и привести к совершенно неверным результатам. I
При применении любых из рассмотренных здесь конечных элементов состояние постоянного искривления не только не может быть достигнуто, но ифизически невозможно. Однако можно убедиться, что такое состояние достижимо в пределе прн уменьшении размеров элемента.
12.6. Дополнительные неузловые переменные
Введение дополнительных неузловых переменных при расчете осесимметричных оболочек особенно важно, так как оио позволяет достаточно точно аппроксимировать реальную форму при использовании элементов больших размеров.
Добавление выражения
(12.29)
где uj - множество внутренних параметров элемента, а Ы" - множество функций, имеющих в узловых точках нулевые значения и нулевые первые производные, к выражениям для нормальных перемещений в (12.26) позволяет значительно улучшить аппроксимацию перемещений без нарушения сходимости (см. гл. 2).
Для тангенциальных перемещений можно не требовать обращения в нуль первых производных в узлах.
Вебстер [И] использовал такие дополнительные функции для прямолинейных элементов.
Независимо от того, прямолинеен нлн криволинеен элемент, к компонентам перемещений, определяемым соотнощением
(12.22), можно добавить выражение (12.29). Если это сделано только для перемещений, а выражения для координат не изменяются [формула (12.18)], то элемент становится элементом субпараметрического типа ). Как показано в гл. 8, он обладает теми же преимуществами, что и изопараметри-ческий элемент.
Особую важность имеет вопрос о том, какие именно выражения должны использоваться для дополнительных функций формы, хотя выбор их достаточно щнрок. Так как прн этом не обязательно использовать полиномы, Делпак [9] применил специальную форму полиномов Лежандра, предложенную Айронсом. Дополнительные функции формы общего вида показаны на фиг. 12.6.
ЛИТЕРАТУРА
1. Grafton Р. е., Strome D. R., Analysis of Axi-Symmetric Shells by the Direct Stiffness Method, JAIAA, I, 2342-2347 (1963); есть русский перевод: Графтои, Строум, Расчет осесимметричных оболочек методом прямого определения жесткости, Ракетная техника и космонавтика, I, № 10, стр. 129- 136 (1963).
2 Popov Е. Р., Penzien J,, Lu Z. A., Finite Element Solution for Axi-Symmetric Shells, Proc. ASCE, EM, 119-145 (1964).
3. Jones R. E., Strome D. R„ Direct Stiffness Method of Analysis of Shells of Revolution Utilising Curved Elements, lAIAA, 4, 1519-1525 (1966); есть русский перевод: Джонс, Строум, Расчет оболочек вращения прямым методом жесткостей с помощью криволинейных элементов. Ракетная техника и космонавтика, 4, № 9, стр. 20 (1966).
4. Percy J. Н., Plan Т. Н. Н., Klein S., Navaratna D. R., Application of Matrix Displacement Method to Linear Elastic Analysis of Shells of Revolution,
фиг.
12.6. Внутренние функции для линейного э.темента.
формы
) Очевидно, что можно было бы включить эту новую функцию формы в общее выражение, характеризующее форму элемента, но практически это не дало бы больших преимуществ, так как кубичный закон позволяет достаточно точно воспроизвести любую реальную форму.
JAIAA, 3, 2138-2145 (1965); есть русский перевод; Перси, Пиаи, Клейн, Наваратна, Приложение матричного метода к линейному упругому анализу оболочек вращения, Ракетная техника и космонавтика, 3, № 11, стр. 199-208 (1965).
5. Klein S., А Study of the Matrix Displacement Methods as Applied to Shells of Revolution, Proc. Conf. on Matrix Method in Structural Mech., Air Force Inst, of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, Oct. 1965.
6. Jones R. E., Strome D. R, A Survey of Analysis of Shells by the Displacement Method, Proc. Conf. on Matrix Methods in Structural Mech., Air Force Inst, of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, Oct. 1965.
7. Stricklin J., Navaratna D. R., Plan T. H. H„ Improvements in the Analysis of Shells of Revolution by Matrix Displacemenl Method (Curved Elements), AIAA Int., 4, 2069-2072 (1966); есть русский перевод: Стриклин, Наваратна, Пиан, Усовершенствование расчета оболочек вращения матричным методом перемещений, Ракетная техника и космонавтика, i, № 11, стр. 252- 254 (1966).
8. Khojasteh-Bakht М„ Analysis of Elastic-Plastic Shells of Revolution Under Axi-Symmetric Loading by the Finite Element Method, Dept. Civ. Eng. Univ. of California, SE SA 67-68, 1967. •
9. Delpak R., Axi-Symmetric Vibration of Shells of Revolution by the Finite Element Method, M. Sc. Thesis, Univ. of Wales, Swansea, 1967.
10 Giannini M, Miles G. A., A Curved Element Approximation in the Analysis of Axi-Symmetric Thin Shells, Int. J. Кит. Meth. in Eng., 2, 459-476 (1970).
11. Webster J. J., Free Vibration of Shells of Revolution Using Ring Elements, Int. J. Mech. Sci., 9, 559 (1967).
12. Новожилов В. В., Теория тонких оболочек, Судпромгиз, 1951.
13. Haisler W. Е., Stricklin J. А., Rigid Body Displacements of Curved Elements in the Analysis of Shells by the Matrix Displacement Method, JAIAA, 5, 1525-1527 (1967); есть русский перевод Хейслер, Стриклин, Перемещения недеформируемых криволинейных элементов в расчете оболочек матричным методом перемещении, Ракетная техника и космонавтика, 5, № 8, стр. 207-209 (1967),
