Некоторые оболочки, например цилиндрические, можно представить в виде набора плоских элементов прямоугольной или четырехугольной формы. Наличие хороших матриц жесткости для этих элементов позволило получить удовлетворительные результаты, С помощью элементов именно такого типа были решены практически важные задачи проектирования арочных плотин и другие задачи для перекрытий цилиндрической формы [7-8].
Очевидно, что возможности исследования оболочечных конструкций методом конечных элементов неисчерпаемы. При наличии общей вычислительной программы проблемы, связанные с наличием отверстий, переменной толщины и анизотропными свойствами, становятся несущественными.
Особый случай представляют осесимметричные оболочки. Хотя, очевидно, их можно рассматривать с помощью метода, изложенного в настоящей главе, к ним применим и более простой подход. Ему будет посвящена гл. 12.
К решению рассматриваемых здесь задач можно подойти и по-другому, а именно используя криволинейные оболочечные элементы. При этом необходимо применять криволинейные координаты, методы введения которых описаны в гл. 8. Допущение о представлении оболочки набором плоских элементов теперь исключается за счет использования той или иной теории оболочек. Несколько вариантов применения метода перемещений описано в работах [9-18].
Одни из самых простых и эффективных способов построения криволинейных оболочечных элементов состоит в использовании теории так называемых пологих оболочек [14, 16],
Здесь W, и, V являются нормальной и тангенциальными компонентами перемещений криволинейной поверхности, и если считается, что все элементы касаются друг друга, то нет необходимости переходить от локальных к глобальным значениям.
Предполагается, что элемент является «пологим» относительно локальной системы координат в плоскости, проходящей через его узловые точки, а энергия деформации элемента определяется соответствующими выражениями, содержащими производные по координатам в плоскости проекции. В результате можно использовать такие же функции формы, как и для рассматриваемых в этой главе плоских элементов, причем здесь интегрирование, как и ранее, проводится в плоскости.
Пологие оболочечные элементы, в выражении для энергии Которых содержатся члены, характеризующие взаимное влияние друг на друга мембранных и изгибных деформаций, несколько более эффективны, чем плоские элементы, для которых взаимное влияние учитывается только на границе. Максимальную эффективность имеют простые элементы небольших разме-
ров, но для более сложных крупных элементов все преимущества пропадают. Очень хорошо использование пологих элементов описано в работе [16].
Однако во многих практических случаях плоские элементы дают хорошую аппроксимацию, и, кроме того, они позволяют производить простое соединение с подкрепляющими элементами и шпангоутами, что не всегда удается при использовании криволинейных элементов. В самом деле, во многих практических задачах вся конструкция или по крайней мере часть ее, по существу, составлена нз плоских Поверхностей, а такие поверхности легко аппроксимируются. По этим причинам криволинейные тонкие оболочечные элементы рассматриваться здесь не будут, а вместо этого в гл, 13 будет изложен общий подход к решению задач о толстых криволинейных оболочках (на основе трехмерного анализа, что дает возможность избежать неточностей уравнений теории оболочек),
В следующей главе, посвященной осесимметричиым оболочкам, будут применяться как плоские, так и криволинейные элементы.
11.2. Жесткость плоского элемента в локальных координатах
Рассмотрим типичный плоский элемент, находящийся одно-временио под действием мембранных и изгибающих сил (фнг. 11.2).
Остановимся сначала на действии мембранных сил (плоское напряженное состояние). Из гл. 4 известно, что деформированное состояние однозначно описывается величинами перемещений и н V каждой узловой точки (. Минимизация общей потенциальной энергии приводит к матрицам жесткости
= [k]i
(11.1)
Аналогично деформированное состояние, вызванное изгибом, однозначно определяется узловым смещением w в направлении оси Z и двумя углами поворота 6.. и Э,,. Это позволяет представить матрицы жесткости в виде
(11.2)
Прежде чем объединить этн матрицы, важно отметить два обстоятельства. Во-первых, перемещения, вызванные мембранными силами, не влияют на изгибные деформации н наоборот. Во-вторых, угол поворота 9z не входит в число узловых параметров, определяющих деформации. Хотя на этой стадии пово-
Ишбающш силы и изЫные дефориациц
Фиг. 11.2. Плоский элемент под действием мембранных и изгибающих счл.
ротом вокруг осн Z можно пренебречь по причинам, которые станут ясными позднее, уже сейчас прн составлении ансамбля элементов целесообразно учесть этот поворот и связать его с фиктивным моментом М. Тот факт, что 9 не участвует в процессе минимизации, просто учитывается включением соответствующего количества нулей в матрицу жесткости. Записывая теперь узловые перемещения в виде
(11.3)
и соответствующие силы как
получаем
Ui Vi Wi Mi
(11.4)
= [fe]
(11.5)
Нетрудно видеть, что матрица жесткости состоит из следующих подматриц:
(»„1-
если учесть, что
[О О OiO
о""о1io
О 01 [krs] \о
О о] \о
(11.6)
(11.7)
Этн соотношения справедливы для любого многоугольного элемента, и в частности для двух важных случаев, иллюстрированных на фнг. 11.2.
11.3. Переход к глобальным координатам и составление ансамбля элементов
Полученная в предыдущем разделе матрица жесткости записана в локальной системе координат, так как компоненты изгибающих н мембранных сил выражены в локальных координатах.
Преобразование к глобальным координатам (которые будем обозначать через х, у, z в отлнчие от локальных координат х,
у, г) необходимо для составления ансамбля элементов и записи соответствующих уравнений равновесия.
Кроме того, координаты узлов удобнее задавать в глобальной системе, а затем переходить к локальным координатам, т. е. осуществлять обратное преобразование. К счастью, все преобразования достаточно просты.
На фиг. 11.3 показаны две системы координат. Узловые силы и перемещения преобразуются из глобальной в локальную си-
Фиг. 11.3. Лока.чьные и глобальные координаты.
стему координат с помощью матрицы [L]:
{6i} = [L]{6,}, {F[} = [L\{Fi},
[il =
к О
L0 ?.J
(11.8) (11.9)
а [%] представляет собой матрицу размерности 3X3 косинусов углов между осями этих систем, т. е.
(11.10)
Кгг -
где 1х-х- косинус угла между осями и л и т. д.
Следовательно, для полной системы узловых сил элемента можно записать
{(,у = [т]{ьу, {Fr = [T\{Fy.
(11.11)
По правилам ортогональных преобразований (см. разд. 1.4) матрица жесткости элемента в глобальных координатах принимает вид
[k] = [TVlk][T]. (11.12)
В обоих последних соотношениях
L О О ...
1Т] =
О L О О О L
(11.13)
и является диагональной матрицей, составленной из нескольких матриц [L], количество которых равно числу узлов элемента.
Неслож.ю показать, что типичная подматрица жесткости записывается как
lkrs]=lLV[krs][L], (11.14)
где подматрица [krs] в локальных координатах определяется соотношением (11.6).
Определение локальных координат осуществляется аналогичным образом. Если начала локальной и глобальной систем координат совпадают, то
(11.15)
Так как при получении матрицы жесткости положение начала координат несущественно, то такого преобразования всегда достаточно для определения локальных координат в плоскости элемента (или в плоскости, параллельной ему).
После получения матриц жесткости всех элементов в общей глобальной системе координат составление ансамбля элементов и окончательное решение производятся обычным образом. В результате искомые перемещения определяются в глобальной системе координат, и для определения напряжений необходимо в каждом элементе перейти к локальным координатам. После этого можно использовать обычные матрицы мембранных и изгибающих напряжений.
