Фиг. 10.6. Некоторые основные полиномиальные относите.тьно /.-координат
функции.
(так как последнее слагаемое не изменяет углов наклона в узлах).
Поскольку кривизна описывается только этими формами, необходимо, чтобы с помощью линейной комбинации шести таких функций можно было получить любые произвольные значения кривизны во всех точках элемента при нулевых значениях w в узлах. Алгебраически это означает, что выражение
A,l,L2 + A2L2U+ ... +A,lI
при любых значениях коэффициентов А должно иметь вид
Bi {lIU + CL1L2L3) + Bi {l\L2 -f cULiU) + ...
при соответствующих значениях шести постоянных В. С помощью некоторых алгебраических преобразований можно показать, что это возможно только при с = 1/2. Следовательно, при
построении функций формы функция, изображенная на фиг. 10.6,6, является одной из основных.
Таким образом, перемещения пластины можно представить в виде
W = p.Z,, + + Рз.. + Р4 (ii. + i .2з) + + ... +P,(Z.?L3+ а) (10.25)
и после подстановки узловых значений
определить постоянные, а следовательно, и функции формы.
Окончательно функцию формы для первого узла с помощью определений, введенных в гл. 7, можно записать в виде
h (Z,?Z,2 + J LiL2L - bi [UL\ +1 LiUL Сэ {l\L2 + J Z„Z,2L3) - C2 [UL\ + LyUL
(10.26)
Ь1=Уг - Уз, с, = лгз - x:2 и т. д. Остальные две функции для узлов 2 и 3 получаются циклической перестановкой индексов 1-2-3. Элемент, характеризуе-
мый такими функциями, впервые был рассмотрен в работе [4].
10.6.2. Матрицы жесткости и нагрузки
Для определения деформаций [равенство (10.2)] и матрицы [Bi] из (10.6) необходимо определить вторую производную от [Л].
При этом появляется необходимость дифференцирования по декартовым координатам. Это нетрудно осуществить, имея в виду, что
д dLj. д I дЬг д , дЦ д
д дЦ
дх дЦ дх дЦ дх dL, 1
=-ж(*.11Г + *аС + з17)ит. Д. (10.27)
В /--координатах все выражения остаются полиномами, и поэтому их легко проинтегрировать с помощью общей формулы (7.34) гл. 7. Окончательные выражения для матриц жесткости и нагрузки довольно громоздкие; они приведены в работе [19].
Однако, как подчеркивалось в гл. 8, проще предусмотреть в программе численное интегрирование. Так как в матрицу жесткости входят только квадратичные члены, интегрирование по треугольнику будет точным при использовании всего лишь трех точек (см. табл. 8.3, гл. 8) и время численного интегрирования почти не отличается от времени расчета выражений при точном интегрировании.
В матрицу напряжений входят моменты, которые изменяются линейно. Однако, так как не все кубичные члены входят в функцию формы, они аппроксимируются плохо. Обычно моменты вычисляются только в центрах тяжести и результаты сглаживаются усреднением узловых значений,
10.7. Сходимость при использовании несогласованных элементов
При использовании двух типов элементов, описанных в предыдущем разделе, нарушаются условия непрерывности угла наклона н, следовательно, удовлетворяется только приближенно принцип минимума полной потенциальной энергии. Однако в следующем разделе будут приведены некоторые результаты, демонстрирующие практическую точность результатов, полученных при использовании этих элементов. Может возникнуть вопрос, всегда ли при уменьшении размеров элемента решение будет сходиться к точному? Хотя этот вопрос чисто теоретический, он нуждается в ответе.
Для прямоугольных элементов Вальц и др. [16], рассчитывая методом конечных элементов однородную пластину и сравнивая алгоритм с приближенным решением дифференциальных уравнений, установили, что сходимость гарантирована всегда. Однако распространять эти выводы на другие случаи нет никаких оснований.
Айронс [4] также показал, что использование простого треугольного элемента позволяет получить решение, сходящееся к точному, если сетка элементов образована тремя системами эквидистантных параллельных линий.
Использованный критерий проверки весьма прост. Если при помощи большого числа элементов можно точно воспроизвести любые состояния постоянной кривизны, то при предельном разбиении пластина ведет себя в соответствии с физическими законами для бесконечно малого элемента. В противном случае сходимости не будет.
Применение этого критерия показало, что если для получения треугольников используются две диагонали параллелограмма [фиг. 10.7 (4Х4В)], то ошибка в перемещениях составляет около 1,5%. Таким образом, несогласованный треугольник позволяет получить решение, сходящееся не к точному, а к неко-
торому другому, отличающемуся от него в пределах указанной ошибки.
Аналогичный критерий был применен к несогласованному прямоугольному элементу, что позволило впервые доказать сходимость для такого элемента [4].
В большинстве практических инженерных расчетов точность, достигаемая при использовании несогласованного треугольного элемента, оказывается вполне приемлемой. Чаще всего такие
треугольники дают лучшие результаты, чем эквивалентные согласованные элементы [4]. Это объясняется, по-видимому, тем, что решение в этом случае не обязательно удовлетворяет полученным в гл. 2 энергетическим ограничениям и большее число степеней свободы позволяет найти наилучшую форму.
При построении несогласованных элементов требовались непрерывность прогиба W во всех точках на границе между элементами и совпадение углов наклона в общих узлах. Это всегда приводило по крайней мере к кубическому закону изменения ш. Если несколько ослабить какое-либо из этих требований, то появляются интересные возможности. Например, можно показать, что для треугольника с шестью узлами, в качестве шести степеней свободы которого приняты значения ш в угловых узлах и значения нормальной производной dwjdn в дополнительных узлах, определяется полный квадратичный полином. В результате получается простейший возможный элемент для
задач об изгибе с постоянными моментами и кривизной, эквивалентный треугольнику с постоянной деформацией.
Такой элемент недавно был построен Морли [29]. Он показал, что, несмотря на достаточно очевидное нарушение непрерывности, полученное при использовании этого элемента, решение сходится и сопоставимо по точности с решением, полученным при использовании рассмотренных здесь более сложных треугольников.
В качестве упражнения читатель может получить матрицу жесткости для этого элемента.
10.8. Примеры
10.8.1. Прямоугольные элементы
Для иллюстрации точности и ожидаемой скорости сходимости была составлена программа расчета с использованием функций перемещений, определяемых выражением (10.13), и по ней просчитано несколько простых тестовых задач.
Квадратная изотропная пластина. На фиг. 10.8 в виде графиков представлены результаты расчета квадратной пластины
-- решение методом конечных разностей при сетке 15 X 15 (Саувелл, 1958)- о метод
конечных элементов, сетка 6X6; Д метод конечных элементов, сетка 4x4; о метод ковеч-вых элементов, сетка 2X2.
С защемленными краями, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки.
Результаты соответствуют разбиениям всего лишь на 2X2, 4X4 и 6 X 6 элементов, но точность и сходимость убедительны.
При любом количестве элементов линейное распределение моментов, как и ранее, близко к точному.
Еще более удивительные сходимость и точность демонстрируются в Табл. 10.4. В этой таблице сравниваются перемещения центра пластины прн действии сосредоточенной и распределенной нагрузок для различных условий закреплений сторон. При разбиении 8X8 элементов максимальная ошибка составляет ~3%. Для-всех случаев разбиения решение сходится.
Таблица 10.4
Перемещения центра квадратной пластины, подсчитанные при различном числе разбиений (прямоугольные элементы)
Разбиение
Общее количество узлов
Свободно опертая пластина
Защемленная пластина
равномерно распределенная нагрузка а
сосредоточенная нагрузка
равномерно распределенная нагрузка а
сосредоточенная нагрузка Р
0,003446
0,013784
0,001480
0,005919
0,003939
0,012327
0,001403
0,006134
0,004033
0.011829
0,001304
0,005803
12X12
0,004050
0,011715
0,001283
0.005710
16X16
0,004056
0,011671
0,001275
0,005572
Точное реше-
0,004062
0,01160
0,03126
0,00560
ние (Тимо-
шенко)
адЬ*
для равномерно распределенной нагрузки q;
*макс в
3=1 для сосредоточенной нагрузки Р, приложенной в центре пластины [20], макс £)
Коисольиая пластина. На фиг. 10.9 показаны перемещения в такой же пластине, но закрепленной консольно. Сравнение с другими численными решениями и экспериментальными данными снова демонстрирует высокую точность метода.
Опертая по углам пластина [12]. Квадратная пластина, опертая по углам, исследовалась различными экспериментальными н приближенными аналитическими методами. В табл. 10.5 результаты решения методом конечных элементов сравниваются с некоторыми другими приближенными решениями. Даже в том
