необходимо использовать четыре постоянные, т. е. матрица [D] в этом случае имеет вид
[D] =
О. О
о., J
(10.9)
Как показали Тимошенко и Войновский-Кригер [1], эти величины можно связать с соответствующими упругими постоянными материала, но удобнее оставить их именно в такой форме, так как теория пластин часто используется для расчета ростверков). В таких случаях эти постоянные должны отражать свойства ростверков. Ясно, что если материал обладает анизотропией общего вида, то в матрицу входит самое большее шесть постоянных, так как она всегда симметрична.
10.3. Условие непрерывности функции формы
Для обеспечения непрерывности функции w и угла наклона нормали на границе между элементами необходимо, чтобы w и dw/dn единственным образом определялись через заданные значения на этой границе.
Рассмотрим фиг. 10.3, где изображена сторона 1-2 прямоугольного элемента. Направление нормали п фактически совпадает с направлением у, и, следовательно, необходимо, чтобы w и dw/dy единственным образом определялись значениями w, dw/dx, dw/ду в узлах, лежащих на этой стороне.
Следуя принципам гл. 7, можно записать, что вдоль стороны 1-2 прямоугольного элемента
Число константа каждом выражении должно быть достаточным для того, чтобы выразить эти величины через параметры узлов на линии 1-2.
Так, например, если иа стороне имеются только два узла, можно допустить кубичный закон изменения w, так как в ка-
) Ростверком называется система балок, оси которых расположены в одной плоскости и пересекаются под прямыми углами. - Прим. ред.
ждом из узлов заданы значения dw/dx и w. Для величины dw/dy можно принять лишь линейный, т. е. двучленный, закон изменения.
Для того чтобы гарантировать непрерывность производной dw/dx в направлении у, нужно поступить аналогично.
Таким образом, вдоль стороны 1-2 dw/dy зависит только от параметров узлов линии 1-2, а вдоль стороны 1-3 dw/dx зависит только от параметров узлов 1-3.
Дифференцируя первую из этих величин по х, получаем, что на линии 1-2 dw/dxdy зависит только от параметров узлов линии 1-2. Аналогично находим, что иа линии 1-3 dw/dydx зависит только от параметров узлов линии 1-3.
В общей точке 1 возникает противоречие, так как в ней нельзя обеспечить выполнение равенства
дхду дудх
при произвольных значениях параметров в узлах 2 и 3.
Таким образом, если в узловых точках sadaubi только значения функции W и ее npouseodnbix, то функции формы, удовлетворяющие всем условиям согласованности, нельзя npedcTaeuTb в eude полиномов [2].
Произвольные функции, удовлетворяющие всем условиям согласованности, которые построены по трем узловым параметрам, в угловых точках не будут непрерывно дифференцируемы, а их смешанные производные не будут совпадать. Некоторые випы таких функций рассматриваются во второй части этой главы [3-7].
Приведенные рассуждения относятся только к прямоугольному элементу. Ясно, что их можно распространить на случай, когда в точке 1 стороны смежных элементов пересекаются под произвольными углами.
Путь преодоления этого затруднения очевиден. Можно считать смешанную производную одним из узловых параметров. Для ансамбли прямоугольных элементов это удобно и вполне допустимо. Богнером и др. [8] были предложены и с успехом использованы простые функции такого типа.
К сожалению, не всегда возможно использовать их для узловых точек, в которых пересекаются под разными углами границы нескольких элементов (фиг. 10.4). Здесь условие непрерывности смешанной производной в нескольких ортогональных направлениях фактически требует задания всех вторых npou3eodHbix в такой узловой точке.
Это, однако, приводит к нарушению физических требований при скачкообразном изменении жесткости пластины от элемента к элементу, так как невозможно удовлетворить условию
равенства моментов, нормальных к границам между элементами. Тем не менее при расчете однородных пластин такой метод довольно успешно использовался [9-11].
Смит [9] исследовал эффект наложения таких условий сверхнепрерывности на несколько производных высших порядков.
Трудности отыскания функций перемеш.ений, удовлетворяющих условиям согласованности, привели к попыткам игнорировать условие полной непрерывности угла наклона при выполнении других необходимых критериев. Исходя из несколько наивного интуитивного представления, что выполнение условия непрерывности угла наклона в узлв-вых точках в пределе приводит к полной непрерывности, было построено несколько очень удачных элементов [12-15]. Отличными от использованных в гл. 2 и 3 средствами можно показать и доказать сходимость методов, основанных на применении некоторых таких Элементов [4, 16]. Более того, можно показать, что при определенных условиях решение будет мало отличаться от точного [4].
Простота и широкое использование таких элементов объясняют, почему они ниже рассматриваются так подробно.
НЕСОГЛАСОВАННЫЕ ФУНКЦИИ ФОРМЫ
10.4. Прямоугольный элемеит с узлами в угловых точках [12, 17, 18]
10.4.1. Функции формы
Рассмотрим прямоугольный элемент ijkl пластины, лежащей в плоскости X, у (фиг. 10.2). В каждой узловой точке вводятся перемещения (би), которые имеют по три компоненты: перемещение w„ в направлении г, угол поворота {вх)п вокруг оси х и угол поворота {Qy)n вокруг оси у.
Перемещения узловой точки определяются соотношением (10.4), а перемещение элемента записывается, как обычно, в виде вектора, содержащего все (в нашем случае четыре) узловые перемещения:
Фиг. 10.4. Уз.ты, в которых сторо ны смежных элементов имеют про нзвольные направления.
{6Г =
(10.12)
Для определения функций формы по двенадцати параметрам удобно использовать полиномы. При этом в полном полиноме четвертой степени необходимо опустить часть членов. Выражение
т = а1 + а2Х + азу + ах + ау + ау + щх? + а-у +
-f OgXi/S + a.of/+ а„А + ai2Xi/3 (10.13)
имеет определенные преимущества. В частности, вдоль любой линии X = const или у = const перемещение w будет изменяться по кубическому закону. Все внешние границы и границы между элементами состоят именно из таких линий. Поскольку полином третьей степени единственным образом определяется четырьмя постоянными, перемещения вдоль границы однозначно определяются значениями перемещений и углов наклона в узловых точках на концах этой границы. А так как для смежных элементов значения на концах границы одинаковы, вдоль любой границы между элементами функция w будет непрерывной.
Можно заметить, что градиент w по нормали к любой границе изменяется вдоль нее по кубическому закону (например, dw/dx вдоль линии л: = const). Так как на таких линиях заданы только два значения угла наклона, то полином третьей степени определяется неоднозначно и в общем случае угол наклона может оказаться разрывным. Таким образом, эта функция является несогласованной.
Постоянные ai - an определяются из системы двенадцати уравнений, связывающих значения w и углов наклона в узловых точках, которые получаются в результате подстановки координат этих точек. Например,
w, = ai+ axi +щу,+ ит. д., (), = 9*= «2 + ит. д.,
Эти двенадцать уравнений можно записать в матричной форме: {бГ = [С]{а}, (10.14)
где [С] -матрица размерности 12X12. зависящая от узловых координат, а {а} - вектор, содержащий 12 неизвестных постоянных. Обращая систему (10.14), получаем
{а} = [С1-{бГ. (10.15)
7 Зак. 613 .
Это обращение можно выполнить с помощью ЭВМ или алгебраически, если желательно получить матрицу жесткости или Другие матрицы в явном виде. Так было сделано Зенкевичем и Ченгом [12].
Выражение для перемещений внутри элемента теперь можно записать в стандартной форме:
{?} = а; = [Л]{бГ = [Р][С]-{бГ. (10.16)
[Р] = {1, X, у, х, ху, у, ху, ху у, х?у, V).
В явном виде это выражение получено Мелошем [17]. Приведенные выше соотношения просто записать в нормализованных координатах, введенных в гл. 7. В результате для любой узловой точки имеем
[iV<] = Y [do + 1)(Чо + I) (2 + Ь +110 - 1 - Ч\
Н(1о+1)(11з+1)Мть-1)],
(10.17)
1о =
It,
г\--
т1о = Л-11;-
Выражение для матрицы [В] получается непосредственно из соотношения (10.13) или (10.17) с использованием (10.6). Поскольку
Г -204 - бал: -2ау - 6a,,jci/ "
{е} = < - 2аб -2ах - боюг/ -6012*
• +4а5л: + iay -f 6ai,*H6ai2
можно записать {е} = [QJ{a} =iQ] [С]"{F и, следовательно, IB] = [Q1[C]-, где
. (10.18)
[Q] =
0 0 0 -2 0 О - 6л; ООО 00-2 О LO О О 0 2 О О
~6ху
- 2х
~6ху .
(10.19)
Интересно отметить, что выбранная функция перемещений до-пуска-ет существование состояния постоянной деформации (кривизны) ) и тем самым удовлетворяет критерию сходимости, сформулированному в гл. 2.
10.4.2. Матрицы жесткости и нагрузок
Процесс построения этих матриц стандартен, поэтому излишне излагать его подробно.
Из соотношения (2.10) можно получить матрицу жесткости, связывающую узловые силы (поперечная сила и два момента в каждом узле) с соответствующими узловыми перемещениями:
(10.20)
Подставляя сюда (10.18) и считая толщину t постоянной внутри элемента, получаем
{k]=\\[BY[D][B]dxdy.
да (10.18) и считая тол1 случаем
[k\=={[CTT{\\[QY[Dm\dxdy)[C]-\ (10.21)
Члены, не содержащие х и у, вынесены из-под интеграла. Если толщина t постоянна, то интеграл легко вычисляется точно после выполнения умножения под знаком интеграла.
Для ортотропного материала явное выражение для матрицы жесткости [k] приведено в табл. 10.1.
Соответствующая матрица напряжений для внутренних моментов приведена в табл. 10.2.
Внешние силы, обусловленные распределенной нагрузкой, можно распределить по узлам в зависимости от расположения участков приложения нагрузки. Однако более логично и точно для распределения по узлам внешних сил использовать снова соотношение (2.9).
Если в направлении w действует распределенная нагрузка с) на единицу площади элемента, то из соотношения (2.11) следует, что вклад этих сил в каждый из узлов выражается в виде
{F}l-\\\Nfqdxdy, (10.22)
или вследствие (10.15)
{F}\ {- [СГТ \ \ [Pf q dx dy. (10.23)
) Если постоянные а-, - an равны нулю, то деформации постоянны. С помощью формулы (10.13) можно найти соответствующие {б}". Так как между {6} и {а) существует однозначное соответствие, то такое состояние является единственно возможным. При этом предполагается, что матрица [С]" существует. Обращение алгебраическим путем доказывает, что матрица [С] никогда не бывает сингулярной.
