перемещения, из соотношений (2.2) и (2.3) могут быть найдены напряжения в любой точке элемента
{0} = [D] [В] {6}= - [D] {г,} + {0о}. (2.16)
В этом выражении нетрудно узнать типичные члены соотношения (1.4), причем матрица напряжений элемента имеет вид
[Sr=[D][B]. (2.17)
К этой матрице должны быть добавлены напряжения
K} = -[D]{M и {0о}. (2.18)
Отсутствие составляющей напряжения, вызванного распределенной нагрузкой {0}р, объясняется тем, что рассматриваются только условия общего равновесия, а не равновесия внутри каждого элемента.
2.2.5. Обобщенный характер перемещений, деформаций и напряжений
Физический смысл перемещений, деформаций и напряжений в рассмотренном случае плоского напряженного состояния был очевиден. Во многих других приложениях, приведенных ниже, эта же терминология может быть применена к другим физически менее наглядным величинам. Например, в рассматриваемом плоском элементе термин «перемещение» может обозначать прогиб и наклон в данной точке. Тогда «деформациями» будут кривизны срединной поверхности, а «напряжениями» - внутренние изгибающие моменты.
Все полученные здесь выражения справедливы и в общем случае при условии, что сумма произведений перемещений на соответствующие компоненты нагрузок определяет внешнюю работу, тогда как сумма произведений деформации на соответ- ствующие компоненты напряжений - внутреннюю работу.
2.3. Обобщение иа всю область.
Отказ от понятия внутренних узловых сил
В предыдущем разделе принцип виртуальной работы был Применен к отдельному элементу и введено понятие эквивалентной узловой силы. Для ансамбля в целом, очевидно, можно использовать подход, основанный непосредственно на представлении о равновесии.
Идею описания В13аимодействия элементов с помощью узловых сил математически трудно обосновать, хотя она очень привлекательна с точки зрения инженеров и допускает наглядную
интерпретацию. Тем не менее нет необходимости рассматривать каждый элемент в отдельности; рассуждения предыдущего разт дела можно непосредственно применить ко всему сплошному телу.
Можно считать, что соотношение (2.1) относится ко всей конструкции, т. е. что
{f} = [N]{6}, (2.19)
где столбец {6) содержит все узловые точки, а
N,= Nr.
(2.20)
если рассматриваемая точка принадлежит элементу е, т. е. точка i сопряжена с этим элементом. Если точка ( не принадлежит рассматриваемому элементу, то
N, = 0. (2.21)
Аналогично определяется матрица [В]. Затем принцип виртуальной работы может быть применен ко всей конструкции. Теперь нет необходимости рассматривать силы взаимодействия между элементами, и внешняя работа на виртуальных перемещениях d {6} всех узлов становится равной
d{6}4R}-Sd{f}4.p}dV-Jd{f}4g}dS, (2.22)
а внутренняя виртуальная работа принимает вид
Jd{8}-{0}dV,
(2.23)
где интеграл берется по всей области. После учетаУ
d{f} = [N]d{6}, d{e} = [B]d{6}, (2.24)
а также выражения (2.3) и приравнивания внутренней и внешней работ, получаем
где оценивается вклад каждого элемента, как это описано в предыдущем разделе.
Легко показать справедливость аналогичных выражений для различных компонент сил, входящих в уравнение (2.25).
Таким образом, при составлении ансамбля, как и ранее, мы не пользовались понятием межэлементных сил. В дальнейшем в этой главе индекс элемента е будем опускать, за исключением некоторых частных случаев. Кроме того, мы не будем делать различия между функциями формы для элемента и всей системы.
Необходимо обратить внимание на один важный момент. Рассматривая виртуальную работу системы в целом [выражение (2.23)] и приравнивая ее сумме работ каждого из элементов, мы тем самым предполагаем, что между элементами нет разрывов. Если такие разрывы возникают, то следует добавить работу напряжений в местах разрывов.
Таким образом, поле перемещений, определяемое функциями формы, должно быть таким, чтобы иа поверхностях разрыва деформации были ограниченными. Следовательно, для того чтобы общие уравнения были справедливы, перемещения должны быть непрерывными функциями. Об этом необходимом условии будет сказано ниже.
2.4. Метод перемещений как минимизация полной потенциальной энергии
Принцип виртуальных перемещений, использованный в предыдущих разделах, обеспечивает выполнение условий равновесия в определенных пределах, зависящих от выбранной формы перемещений. Равновесие будет полным только тогда, когда виртуальные работы равны при произвольных вариациях перемещений (удовлетворяющих только граничным условиям) ).
Если количество параметров {6}, описывающих перемещение, неограниченно возрастает, то условия равновесия могут быть удовлетворены.
Принцип виртуальной работы может быть сформулирован в различной форме. Приравнивая выражения (2.22) и (2.23), можно записать
\ d {еУ {а} dV - [d {ЬУН + \ d {ff {р} dV +
+ \d{fy{g}ds]=0. (2.28)
ред.
) Такие перемещения называются кинематически допустимыми. - Я/1«л.
Первый член в-этом уравнении соответствует вариации энергии деформации U конструкции, а второй - вариации потенциальной энергии W внешней нагрузки). Тогда вместо уравнения (2.28) имеем
d([/ + r) = rf(5c) = 0, (2.29)
где величина % называется полной потенциальной энергией. Это означает, что для обеспечения равновесия полная потенциальная энергия должна принимать стационарное значение. Система уравнений метода конечных элементов (2.25), полученная выше, является, по существу, отражением того, что варьирование перемещений осуществляется по конечному числу параметров {б}. Эта система может быть записана в виде
d&i
дх дЬг
= 0.
(2.30)
Можно показать, что для упругого материала полная потенциальная энергия не только стационарна, но и минимальна [7]. Таким образом, при использовании метода конечных элементов отыскивается минимум полной потенциальной энергии среди возможных перемещений заданной формы.
Чем больше степеней свободы имеет система, тем точнее будет приближенное решение, которое в пределе стремится к точному, соответствующему истинному равновесию. Таким образом, теперь можно сформулировать необходимые условия сходимости метода конечных элементов. Обсуждение этих условий перенесем, однако, в следующий раздел.
Интересно отметить, что если истинное равновесие требует абсолютного минимума полной потенциальной энергии то приближенное решение, полученное методом конечных элементов, будет давать всегда завышенное значение %. Таким образом, предельное значение полной потенциальной энергии всегда может быть оценено.
Если бы функция X была известна априори, то уравнения метода конечных элементов можно было бы получить непосредственным дифференцированием в соответствии с (2.30).
Подставляя в (2.28) определяющее уравнение теории упругости (2.3) и полагая, что нагрузки не зависят от перемещений.
) Если внешняя нагрузка обладает потенциалом, эти выражения могут рассматриваться как полные дифференциалы.
В этом соотношении выражение в первых квадратных скобках соответствует величине U, а во вторых - W. На практике выражение для полной потенциальной энергии обычно записывается сразу, что часто более удобно для метода конечных элементов. Читатель может убедиться в этом, если в качестве упражнения получит точные соотношения метода конечных элементов предыдущего раздела, исходя из уравнения (2.31) и дифференцируя по перемещениям, определяемым в соответствии с (2.19).
В хорошо известном приближенном методе Релея - Ритца [8, 9], часто применяемом для решения задач теории упругости, используется именно этот подход. Записывается выражение полной энергии и полагается, что форма перемещений зависит от конечного числа неизвестных параметров. Далее выводится система уравнений из условия минимума полной потенциальной энергии по этим параметрам. Таким образом, метод конечных элементов в изложенной постановке эквивалентен методу Релея-Ритца. Разница состоит только в способе задания перемещений. В методе Ритца они обычно задаются функциями, определенными на всей области и приводящими, следовательно, к системе уравнений, которая имеет заполненную, а не ленточную матрицу коэффициентов. В методе конечных элементов перемещения задаются поэлементно. Каждый узловой параметр связан только с примыкающими к этому узлу элементами, и в результате получается малозаполненная, обычно ленточная ма- трица коэффициентов.
Применения обычного метода Ритца ограничиваются относительно простыми геометрическими формами области, тогда как в методе конечных элементов простую форму должны иметь только элементы.
Еще одно различие состоит в том, что в методе конечных элементов неизвестными обычно являются узловые перемещения. Это допускает простую физическую интерпретацию. Своей популярностью метод конечных элементов в значительной степени, несомненно, обязан именно этому факту.
2.5. Критерии сходимости
Действительный минимум энергии никогда не может быть достигнут ни при каком числе разбиений, так как задание функций формы ограничивает число степеней свободы системы.
Чтобы гарантировать сходимость процесса к точному решению, необходимо удовлетворить некоторым простым требованиям. Например, очевидно, что функция перемещений должна как можно точнее описывать истинные перемещения. Нельзя выбирать функции, которые допускают деформацию элемента при перемещении его только как жесткого тела. Таким образом, первый критерий, которому должна удовлетворять функция перемещений, формулируется следующим образом:
Критерий 1. Функция перемещений должна быть выбрана таким образом, чтобы не возникала деформация элемента при узловых перемещениях, вызванных его смещением как. жесткого тела.
Это очевидное условие может быть легко нарушено при использовании некоторых типов функций. Поэтому при выборе функций перемещений следует соблюдать осторожность.
Второй критерий основывается на аналогичных требованиях. Ясно, что при уменьшении размеров элементов деформация в них будет стремиться к постоянной. Если в теле возникает однородная деформация, то желательно, чтобы она была такой и при достаточно больших размерах элементов. Можно подобрать функции, которые удовлетворяют первому критерию, но дают переменные по элементу деформации при узловых перемещениях, соответствующих условию постоянной деформации. Такие функции в общем случае не дадут хорошей сходимости и не смогут даже в пределе описать истинное распределение напряжений. Итак, второй критерий может быть сформулирован следующим образом:
Критерий 2. Функция перемещений должна быть такой, чтобы в случае, когда узловые перемещения соответствуют условию постоянной деформации, это состояние действительно реа-лизовывалось в элементе (здесь опять подразумевается обобщенная деформация).
Следует отметить, что критерий 2 согласуется с требованием критерия 1, так как перемещение элемента как жесткого тела есть частный случай постоянной (нулевой) деформации. Этот критерий впервые был предложен Базелем и др. [10] в 1965 г.
Наконец, как уже было упомянуто в разд. 2.3, неявно подразумевается, что границы раздела между элементами не дают никакого вклада в виртуальную работу. Как следствие появляется необходимость ввести следующий критерий:
Критерий 3. Функции перемещений должны быть выбраны так, чтобы деформации на границах между элементами были конечными (даже если они там не определены).
Этот критерий означает непрерывность перемещений на границе Между элементами. В случае когда деформации определяются через первые производные, как в приведенной здесь
