Фиг. 10.15. Кастлтонский мост. Общая геометрия и схема разбиения на конечные элементы. Края моста свободно оперты без стеснения поворотов. Опоры учитываются как искусственные утолщения затемненных участков, прогиб которых ограничен величиной v = 0,17. а-типичное реальное сеченне; б -использованн?я идеализация.
«СОГЛАСОВАННЫЕ» ФУНКЦИИ ФОРМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ В УЗЛОВЫХ ТОЧКАХ
10.9. Общие замечания
В разд. 10.5 было показано, что для элемента с тремя степенями свободы в узлах невозможно построить функцию формы в виде простого полинома, которая удовлетворяла бы требованиям непрерывности угла наклона. Введение в узлах параметров кривизны имеет, однако, тот недостаток, что накладывает на функции чрезмерные требования непрерывности. Более того, по многим причинам желательно, чтобы общее число узловых переменных не превышало трех. В этом случае, основываясь на простой физической интерпретации, от плоских элементов для расчета пластин легко перейти к элементам для расчета оболочек. Кроме того, при трех узловых переменных упрощаются вычисления.
Фиг 10.16. Компоненты моментов (тм/м) для изображеипого на фиг 10.15 моста при действии равномерно распределенной нагрузки 7,16-10 Н/м1 Вычерченные ЭВМ лннин равных моментов. Видно, что в рассмотренном примере мост в основном работает на изг[(б.
Еще один простой способ состоит во введении дополнительных функций формы, производные второго порядка которых в узлах неоднозначны. При условии, что они не обращаются в бесконечность, сходимость гарантируется.
Рассмотрим функции формы для треугольных и четырехугольных элементов. Простой прямоугольный элемент исследоваться не будет.
10.10. Сингулярные функции формы для простого треугольного элемента
Рассмотрим, например, любую из двух систем функций
823 =
823 =
L,LlLl{y + L,)
и т. д.
(10.28)
(10.29)
Эти функции и их производные по нормали вдоль двух сторон треугольника 1-2 и 1-3 (фиг. 10.17) обращаются в нуль. На третьей стороне 2-3 эти функции также принимают нулевые
(L,+i.j)(/,,+I,)
Фиг. 10.17. Некоторые особые функции i-координат.
значения, но нормальные производные отличны от нуля н изменяются по параболическому закону. Вторая из этих функций показана на фиг. 10.17, а.
Все функции, использованные для задания несогласованного треугольника [см. выражение (10.25)], имеют третий порядок и, следовательно, допускают параболический закон изменения нормальной производной, который неоднозначно определяется двумя краевыми узловыми значениями (результатом чего и является несогласованность). Однако если в качестве еще одной переменной задать значение нормальной производной w в середине каждой из сторон, то, комбинируя новую функцию е с введенными ранее функциями, можно получить однозначный параболический закон изменения нормальной производной на гра-
иицах между элементами, т. е. построить согласованный элемент.
Очевидно, что для достижения согласованности нужно добавить трн такие дополнительные степени свободы в выражение
Фиг. 10.18. Различные согласованные треугольные элементы.
dw дху Sw дш \ ву а* Зу 9хду)С
(10.25) и выполнить все описанные ранее операции. В результате получается показанный на фиг. 10.18, а элемент с шестью узлами, три из которых - обычные угловые узлы, а три -дополнительные узлы,в которых заданы только значения нормальных производных.
Такие элементы несколько затрудняют составление ансамбля, так как число степеней свободы в каждом узле различно.
Чтобы избежать этого затруднения, можно устранить степень свободы дополнительных узлов. Например, можно положить, что величина нормальной производной в середине стороны равна среднему арифметическому значений этой производной на концах стороны. В результате получим согласованный элемент с таким же числом степеней свободы, как и у описанного в предыдущих, раздел ах элемента (фиг. 10.18,6).
Построение соответствующей функции формы довольно громоздко, поэтому оно здесь пе приводится. Проще поступить следующим образом.
Во-первых, нормальные производные в середине сторон определяются из основных функций формы элемента [соотношение (10.26)] в виде
(dw \ \ дп Л
= [2]{6Г.
(10.30)
средние арифметические значения нормальных производных в углах тоже вычисляются по этим функциям и записываются как
V дп Л
(10.31)
Вклад функций е в значения этих производных пропорционален величине 823Y1 и т. д., т. е. (так как сами они имеют единичную нормальную производную) просто равен
{у}=ЬЛ. (10.32)
Определяя из соотношения
[Y\{bY = lZ]{bY + {y} (10.33)
величину Y и учитывая (10.26), получаем
да = [/У°]{бГ + [82з, ез„.е,з]([П-[2]){бГ. (10.34)
Здесь [/V°] - определенные ранее несогласованные функции формы.
Таким образом, соотношение (10.34) определяет искомые функции формы.
Другой способ получения согласованных треугольников был разработан Клухом и Точером [3]. Как показано на фиг, 10.18, а, сначала каждый треугольник разделяется на три треугольника с общей вершиной во внутренней точке Р. Для каждого из новых треугольников записывается полный полином третьей степени, содержащий десять членов. Окончательное представление должно быть выражено через девять обычных степеней свободы в точках 1, 2, 3 и три нормальные производные в точках 4, 5, 6. Так как в каждой угловой точке исходного треугольника функции формы смежных треугольников должны принимать одинаковые значения, получаются две системы уравнений а в итоге 9Х2-Ь3 = 21 уравнение. Кроме того, условия непрерывности перемещений и производных в центральной точке Р дают еще шесть дополнительных уравнений, а условия непрерывности производных в середине внутренних сторон -еще три уравнения.
В результате получаем тридцать уравнений для определения тридцати неизвестных, что достаточно для определения функции формы и, следовательно, построения элемента с двенадцатью степенями свободы, аналогичного описанному ранее.
Наложение ограничений на нормальные производные в середине внешних сторон позволит сократить число степеней свободы до девяти.
Эти же элементы можно получить, если задать в углах два значения вторых производных. Введенные ранее функции формы семейства е фактически имеют различные производные в углах по разным направлениям.
В работе [4] треугольники Клуха и Точера построены с помощью другой системы функций е.
Оба рассмотренных типа треугольников дают почти одинаковые числовые результаты, поэтому предпочтение нужно отдавать элементам, приводящим к более простым вычислениям. При использовании численного интегрирования (что настоятельно рекомендуется для таких элементов) выгоднее применять непрерывные по всему треугольнику функции формы, определяемые соотношениями (10.28) и (10.29).
