Матрицы для мембранных напряжений {гл. 4) определялись в предположении непрерывности перемещений между соседними элементами. В элементах, работающих на изгиб (гл. 10), условие непрерывности также выполнялось, хотя было показано, что даже при нарущении условий непрерывности производной результаты получаются достаточно хорошими.
Функции перемещений, удовлетворяющие условиям непрерывности между элементами, лежащими в одной плоскости, в общем случае будут давать разрывные перемещения, если происходит сдвиг плоскостей элементов. Таким образом, конечно-элементная аппроксимация, использованная в настоящей главе, всегда основана на несогласованных функциях перемещений и ее сходимость можно подтвердить только экспериментально.
Если в реальной оболочке разрывов не возникает, то при уменьшении размеров элементов несогласованность становится меньше и ошибки аппроксимации реальной формы плоскими элементами и использования несогласованных функций исчезают.
Размеры разбиения, необходимого для получения приемлемой точности в. задачах теории оболочек, зависят от многих причин. Часто оказывается, что при малой толщине оболочки область действия изгибающих моментов ограничена краевой зоной, где происходит значительное изменение этих моментов. При этом мембранные силы вычисляются точно даже при очень грубом разбиении, но, чтобы уловить изменение моментов вблизи границ, требуется крайне мелкое разбиение. Однако для исследования краевого эффекта разработаны относительно простые приближенные аналитические методы, поэтому метод конечных элементов применяется главным образом для решения задач об оболочках средней толщины с различного рода неправильностями, вырезами и т. д., в которых учет изгиба так же важен, как и учет мембранных сил.
ЛИТЕРАТУРА
1. Flflgge W., Stresses in Shells, Springer-Verlag, Berlin, 1960.
2. Greene B. E., Strome D. R., Weikel R. C, Application of the Stiffness iVlet-hod to the Analysis of Shell Structures, Proc. Aviation Conf., Amer. Soc. Mech. Eng., Los Angeles, March 1961.
3. Clough R. W., Tocher J. L., Analysis of Thin Arch Dams by the Finite Element Method, in: Proc. of Symp. on Theory of Arch Dams, Southampton Univ., 1964 (Pergamon Press, 1965).
4. Argyris J. H., Matrix Displacement Analysis of Anisotropic Shells by Triangular Elements, J. Roy. Aer. Soc, 69, 801-805 (Nov. 1965).
5. Clough R. W., Johnson C. P., A Finite Element Anproximation for the Analysis of Thin Shells, J. Solids and Struct., 4, 43-60 (1968).
9 Зак, 613
6. Zienkiewicz О. С, Parekli С. J, King I. Р., Arcli Dams Analysed by a Linear Finite Element Shell Solution Program, Proc. Symp. Arch Dams., Inst. Civ. Eng., London, 1968.
7. Zienkiewicz O. C, Cheung Y. K., Finite Element Procedures in the Solution of Plate and Shell Problems, Ch.8 in: Stress Analysis, Zienkiewicz O. C, Holister G. S., eds., Wiley, 1965.
8. Zienkiewicz O. C, Cheung Y. K., Finite Element Method of Analysis for Arch Dam Shells and Comparison with Finite Difference Procedures, Proc. of Symp. on Theory of Arch Dams, Southampton Univ., 1964 (Pergamon Press, 1965).
9. Bogner F. K., Fox R. L., Schmidt L. A., A Cylindrical Shell Element, JAIAA, 5, 745-750 (1967); есть русский перевод; Богнер, Фокс, Шмнт, Расчет цилиндрической оболочки методом дискретных элементов, Ракетная техника и космонавтика, 5, № 4, стр. 170-175 (1967).
10. Contin G., Clough R. W., A Refined, Curved, Cylindrical Shell Element, AIAA Conf., Paper 68-176, N. Y., 1968.
11. Bonnes G., Dhatt G., Giroux Y. M., Robichaud L. P. A., Curved Triangular Elements for Analysis of Shells, Proc. 2nd Conf. Matrix Meth. in Struct. Mech., Air Force Inst. Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1968.
12. Strickland G. E., Loden W. A., A Doubly Curved Triangular Shell Element, Proc. 2nd Conf. Matrix Meth. in Struct. Mech., Air Force Inst. Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1968.
13. Greene B. E., Jones R. E., Strome D. R., Dynamic Analysis of Shells Using Doubly Curved Finite Elements, Proc. 2nd Conf. Matrix Meth. in Struct. Mech., Air Force Inst. Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1968.
14. Connor J., Brebbia C, Stiffness Matrix for Shallow Rectangular Shell Element, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 93, EM 43-65 (1967).
15. Carr A. J., A Refined Finite Element Analysis of Thin Shell Structures Including Dynamic Loading, SEL Rept. № 67-9, Univ. of California, Berkeley, 1967.
16. Cowper G. R., Lindberg Q. M., Olson M. D., A Shallow Shell Finite Element of Triangular Shape, /. Solids and Structs., 6, 1133-1156 (1970).
17. Utku S., Stiffness Matrices for Thin Triangular Elements of Non Zero Gaussian Curvature, JAIAA, 5, 1659-1667 (1967); есть русский перевод: Утку, Матрица жесткостей для тонких треугольных элементов ненулевой гауссовой кривизны, Ракетная техника и космонавтика, 5, № 9, стр. 150-159 (1967).
18. Ahmad S., Curved Finite Elements in the Analysis of Solid Shell and Plate Structures, Ph. D. Thesis, Univ. of Wales, Swansea, 1969.
19. Ahmad S., Irons B. M., Zienkiewicz O. C, A Simple Matrix-Vector Handling Scheme for Three Dimensional and Shell Analysis, In. J. Num. Meth. Eng., 2, 509-522 (1970).
2ft Parekh С J., Finite Element Solution System, Ph. D. Thesis, Univ. of Wales, Swansea, 1969.
21. Albasiny E. L., Martin D. W., Bending and Membrane Equilibrium in Cooling Towers, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 93, EM3, 1-17, (1967).
22. Scordelis A. C, Lo K. S., Computer Analysis of Cylindrical Shells, /. Am. Concr. Inst, 61 (May 1964).
23. Mark R., Riesa J. D., Photoelastic Analysis of Folded Plate Structures, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 93, EM4, 79-83 (1967).
12.1. Введение
Проблема расчета осесимметричных оболочек имеет большое практическое значение, поэтому в этой главе описаны специальные методы ее исследования.
Хотя для расчета таких оболочек применим и общий метод, изложенный в предыдущей главе, за счет учета осевой симметрии конструкции можно достигнуть существенных упрощений. В частности, если и оболочка и нагрузка симметричны, элемент становится одномерным. Этому простейшему типу элемента в предыдущих главах уделялось мало внимания.
Впервые к решению осесимметричных задач метод конечных элементов был применен Графтоном и Строумом [1]. В качестве элементов они рассматривали простые усеченные конусы и использовали метод перемещений. Более строгий вывод матриц жесткости проведен в работах [1-3], а предложенное Графтоном и Строумом [1] обобщение метода на случай несимметричной нагрузки подробно описано в работах [4-6].
Позднее появилось много работ, посвященных применению криволинейных элементов и улучшению с их помощью используемых аппроксимаций. Привести здесь полный список литературы практически невозможно. В работах [7-10] показываются возможности применения различных криволинейных координат, а в статьях [9, 11J обсуждается использование для повышения точности дополнительных неузловых степеней свободы.
В осесимметричных оболочках, как и в любых других, существуют и изгибные и мембранные усилия. Они однозначно определяются величинами обобщенных деформаций, под которыми в данном случае понимаются растяжения и искривления срединной поверхности; Если перемещения каждой точки срединной поверхности известны, то такие деформации и результирующие внутренних напряжений, или просто напряжения, определяются по" формулам, которые можно найти в обычных курсах теории оболочек.
Например, перемещение точки срединной поверхности осе-симметричной оболочки (фиг. 12.1), находящейся под действием осесимметричной нагрузки, однозначно определяется двумя компонентами и и да по касательной и нормали к поверхности.
ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ОБОЛОЧКИ
Фиг. 12.1. Осесимметричиая обо.точка, перемещения и результирующие напряжений. Оболочка представлена в виде набора конических оболочек.
При условии, что угол ф не меняется, четыре компоненты деформации определяются следующими выражения [12]:
ffi) cos 0 -)- а sin Ф
{e} =
d ds
sin Ф dw
(12.1)
r ds
Им соответствуют четыре результирующих напряжения, показанные на фнг. 12.1, которые связаны с деформациями матрицей упругости [D]:
{а} =
= [D]{e}.
(12.2)
Для изотропной оболочки матрица [D] имеет вид
0 "
vt 12
vt 12
12
(12.3)
где верхняя часть ее характеризует действие мембранных усилий, а нижняя представляет собой матрицу изгибных жесткостей, причем сдвиговые члены в обеих частях опущены.
12.2. Характеристики элемента. Осесимметричные нагрузки. Прямолинейные элементы
Пусть узловыми поверхностями оболочка разбита на ряд усеченных конусов (фиг. 12.2). Перемещения узловых точек i и
Фиг. 12.2. Элемент осесимметричной оболочки.
/ однозначно определяют деформации элемента через заданную функцию перемещений.
В каждой узловой точке задаются осевое и радиальное смещение и поворот. Поскольку оболочка работает иа изгиб, необходимы все эти три компоненты. Таким образом, перемещение точки i определяется тремя компонентами, причем первые две соответствуют глобальным координатам
(12.4)
Следовательно, элемент с двумя узлами / имеет шесть степеней свободы, которыми являются перемещения элемента
(12.5)
Перемещения внутри элемента должны единственным образом определяться перемещениями узловых точек (б} и координатой S и удовлетворять условиям непрерывности углов накло-
