Матрица жесткости для прямоугольного элемента (фиг. 10.2, материал ортотропный)
Матрица жесткости
ij J
[6,1
0 -
15
- 60
р-2 =
5 -30 О
30 О -15
10 -15 О
Симметрично
О 0 0 10 -30. о
Симметрично
60 -30 20 О
О О
ООО о о 0
Продолжение табл. 10.1
30 -15
15 -30 О
-15 -30 15
О 30
о
-15 О
о -15
О 15 О О О О О
30 15-15 30
Симметрично
15 О
0 0 30
О О -15 О
О О -15 15 О
О -30 -15 О -30 О 15
О -15 0 0 ООО
О О О О 15 О
15 О О -15 -15 О
- 84
Симм
84 6 8 -6 О 8
«ООО
О г О О
0 0/0
о о о ;
где I-
-1 О О • О 26 о О О 2я
Интеграл (10.23) тоже легко вычисляется. Заметим, что в общем случае все три компоненты внешней силы в каждом узле отличны от нуля. При простом распределении внешней нагрузки между узлами этого бы не было. Вектор узловых сил при действии равномерно распределенной нагрузки приведен в табл. 10.3.
Если в пластине существуют начальные деформации, то вектор узловых сил, обусловленных начальными деформациями и начальными напряжениями, находится аналогично. В этой связи необходимо заметить, что начальные деформации, например вызванные нагревом, редко влияют на кривизну. Обычно
Si 11 II
к as
to to
Q i a. o.
q .5.
!M tr>(D
q"
q о 9
CD CO
I I
q"
q a.
q a.
Таблица Ю.З
Матрнца сил для прямоугольного элемента, изображенного на фнг. 10.2, при действии равномерно распределенной нагрузки д
b 12
12 1
= iqab
1
\Fi i Fbyl
в пластине дополнительно возникают деформации в ее плоскости, и в целом поведение пластины можно изучить, решая наряду с задачей изгиба задачу о плоском напряженном состоянии.
10.5. Четырехугольные и параллелограммные элементы
Четырехугольный элемент нельзя просто получить из прямоугольника. Можно было бы использовать преобразование координат описанного в гл. 8 типа, ио, к сожалению, в этом случае нарушается критерий постоянства кривизны. По-видимому, такие элементы обладают плохими свойствами. Используя только функции от и ti, лишь для параллелограмма можно удовлетворить критерий постоянства кривизны.
Такой элемент предложен в работе [12], а матрицы жесткости построены Дэйвом [14].
Нескольхо другая система функций формы предложена Аргирисом [15].
X, Г)
Фиг. 10.5. Элемент в форме параллелограмма и косоугольные координаты.
Для параллелограмма (фиг. 10.5) локальные координаты можно в явной форме связать с глобальными:
x - у ctgg а
у cosec а
(10.24)
что позволяет получить все характеристики элемента.
10.6. Треугольный элемеит с узлами в углах
10.6.1. Функции формы
На первый взгляд может показаться, что совершенно так же, как и в предыдущем разделе, в качестве функции формы можно использовать полином. Поскольку в этом случае задается только девять независимых перемещений, в полиномиальном разложении необходимо оставить девять членов. Однако полный полином третьей степени содержит десять членов [выражение (10.13)], и вопрос о том, какой именно член следует опустить, приходится решать произвольно. Для сохранения некоторой симметрии полинома можно, например, оставить все десять членов, а Чтобы свести количество неизвестных к девяти, приравнять два коэффициента (например, положить а& = кд). Было рассмотрено несколько различных вариантов. Однако при этом появляется другая, более серьезная проблема. При определенной ориентации сторон треугольника матрица, соответствующая матрице [С] системы уравнений (10.14), становится сингулярной. Это, например, происходит, когда две стороны треугольника параллельны осям XV.
Указанные трудности можно обойти, если воспользоваться описанными в гл. 8 L-координатами. Для треугольников это вполне естественно.
Как и раньше, будем использовать члены полиномиального представления. Отметим, что в L-координатах они имеют несколько необычный вид. Например, выражение
a,L, + 02-2 + Оз-з представляет собой полный линейный полином, а выражение
содержит все шесть членов полного квадратичного полинома (включая линейные члены).
Кубичный полином содержит десять членов, представляющих собой различные произведения третьей степени по координатам
Ll Ll Ll L\L2, L\U, lIU, ULl, UU, Ul], L1L2L3.
Для элемента с девятью степенями свободы можно использовать любую комбинацию из перечисленных членов, содержащую только девять независимых функций и удовлетворяющую критерию постоянства кривизны. На фиг. 10.6 показаны некоторые важные функции этого класса. Первая из них (фиг. 10.6, а) является одной из трех функций, описывающих перемещение пластины как жесткого тела.
Функции типа LiLa (в кубичном разложении их шесть) сходны (но не совпадают) с функцией, изображенной на фиг. 10.6, б.
Наконец, показанная иа фиг. 10.6, в функция L1L2L3 является чисто внутренней формой: во всех трех узлах значения функции и углов наклона равняются нулю. Такая функция оказывается полезной для «неузловых» парамет15ов, но не может использоваться самостоятельно, так как она не выражается через значения переменных в узлах. Ее можно с любым множителем добавить к другой основной функции формы.
Таким образом, особый интерес представляют функции второго рода. Они соответствуют нулевым значениям w во всех угловых точках и, кроме того, нулевому значению угла наклона вдоль одной из сторон. С помощью линейной комбинации двух из них (например, lILi и lILi) можно приписать любые значения углам наклона в направлениях х и у в одной узловой точке при нулевых значениях остальных углов наклона.
Однако для большей общности будем рассматривать формы типа
