Если положить, что и зависит от 5 линейно, а w является полиномом третьей степени от s, то получим щесть неизвестных постоянных, которые можно определить по узловым значениям «, ш и р. В узле i
cos sin # 0 - sin cos 0 0 0 1J
Л = ШЬЛ. (12.7)
Записывая
u = a, + ajS, легко составить щесть уравнений и найти)
(12.8)
l-3s-f2s"
L (s-2s2 + s3)
3s2 2s3
(12.9)
Обозначая через матрицу размерности 2X6, можно записать
Щ о о \ц\
W=[[ivj] [Л], [jv;] [А]] {6} = \щ {5}
(12.10)
) функции, которые при этом появляются, представляют собой иолнвомн Эрмита нулевого и первого порядков (см. разд. 10.14),
Используя определение (12.1), нетрудно по (12.10) получить матрицу деформаций [В]:
1В,] =
{е} = [В]{бГ = [[В(][Л], [В,][Я]]{5Г,
(12.11)
. 0
- 5) sin Ф
(1 -Зз + 2з)совф
Z. (s- 2s2 + s3) cos Ф
(6-12/)
(4-6s) Z.
(6s - 6s2)sin0
(-1 -f 4s- 3s2) sin Ф
lB/] =
s sin Ф
(3s - ?s) созФ r
(-6+ l?s) L
(-6s + 6s) sin 0 rL
Z.(-s-bs3)cos. r
(2 - 6s)
£
(2s - Ss") sin Ф r
(12.12)
Теперь известны все составляющие, необходимые для составления матрицы жесткости (или матрицы нагрузки, перемещений, напряжений и начальных напряжений) по стандартным формулам гл. 2. Интегрировать надо по площади А элемента, т. е.
dA = 2лг ds = 2nrL ds,
где s изменяется от О до 1.
Следовательно, в соответствии с (2.10) имеем 1
[/е]= [ВПО] [В] 2nrL ds.
(12.13)
(12.14)
Типичная подматрица этой матрицы имеет вид
[U= txrj [BrV[D][B,]rds [I] 2п1. (12.15)
Перед интегрированием необходимо выразить радиус г через S.
Как н раньше, удобно использовать численное интегрирование. В работе Графтона и Строума [1] приведены явные выражения для матрицы жесткости, полученные на основе вычисления
лишь ОДНОГО среднего значения подынтегральной функции и при использовании матрицы [D\ ортотропного материала. Даже такая грубая аппроксимация позволяет получить очень хорошие результаты при условии, что размеры элементов малы.
Перси и др. [4] и Клейн [5] провели численное интегрирование по семи точкам и получили несколько улучшенную матрицу, хотя она и не приведена в явном виде.
Следует помнить, что если заданы действующие по окружности нагрузки или моменты, то в расчеты должно закладываться их полное окружное значение, так же как это делалось в случае осесимметричных тел, рассмотренных в гл. 5.
12.3. Примеры и точность
Для рассматриваемых здесь осесимметричных оболочек условия непрерывности выполняются. Поэтому для полигональных оболочек всегда будет наблюдаться сходимость.
Проблема аппроксимации криволинейной оболочки полигональной аналогична проблеме, рассмотренной в гл. И. Числовые расчеты подтверждают ожидаемую сходимость.
Когда нагрузка вызывает в основном мембранные напряжения, даже при достаточно мелком разбиении наблюдается некоторое расхождение в значениях изгибающих моментов. Однако с дальнейшим уменьшением размеров разбиения оно исчезает, особенно если при расчете значения моментов усредняются. Это необходимо делать для исключения влияния замены оболочки набором усеченных конусов. На фиг. 12.3 и 12.4 показано несколько типичных примеров, взятых из работы Графтоиа и Строума [1].
12.4. Криволинейные элементы и их функции формы
В гл. 8 уже рассматривались искривленные (криволинейные) Элементы, причем в выражение для деформации входили только первые производные. В данном случае это выражение содержит вторые производные [см. (12.1)], и поэтому некоторые теоремы гл. 8 здесь неприменимы.
Ранее упоминалось, что для исследования осесимметричных оболочек предложено множество криволинейных элементов [7-10]. Элемент, описанный здесь, получен Айронсом и Делпа-ком [9]; в соответствии с терминологией гл. 8 он относится к элементам субпараметрического типа.
Основой для определения криволинейного элемента служит общая касательная между смежными элементами (или заданное направление касательной). Это необходимо, чтобы избежать «изломов» прн описании практически гладкой оболочки.
. 7.62
Ш-1.27
0,25 0.50 0J} W0 as ISO
X, CM
и = 0,30 171 Н/м tO.OJCM
г,54см
Г-12,7см
5.0ecM\5,oelMj
Случай! Sпо0,51 см Сл11чайг OioOSc Случай 3 W по 0.13 см в
0,25 0,5 0,75 100 ЦБ 1,5 2.0 X. СМ
Число элементов
Фиг. 12.3. Расчет цилиндрической оболочки методом конечных элементов
(Графтои и Строум, JAlAA, 1963). а: -теоретическое решение; Д случай 1, ошибка определения максимального перемещения 31,7%; □ случай 2, ошибка опредеденяя максимального перемещения П,1?6: О случай 3, ошибка определения максимального перемещения 3,1 ?й.
б; -теоретическое решение; Д случай 1, ошибка определения максимального мо-
ыента 28,8?»; D случай 2. ошибка определения максимального момента \X-fi%; О случай 3, ошибка дпределеаия максимального момента 2)5?,
V = 0,33
Расположение узлов М с интервалом 0,5°
7 с интервалом 1,0 .3 с интервалом 2.0°
с интервалом
5,0В\-
. 3.S1
г, 54
-теоретическое решение
о расчетные аначвния
\ Момент
Перемещение
\ 1 >1 1
Ъ 35 40 °>>->л=2:--
осыо вращения f, spaff
Фиг 12 4 Расчет полусферической оболочки методом конечных элементов (Графтон и Строум, JAIAA, 1963).
Сначала рассмотрим прямолинейный исходный элемент, для которого неизвестная функция ф выражается через свои узловые значения и значения углов наклона в точках 1, 2 (фнг. 12.5). Координата изменяется от -1 до -fl (как в примере гл. 8).
Используя принятые обозначения, можно записать
=E(iv{(+Ar()j=m{?r. (12.16)
Здесь Л и N" - скалярные функции формы, которые при задании в виде полинома имеют третий порядок Гкак в соотношении (12.9) для W].
Гг- г,
Фиг. 12.5. Криволинейный изопараметрнческий элемент оболочки для осесимметричных задач, а -исходный элемент; б -криволинейные координаты.
Эти функции записываются в виде
(12.17)
где о = Ы-
Их можно одновременно использовать и для описания закона изменения глобальных перемещений Д и ш) и для задания координат г и 2 оболочки (срединной поверхности).
) Отличие от предыдущего случая состоит в том, что теперь обе ком-, поненты перемещений в элементе изменяются по крайней мере по кубиче- скому закону, тогда как ранее допускался линейный закон изменения тангенциального перемещения. Однако при условии, что толщина оболочки изменяется непрерывно, эта дополнительная степень свободы не приводит к чрезмерным требованиям непрерывности.
