Единственная трудность, которая может в дальнейшем встретиться, состоит в определении нормальных производных в узлах посередине сторон. Однако если заметить, что (фиг. 10.18)
dw дх
(10.42)
где -угол между рассматриваемой стороной и осью х, то процедура упрощается.
Обратить явно матрицу [С] нелегко, поэтому такие величины, как жесткость и др., вычисляются с помощью численного обращения.
Наличие на сторонах дополнительных узлов с одной степенью свободы все же вносит некоторые трудности. Однако дополнительные степени свободы можно устранить, если вдоль каждой стороны треугольника допустить только кубический закон изменения нормальной производной. Ясно, что при этом количество степенен свободы и порядок матрицы [С] уменьшаются до восемнадцати и получается элемент (фиг. 10.18,(3) с тремя угловыми точками и восемнадцатью степенями свободы. Такой элемент используется чаще.
Рассмотренные элементы были совершенно независимо построены и описаны в нескольких статьях, опубликованных в 1968 г. Такой любопытный факт одновременного открытия наблюдается во многих областях науки на определенной стадии развития знаний.
Так, элемент с двадцатью одной степенью свободы описан Айронсом [27], Аргирисом [23], Беллом [10], Боссардом [24], Вис-сером [25] (авторы перечислены в алфавитном порядке).
Вариант этого элемента, но с восемнадцатью степенями свободы построен Аргирисом [23], Беллом [10], Купером и др. [26]. Очень похожее, но более сложное построение осуществлено Бат-лином и Фордом [11].
Очевидно, что можно построить еще много элементов такого типа, а некоторые из них уже были предложены в указанных работах. Однако всегда следует помнить, что они могут оказаться непригодными, если материал неоднороден и свойства его изменяются скачкообразно. Кроме того, наличие производных высоких порядков затрудняет формулировку граничных условий для них и производные от энергии уже нельзя интерпретировать как «узловые силы». Поэтому инженер все же может
скорее отдать предпочтение физически более наглядной формулировке, несмотря на то что во многих работах продемонстрирована очень хорошая точность таких элементов.
10.16. Заключительные замечания
В настоящей главе содержится подробный обзор функций формы и методов их построения. Включение его в книгу объясняется не только тем, что задача об изгибе пластин имеет важные инженерные приложения, но н тем, что представленные здесь функции формы применимы ко всем задачам, функционал которых -содержит вторые производные. Например, их можно использовать в задачах о вязком течении и других задачах такого типа.
В самом деле, даже задача о двумерном напряженном состоянии, как хорошо известно, может быть сформулирована с помощью функций напряжений, а при этом получаются именно такие функционалы. При таком подходе уравнения равновесия выполняются автоматически, и путем минимизации «дополнительной работы» можно получить верхнюю границу решения. Такая формулировка впервые была предложена Вёбеке и Зенкевичем [28].
Другие подходы к решению задачи об изгибе пластины здесь не приведены. Некоторые из них хорошо обоснованы [30-36], но имеют более ограниченную область применения.
Основные соотношения этой главы основаны на классической теории тонких пластин. Поэтому деформации сдвига не рассматриваются. Тем не менее бесспорно, что в случае толстых пластин их необходимо принимать во внимание. В работах [21, 30, 31] предприняты попытки приближенно учесть деформации сдвига. В гл. 14 данной книги это будет сделано другим способом.
ЛИТЕРАТУРА
1 Timoshenko S. Р., Woinowsky-Krieger S., Theory of Plates and Shells, 2nd ed., McGraw-Hill, 1959; есть русский перевод: Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С, Пластинки и оболочки, Физматгиз, 1963.
2 Irons В М Draper К. J., Inadequacy of Nodal Connections in a Stiffness Solution lor Plate Bending, JAIAA. 3, 5 (1965); естьрусский перевод: Айронс Дрейпер, Несобтветствие узловых связей при расчете изгиба пластин методом жесткостей. Ракетная техника и космонавтика, 3, № 5, стр. 206-207 (1965). . , ,
3 Clough R W., Tocher J. L., Finite Element Stiffness inatrices for Analysis of Plates in Bending, Proc. Conf. Matrix Methods in Struct. Mech., Air Force Inst of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, Oct. 1965.
4 Bazeley G P., Cheung Y. K., Irons B. M., Zienkiewicz O. C, Triangular Elements in Bending-Conforming and Nonconforming Solutions, Proc.
10. П. 12.
14. 15.
18. 19.
22. 23.
Conf. Matrix Methods in Struct. Mech., Air Force Inst, of Tech., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, Oct. 1965.
Sander G., Bornes superieures et inferieures dans Ianalyse matricielle des plaques en flexion - torsion, Bull. Soc. Royale des Sc. de Liege, 33, 456- 494 (1964).
De Veubeke B. F., Bending and Stretching of Plates, Proc. Conf. Matrix Methods in Struct. Mech., Air Force Inst, of Tech., Wright Patterson A F. Base, Ohio, Oct. 1965
Irons B. M., A Conforming Quartic Triangular Element for Plate Bending Int. 1. Num. Meth. Eng., 1, 29-46 (1969).
Bogner F. K., Fox R. L., Schmit L. A., The Generation of Interelement- Compatible Stiffness and Mass Matrices by the Use of Interpolation Formulae, Proc. Conf. Matrix Methods in Struct. Mech., Air Force Inst, of Techn Wright Patterson A. F. Base, Ohio, Oct. 1965.
Smith I. M., Duncan W., The Effectiveness of Nodal Continuities in Finite Element Analysis of Thin Rectangular and Skew Plates in Bending Int. 1. Num. Meth. Eng., 2, 253-258 (1970).
Bell K., A Refined Triangular Plate Bending Element, Int. J. Num. Meth. Eng., 1, 101-122 (1969).
Butlin G. A., Ford R., A Compatible Plate Bending Element, Univ. of Leicester Eng. Dept. Rept., 68-15, 1968.
Zienkiewicz 0. C, Cheung Y. K., The Finite Element Method for Analysis ol Elastic Isotropic and Orthotropic Slabs, Proc. Inst Civ Eng. 28 471-488 (1964).
Clough R. W., The Finite Element Method in Structural Mechanics Ch. 7 in; Stress Analysis, Zienkiewicz 0, C, Holister G. S,, eds., Wiley, 1965,
Dawe D. J,, Parallelogram Element in the Solution ol Rhombic Cantilever Plate Problems, 1. of Strain Analysis, 3 (1966).
Argyris J. H., Continua and Discontinua, Proc, Conf. Matrix Methods in Struct. Mech., Air Force Inst, of Techn., Wright Patterson A, F. Base, Ohio Oct. 1965,
Walz J. E., Fulton R. E., Cyrus N, J., Accuracy and Convergence ol Finite Element Approximation, Proc. 2nd Coif, Matrix Methods in Struct. Mech., Air Force Inst, of Techn,, Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1968, Melosh R. J., Basis ol Derivation of Matrices for the Direct Stiffness Methods, lAIAA, 1, 1631-1637 (1963); есть русский перевод: Мелош, Основы получения матриц для прямого метода жесткостей, Ракетная техника и космонавтика, 1, № 7, стр. 169-176 (1963).
Adini А., Clough R. W., Analysis of Plate Bending by the Finite Element Method and Report to Nat. Sci. Found/USA, G. 7337, 1961. Cheung Y. K., King I. R, Zienkiewicz 0. C, Slab Bridges with Arbitrary Shape and Support Conditions -a General Method of Analysis Based on Finite Elements, Proc. Inst. Civ. Eng., 40, 9-36 (1968). Tocher J. L., Kapur K. K., Comment on Basis of Derivation of Matrices for Direct Stiffness Method, JAIAA, 3, 1215-1216 (1965); есть русский перевод: Точер, Капур, Замечания к статье «Основы получения матриц для прямого метода жесткостей», Ракетная техника и космонавтика 3 ,№ 6 стр. 285 (1965). . . - .
Clough R. W., Felippa С. А., А Refined Quadrilateral Element for Analysis of Plate Bending, Proc. 2nd Conl. Matrix Methods in Struct Mech Air Force Inst, of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1968. De Veubeke B. F., A Conforming Finite Element for Plate Bending Int I Solids Struct., 4, 95-108 (1968).
Argyris J. H., Fried I., Scharpf D. W., The TUBA Family of Plate Elements for the Matrix Displacement Method, The Aeronautical J R Ae S 72 701- 709 (1968). . I
24. Bosshard W., Ein neues vollvertragliches endliches Element,fur Platten-biegung, Mt. Assoc. Bridge Struct. Eng. Bulletin, 28, 27-40 (1968).
25. Visser W., The Finite Element Method in Deformation and Heat Conduction Problems, Dr. W. Dissertation, T. H., Delft, 1968.
26 Cowper G. R., Kosko E., Lindberg G. M., Olson M. D., Formulation of a New Triangular Plate Bending Element, 7rans. Canad. Aero-Spase Inst., 1, 86-90 (1968); CM. также N. R. C. Aero Rept. LR514, 1968.
27 Irons B. M., Comments on Complete Polynomial Displacement Fields for Finite Element Method by Dunne P. C, The Aeronautical J., R. Ae. 6., 72, 709 (1968).
28 De Veubeke B. F., Zienkiewicz O. C, Strain Energy Bounds in Finite Element Analysis by Slab Analogy, /. Strain Analysis, 2, 265-271 (1967).
29 Morley L S D., The Triangular Equilibrium Element in the Solution of Plate Bending Problems, Aero Quart., 19, 149-169 (1968).
30 Plan T H FT Derivation ol Element Stiffness Matrices by Assumed Stress Distributions, JAIAA, 2, 1332-1336 (1964); есть русский перевод: Пиан, Вывод соотношений для матриц жесткости элемента, основанный на выборе закона распределения напряжений, Ракетная техника и космонавтам, 2, № 7, стр. 219-222 (1964). „
31 Plan Т Н Н. Tong Р., Basis of Finite Element Methods for Solid Continua, Int. J. Num. Metli. Eng.. 1, 3-28 1969).
32 Alwood R. J., Cornes G. M. M., A Po ygonal Finite Element for Plate Bending Problems Using the Assumed Stress Approach, Int. J. Num. Meth. Eng.,
33 Severn RVTTylor P. R., The Finite Element Method for Flexure of Slabs where Stress Distributions are Assumed, Proc. Inst. Civ. Eng., 34, 153-170
34 /Ierrmann L. R., Finite Element Bending Analysis of Plates, Proc. Am. Soc. Eng., 93, EM 5 (1967). „ , .
35 De Veubeke B. F., An Equilibrium Model lor Plate Bending, Int. J. Solid Struct., 4, 447-468 (1968).
36. Morley L. S. D., On the Constant Moment Plate Bending Element, Journal Strain Analysis (будет опубликовано).
11.1. Введение
Оболочка, по существу, представляет собой конструкцию, которая может быть получена нз тонкой пластины путем предварительного деформирования срединной плоскости в поверхность одинарной илн двойной кривизны. Хотя предположения о распределении деформаций н напряжений в поперечном направлении остаются в силе, оболочка совсем по-другому, нежели пластина, воспринимает внешние нагрузки. Результирующие напряжений на площадках, параллельных срединной поверхности оболочки, теперь имеют компоненты, нормальные к этой поверхности, и уравновешивают основную часть нагрузки. Это обстоятельство объясняет экономичность оболочек как несущих конструкций и нх популярность.
Вывод основных уравнений, описывающих поведение оболочки, связан с большими трудностями и в зависимости от введенных допущений приводит к различным формулировкам. Классическая теория оболочек подробно изложена во многих учебниках по этому предмету, например в хорошо известной книге Флюгге [1].
Применение метода конечных элементов к решению задач теории оболочек, рассматриваемое в этой главе, устраняет упомянутые выше трудности за счет введения дополнительного допущения. Оно носит скорее физический, чем математический характер. Предполагается, что поведение непрерывной криволинейной поверхности достаточно точно характеризуется поведением поверхности, составленной из малых плоских эле.ментов.
Из физических соображений следует, что с уменьшением размеров элементов решение должно сходиться и, как показывает опыт, такая сходимость действительно наблюдается. Особого внимания требует способ задания узловых нагрузок (нлн массовых сил). В приведенных примерах нагрузка и массы в узлах распределялись так, чтобы наилучшим образом воспроизвести локальные эффекты. Теперь в связи с заменой криволинейной поверхности набором пластин более правильно представлять распределенную нагрузку в виде статически эквивалентных сосредоточенных узловых сил. Это, возможно, лучше всего иллюстрируется простой задачей о круглой арке (фиг. 11.1). Круг-
лая арка под действием равномерно распределенной нагрузки гораздо лучше аппроксимируется многоугольной аркой, нагруженной статически эквивалентными сосредоточенными силами, как показано на фиг. 11.1,6, чем такой же аркой ™Д Действием равномерно распределенной нагрузки (фиг. 11.1, в). Это можно проверить, построив соответствующие многоугольники сил.
Фиг. 11.1. Представление криволинейной арки набором прямых.
Элементы оболочки находятся в общем случае под действием изгибающих и мембранных снл, действующих в плоскости. В плоских элементах эти силы вызывают независимые деформации при условии, если они малы; поэтому, чтобы составить матрицы жесткости, можно воспользоваться уже изложенным материалом.
Для представления произвольной оболочки в виде набора плоских элементов можно использовать только треугольные элементы. Несмотря на то что эта идея была предложена Грином н др. [2} еще в 1961 г., успеху мешало отсутствие хорошей матрицы жесткости для плоского треугольного элемента при изгибе [3-6]. Улучшение элементов, получаемое изложенными п гл. 10 способами, позволяет хорошо описывать поведение оболочек, разбитых на плоские элементы.
