Типичный конечный элемент е определяется узловыми точками 1", /, m и т. д. и прямолинейными границами. Пусть пере-
Фиг. 2.1. Плоская область, разбитая на конечные элементы.
мещения любой точки внутри элемента задаются вектор-столбцом
{f} = [N]{6r = [N,, N„ N„...] б„ . (2.1)
где компоненты [N] являются в общем случае функциями положения, а {б} представляют собой перемещения узловых точек рассматриваемого элемента.
В случае плоского напряженного состояния вектор-столбец
содержит горизонтальное и вертикальное перемещения типичной точки внутри элемента, а столбец
содержит соответствующие перемещения узла i.
Функции Ni, Nj, Nm должны быть выбраны таким образом, чтобы при подстановке в (2,1) координат, узлов получались соответствующие узловые перемещения. Очевидно, что в общем случае
fi(xi, yi)=I (единичная матрица),
тогда как
Ni(x,, y,) = Ni(x, Уп) = 0 и т. д.,
что, в частности, достигается соответствующим выбором линейных относительно хну функций. Более подробно вопрос о выборе функций [Л] будет рассмотрен в одной из последующих глав.
Функции [N] называются функциями формы. Онн, как будет видно из дальнейшего, играют важную роль в методе конечных элементов.
2.2.2. Деформации
Если известны перемещения во всех точках элемента, то в них можно также определить и деформации). Они находятся с помощью соотношения, которое в матричной форме может быть записано в виде
И = [В]{6Г: (2.2)
В случае плоского напряженного состояния представляют интерес деформации в плоскости, которые определяются через перемещения с помощью хорошо известных соотношений [6])
ди дх да ду
ди dv ду + дх
) Здесь под деформациями понимаются любые внутренние дисторсии, такие, например, как кривизна в плоской задаче.
°) Для того чтобы строки первого столбца образовывали ортогональный тензор, необходимо третью строку второго столбца умножить иа Vj. - Прим. ред.
Матрица [В] легко может быть получена из соотношения (2.1), если известны функции формы Л(, Nj н Nm. В том случае, когда эти функции линейные, деформации постоянны по всему элементу.
2.2.3. Напряжения
В общем случае материал, находящийся внутри элемента, может иметь начальные деформации, обусловленные температурными воздействиями, усадкой, кристаллизацией и т. п. Если обозначить эти деформации через {ео}, то напряжения будут определяться разностью между существующими и начальными деформациями.
Кроме того, удобно предположить, что в рассматриваемый момент времени в теле существуют некоторые остаточные напряжения {оо}, которые, например, можно замерить, но нельзя предсказать без знания полной истории нагружения материала. Эти напряжения можно просто добавить к общему выражению. Таким образом, в предположении упругого поведения соотношения между напряжениями и деформациями будут линейными:
{0}==[D]({8}-{8o}) + {0o}, (2.3)
где [D] -матрица упругости, содержащая характеристики материала.
Для частного случая плоского напряженного состояния необходимо рассмотреть три компоненты напряжений, соответствующие введенным деформациям. В принятых обозначениях они записываются в виде
Матрица [D] легко получается из обычных соотношений между напряжениями и деформациями для изотропного материала [6]:
бд: - (ед:)о =-£ О: --g- Oj,,
I \ I
ej, - (ej,)o = - -g- л: + -р tfj,,
Yxj,-(Yxj,)o =
2(1-fv)
Отсюда
V 1 0
1 -v
0 0
2 J
2.2.4. Эквивалентные узловые силы Пусть столбец
определяет узловые силы, которые статически эквивалентны граничным напряжениям и действующим на элемент распределенным нагрузкам. Каждая из сил {FJ должна иметь столько же компонент, сколько и соответствующее узловое перемещение {6i}, и действовать в соответствующем направлении.
Распределенные нагрузки {р} определяются как нагрузки, приходящиеся на единицу объема материала элемента и действующие в лаправлениях, соответствующих направлениям перемещений {f} в этой точке.
В частном случае плоского напряженного состояния узловые силы записываются в виде
где и и V-компоненты, соответствующие перемещениям и и V. Распределенная нагрузка имеет вид
где x и y-компоненты «объемных сил».
Простейший способ сделать узловые силы статически эквивалентными действующим граничным напряжениям и распределенным нагрузкам состоит в задании произвольного (виртуального) узлового перемещения и приравнивании внешней и внутренней работ, совершаемых различными силами и напряжениями на этом перемещении.
Пусть d {S}-виртуальное перемещение в узле. С помощью соотношений (2.1) и (2.2) получим соответственно перемещения и деформации элемента в виде
d {!} = [N] d [ЪУ и d {е} = [В] d {6} (2.4)
Работа, совершаемая узловыми силами, равна сумме произведений компонент каждой силы на соответствующие перемещения, т. е. в матричном виде
(d {Ь}У . {F}. (2.5)
Аналогично внутренняя работа напряжений и распределенных сил, приходящаяся на единицу объема, равна
d{8}4cr}-d{f}4p} (2.6)
или )
(d{6}T([Br{cr}-[N]4p}). (2.7)
Приравнивая работу внешних сил суммарной внутренней работе, получаемой интегрированием по объему элемента, имеем
Так как это соотношение справедливо для любого виртуального перемещения, коэффициенты в правой и левой частях • должны быть равны. После подстановки (2.2) и (2.3) получаем
{FY = {\т[D] [В] dv) {6} - \ [BY [D] {во} dV +
+ 5[Bf K}dV-JiNf {p}dV. (2.9)
Эта зависимость является одной из основных характеристик любого элемента. В гл. I она приводилась в форме соотношения (1.3). Матрица жесткости принимает вид
(2.10)
Узловые силы, обусловленные распределенными нагрузками, имеют вид
{F} = -J[Nf (p}dV, (2.11)
а силы, обусловленные начальной деформацией, выражаются как
{F}; = -J[B]nD]{8o}dV. (2.12)
[kr=J [Bf[D][B]dV.
Узловые силы, соответствующие начальным напряжениям, записываются в виде
(п;=5[вгыс1У. (2.13)
Если система начальных напряжений самоуравновешена, то после составления ансамбля силы, определяемые соотношением
) Заметим, что в соответствии с правилами матричной алгебры транс """[впЛ]" произведения матриц осуществляется по формуле ([А\Щу =,
(2.13), тождественно равны нулю. Поэтому обычно оценка компонент этих сил не проводится. Однако если, например, часть изучаемой конструкции выполнена из .монолита, в котором существуют остаточные напряжения, или если исследуются выработки горной породы, в которой заданы тектонические напряжения, то необходимо учитывать, что удаление материала может вызвать нарушение силового баланса.
При использовании треугольного элемента в задачах о плоском напряженном состоянии основные характеристики получаются после соответствующей подстановки. Как уже было отмечено, в этом случае матрица [В] не зависит от координат и интегрирование выполняется тривиально.
Составление ансамбля и дальнейшее решение производятся с помощью простой процедуры, описанной в гл. I. В общем случае в узлах могут быть приложены сосредоточенные внешние силы. Тогда для сохранения равновесия в узлах следует дополнительно ввести матрицу сил
(R} =
(2.14)
Сделаем еще замечание по поводу элементов, соприкасающихся с границей. Если на границе заданы перемещения, то никаких затруднений не возникает. Рассмотрим, однако, случай, когда на границе задана распределенная внешняя нагрузка, скажем, нагрузка {g} на единицу площади. Тогда в узлах граничного элемента следует приложить дополнительную нагрузку. Это просто сделать, используя принцип виртуальной работы:
(2.15)
{F}; = -J[Nf{g}dS,
где интегрирование проводится по границе элемента. Заметим, что для того, чтобы записанное выше выражение было справедливо, {g} должно иметь такое же число компонент, как и {f}.
На фиг. 2.1 показан граничный элемент для случая плоского напряженного состояния. Интегрирование в (2.15) редко удается выполнить точно. Часто из физических соображений поверхностная нагрузка просто заменяется приложенными в- граничных узлах сосредоточенными силами, которые определяются из условий статического равновесия. Для рассматриваемого частного случая результаты будут эквивалентны.
После, того как из решения общей системы уравнений (типа встречающихся в строительной механике) определены узловые
