10.11. Треугольный элемеит с восемнадцатью степенями свободы и согласованными функциями формы
На фиг. 10.18,6 изображен элемент, представляющий собой несколько усовершенствованный вариант элемента, показанного на фиг. 10.18, а. За счет того, что, кроме нормальной производной dw/dn, в середине сторон элемента рассматриваются еще значения ш и смешанной производной dw/dsdn, число степеней свободы увеличивается с двенадцати до восемнадцати.
С точки зрения вычислений этот элемент более выгоден, так как теперь число степеней свободы в каждом узле одинаково. Требование непрерывности смешанных производных в середине сторон не является дополнительным ограничением, так как оно с физической точки зрения вполне естественно.
Способ построения этого элемента описан Айронсом [7]. Здесь достаточно сказать, что, кроме рассмотренных видов функций, используются еще члены четвертого порядка показанного на фиг. 10.6, г типа и функции, характеризующие скручивание (фиг. 10.17,6). Легко убедиться, что функция формы для такого элемента, кроме сингулярной функции, содержит все пятнадцать членов полинома четвертой степени.
10.12. Согласованные четырехугольные элементы
Любой из рассмотренных треугольников можно использовать для построения согласованных четырехугольных элементов с внутренними степенями свободы или без ннх. Три таких четырехугольника показаны иа фиг. 10.19, причем ни в одном из них
Фиг. 10.19. Некоторые составные четырехугольные элементы, а-внутренних степеней свободы нет; б -3 внутренние степени свободы; в-7 виутрен-них степеней свободы.
на внешних сторонах нет дополнительных узлов. Таким путем удается избежать уже упоминавшихся трудностей, которые возникают прн составлении ансамбля.
Первый из элементов не имеет внутренних степеней свободы, п поэтому он, по-видимому, не обладает никакими преимуществами по сравнению с треугольниками с таким же числом сте-
пеней свободы. Два следующих элемента имеют соответственно 3 и 7 внутренних степеней свободы. Условия непрерывности нормальной производной в последнем нз этих элементов не затрудняют составления ансамбля, так как внутренние степени свободы всегда исключаются. В работе Клуха и Фелиппы [21] показано, что при использовании таких элементов точность значительно увеличивается.
Возможный прямой способ построения четырехугольного •лемента предложен Сандером [5] и Вёбеке [6, 22]. Он состоит
в следующем. В четырехугольном элементе (фиг. 10.20) перемещение представляется в виде суммы трех функций
ш = + ш* + ш
где первое слагаемое W представляет собой полный полином третьего порядка с десятью постоянными:
ш = 0,4-02*4- ••• +aioif- (10.35)
Вторая функция задается кусочно. В нижнем треугольнике (фиг. 10.20,6) она считается равной нулю, а в верхнем имеет вид кубичного выражения с тремя постоянными, что позволяет без нарушения непрерывности угла наклона осуществить переход к нижнему треугольнику. Следовательно, в локальных координатах х, у для треугольника /А/и имеем
w = о,,/ + a,iy" + о,зД; 2. (10.36)
Аналогично и третья функция (фиг. 10.20, в) ш = О в нижнем треугольнике, а в треугольнике imj
= 0,4У"2 + 0,5l/"3 + «16"" (10.37)
Таким образом, три обычные узловые переменные в ушах четырехугольника и нормальные производные в узлах в середине сторон представляют собой шестнадцать внешних степеней свободы, задание которых позволяет определить шестнадцать постоянных 01-16. В результате обеспечивается согласованность, но в углах вновь вознт1кяет неоднозначность втопых произвотных.
При желании можно наложить связи на значения переменных в узлах в середине сторон и получить элемент с двенадцатью степенями свободы.
Как показал Вёбеке [22], функцию можно представить в явном виде и, таким образом, построить элемент.
Если один из углов четырехугольника входящий, то элементы такого типа построить нельзя. Это не очень серьезное ограничение, но его приходится учитывать, когда элементы вырождаются в близкую к треугольнику форму.
10.13. Несколько примеров решений с согласованными элементами
Сходимость и точность различных элементов, описанных здесь, многократно обсуждались в литературе. В этом плане особенно полезны работы [3, 4, 21].
На фиг. 10.21 сходимость результатов при использовании двух простых, но несогласованных элементов, расссмотренных в
/4,А
5.6
/ -
+ Л.
свободное опирание
п
Защемление
Фиг. 10.21. Сравнение различных решений методом конечных э.тементов задачи о квадратной пластине, в центре которой приложена нагрузка Р (я -число элементов на половину стороны а и р = wD/Pa).
этой главе, сравнивается со сходимостью при использовании трех различных согласованных элементов.
Здесь следует сделать несколько замечаний. Во-первых, простейший согласованный треугольник при грубом разбиении приводит к довольно плохой аппроксимации и всегда худшей, чем эквивалентный несогласованный.
Во-вторых, тогда как решения, полученные при использовании согласованных элементов, всегда сходятся к точному снизу, так как в соответствии с теоремами гл. 2 они позволяют оценить нижнюю границу, решения, полученные при использовании несогласованных элементов и являющиеся обычно сходящимися сверху, могут давать ошибку любого знака.
Наконец, следует отметить, что к наилучшим результатам приводят четырехугольник Вёбеке (фиг. 10.20) и четырехугольник Клуха (фиг. 10.1Э,е).
СОГЛАСОВАННАЯ ФУНКЦИЯ ФОРМЫ
С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
10.14. Функция формы Эрмита для прямоугольника
Для прямоугольного элемента, изображенного на фиг. 10.2, в качестве узлового параметра всегда можно ввести производную dwjdxdy, так как это не приводит к чрезмерным требованиям непрерывности. Легко показать, что для таких элементов нетрудно построить полиномиальные функции формы, обеспечивающие согласованность.
Степенное представление для и, содержащее шестнадцать постоянных (в соответствии с количеством узловых параметров), можно, например, записать, сохраняя члены не выше третьего порядка по каждой координате. Естественно, что существует много способов записи таких выражений, но некоторые из них могут приводить к необратимым матрицам [С].
Один из таких способов состоит в использовании полиномов Эрмита, позволяющих непосредственно записать соответствующую функцию. Полином Эрмита
Hli(x) (10.38)
есть полином порядка 2«--1, удовлетворяющий условиям
-=1, k - m для m = 0, 1, /I, при x = Xt
-==0, кфт, при x = Xj.
Множество полиномов Эрмита первого порядка, таким образом, представляет собой множество полиномов третьего порядка. Их обычно используют в качестве функций формы для линейного элемента i], узловыми переменными на концах которого являются значения функции и углы наклона.
На фиг. 10.22 показано такое множество полиномов третьего порядка.
аншс игла наклона = I
Фиг. 10.22. Функции Эрмита первого порядка. Легко проверить, что- функции формы
[Ni] = \ Н[\ (х) Я!,У (у), Я,У (X) ЯЙ (у),
Hihx)H?ny), HiHx)H[i(y)\ (10.39)
соответствуют функциям
dw dw dw
ду дх дх ду
и принимают единичные значения в узловой точке ( и нулевые - в остальных точках.
Элемент, основанный на этих функциях, построен Богнером и Шмитом [8] и довольно успешно использовался ими.
Дальнейшее усовершенствование этого элемента, состояшее во включении условий непрерывности производных высоких порядков, осуществляется весьма просто и описано в работе [9].
В ненскривленной форме такие элементы, как и все прямоугольные, применяются крайне редко.
10.15. Треугольники с двадцатью одной и восемнадцатью степенями свободы
Если потребовать выполнения в узлах условий непрерывности производных выше первого порядка (при этом, как пояснялось в разд. 10.3, накладываются определенные ограничения на неоднородность свойств), то нетрудно" построить элементы, согласованные относительно прогиба и производной от него.
Если в качестве узловых степеней свободы принять величины
dw дх
dw dw
ду дх ду дх ду
то треугольный элемент будет иметь по крайней мере восемнадцать степеней свободы. Полный полином пятого порядка содержит двадцать один член. Следовательно, если добавить еще три степени свободы (нормальные производные) в середине сторон, то можно получить достаточное количество уравнений для нахождения функции формы.
На любой границе имеем шесть величин, определяющих закон изменения w (перемещение, производные и кривизну в угловых точках), т. е. полином пятой степени. Таким образом, закон изменения w определяется единственным образом и, следовательно, функция W непрерывна между элементами.
Аналогично производная dwidn задается пятью величинами и ведет себя, как полином четвертого порядка. Именно это и -Требуется для выполнения условий непрерывности деформаций и углов наклона между элементами.
Если записать полный полином пятой степени)
w = ai + a2X+ ... +a2i(/=,
(10.40)
то, следуя тем же рассуждениям, что и при построении прямоугольного элемента в разд. 10.4, можно записать
«2
+ а,,у\.
У дх Ji
+ Эа 4- ... + 2a,gi/2 и т. д.
I) Рекомендуется записывать полином в обычных декартовых координа. тах, а не в L-координатах. Поскольку полином полный, симметрия сохраняется.
