Если все элементы, пересекающиеся в узле, компланарны, то прн использовании описанного подхода встречаются некоторые трудности, связанные с тем, что жесткость в направленнн Qzi (фиг. 11.2) равна нулю.
В такой точке последнее нз шести уравнений равновесия (со--ответствующее направлению вг) в локальных координатах обращается в равенство
0 = 0. (11.16)
Само по себе уравнение такого типа не вносит особых трудностей (хотя в вычислительной программе может привести к ошибочным результатам). Однако если направления глобальных и локальных осей координат отличаются, то после соответствующего преобразования получаются шесть на первый взгляд корректных уравнений. Эта система будет особенной, ибо она содержит равенство (11.16), умноженное на действительные числа).
Существуют две возможности обойти эту трудность:
а) составить систему уравнений для ансамбля в точке, где элементы компланарны, в локальной системе координат (и исключить уравнение 0 = 0);
б) ввести в этой точке некоторый произвольный коэффициент жесткости кёг- Это приведет в локальных координатах к замене уравнения (11.16) уравнением
кёгвг! = 0.
(11.17)
Последнее после преобразований позволяет получить хорошо обусловленную систему уравнений ), нз которой обычным способом находятся все перемещения, включая бгг- Так как бг,- не входит в уравнения равновесия и напряжения от него не зависят, величине жесткости kez можно придать произвольное значение. Результат при этом не изменится.
Оба предложенных способа связаны с определенными трудностями программирования (хотя второй несколько проще). В работе [15] приведены результаты определения реального коэффициента жесткости для дополнительных степенен свободы типа описанных поворотов.
) Читатель может вспомнить логическую ошибку в доказательстве равенства 2 = 4 и другие, основанные на умножении обеих частей равенства (11,16),
) По-вндимому, автор имеет а оиду разрешимость приведенной системы уравнений (11.5) Для хорошей обусловленности, кроме однозначной разрешимости, требуется еще малость изменения решения "этой системы при малом изменении правых частей (см. С. Н. Годунов, В. С. Рябенький, Разностные схемы, изд-во «Наука», гл. 2, § 4, 1973 г.).-Прим, ред.
В программе, неоднократно применявшейся автором [6], использовалась система фиктивных коэффициентов жесткости поворотов для всех элементов, как компланарных, так и некомпланарных. Для треугольных элементов оин вводились в виде такой матрицы, что равновесие в локальных координатах не нарушалось, т. е.
1 - 0,5 - 0,5 1 -0,5 L Симметрично 1 J
(11.18)
где а - некоторый коэффициент, который следует еще задать.
Из-за того что дополнительные жесткости вводятся в некомпланарных узлах, их величины влияют на результат, так что этот прием является приближенным. Однако изменение в довольно широких пределах величины коэффициента а мало сказывается на конечном результате. Например, в приведенной ниже табл. 11.1 содержатся величины перемещений арочной плотины для различных значений а, взятые из работы [2].
Таблица 11.1
Узловые коэффициенты жесткости поворота в арочной плотине 2]
1,00
0,50
0,10
0,03
0,00
Радиальные перемещения, мм
61,13
63,35
64,52
64,78 .
65,28
Из таблицы видно, что прн а = О перемещения близки к точным. На практике рекомендуется использовать значение а = 0,03 илн ниже.
Некоторые авторы [5] пытаются избежать этой трудности за счет уменьшения числа степеней свободы, пренебрегая одной нз них и объединяя все уравнения по нормали к оболочке. Этот метод используется в гл. 14. Однако он в свою очередь вносит новую трудность, так как если учесть действительное изменение направлений в оболочке, то не так просто задать «нормаль».
11.5. Локальные направляющие косинусы
После определения матрицы направляющих косинусов [?.]для каждого элемента решение задачи не представляет никаких трудностей и производится обычным образом. Однако само
определение матрицы направляющих косинусов приводит к некоторым алгебраическим трудностям; это определение не единственно, так как направление одной нз осей, лежащей в плоскости элемента, произвольно.
Рассмотрим сначала совокупность прямоугольных элементов, для которой матрица направляющих косинусов находится особенно просто.
11.5.1. Прямоугольные элементы
Такие элементы применяются только для аппроксимации цилиндрических и коробчатых поверхностей. При этом удобно
Фиг. 11.4. Цилиндрическая оболочка как совокупность прямоугольных элементов. Локальные и глобальные координаты.
направить одну из сторон элемента и соответствующую ось локальных координат х параллельно глобальной оси х. Для типичного элемента ijkm (фиг. 11.4) легко определить все соответствующие направляющие косинусы.
Очевидно, что для оси х направляющие косинусы имеют вид V = 0, (11.19)
lxz=-0.
Направляющие косинусы оси у выражаются через координаты различных узловых точек. Выражения
= О,
Хуу = + yz =
У) - Ус
-{yi-yif}
(11.10)
л/{{1Т>? + {У,~У1Г}
представляют собой простые геометрические соотношения-, которые получаются из рассмотрения вертикальной секущей плоскости, проходящей через точки .
Рассматривая то же сечение, для оси г получаем
Xzx = О,
{(i-if + iyi-yif] у, - У;
(11.21)
Ясно, что для сохранения правильных знаков выражений важен порядок нум(фации узловых точек.
11.5.2. Произвольно ориентированные в пространстве треугольные элементы
На фиг. 11.5,0 показана произвольная оболочка, разбитая на треугольные элементы. Все элементы ориентированы по отношению к координатным плоскостям совершенно произвольно. Определить локальные оси и их направляющие косинусы в этом случае значительно сложнее, чем в предыдущем более простом примере. Проще всего эта задача решается с использованием векторной алгебры; читателям, которые успели забыть ее основы, полезно обратиться к приложению 5.
Направление одной из локальных осей произвольно, и ее выбор должен быть сделан заранее. Будем считать, что ось х направлена вдоль стороны треугольника, как показано на фиг. 11.5,6.
Фиг. 11,5.
а -ансамбль треугольных элементов, аппроксимирующий произвольную оболочку; б -локальные и глобальные координаты для треугольного элемента.
Эта сторона определяется вектором Vij с глобальными координатами:-
Vi, = \yi-yi\. (11.22)
Направляющие косинусы получаются делением компонент этого вектора на его длину, т. е. в виде компонент вектора единичной длины:
f.=t, = J-j/,!, (11.23)
Здесь для краткости положено % = Xj - xi и т. д.
Направим ось г перпендикулярно плоскости треугольника. Это направление в соответствии со свойствами векторного произведения можно определить как векторное произведение двух сторон треугольника
yilZml - Zfiymi
(11.24)
т. е. нормальным к плоскости треугольника вектором, длина которого по определению (см. приложение) равна удвоенной площади треугольника. Таким образом,
L = /{У1,гш1-гцУт1?+ {...?+{.? = 2Д.
Направляющие косинусы оси г получаются просто как направляющие косинусы вектора Уг \ их можно представить в виде единичного вектора
(11.25)
Наконец, направляющие косинусы оси (/ получаются как направляющие косинусы вектора, нормального одновременно к осям х и г. Так как векторы единичной длины в каждом из этих направлений фактически определены соотнощениями (11.23) и (11.25), имеем
> = VzX Vx =
(11.26)
без деления на длину, которая в данном случае равна единице.
Все векторные операции можно записать в виде специальной подпрограммы, автоматически осуществляющей векторное умножение, нормировку (т. е. деление на длину) и т, д. [19], но-
